Kinetostaticcalculation of six-linked lever mechanismusingtheanalyticalmethod

Abstract

The paper considers the possibility of analytical determination of multi-linked lever mechanism’s reaction of the 2-nd class and 2-nd order on the basis of kinetostatics. There were derived analytical dependences for determination of the reactions ofsix-linked lever mechanism kinematic pairs. Examples of graphs, obtained with the use of the calculation of the mathematical programs MathCad 14 are provided.

Full Text

Современный уровень развития машиностроения требует высокой точности и большого объема выполняемых расчетов. В настоящее время в кинетостатическом расчете применяют, как правило, графоаналитический метод, который, наряду с наглядностью, доступностью, простотой, имеют существенный недостаток: он становится затруднительным, если требуется провести большой объем однообразных построений и вычислений. В настоящей работе приведены аналитические зависимости для определения реакций, возникающих в кинематических парах шестизвенного кулисно-рычажного механизма 2-го класса с использованием метода кинетостатики, показан порядок и последовательность выполнения расчетов, дается анализ знаком членов, входящих в расчетные зависимости. Вычисления удобно выполнять с помощью современных прикладных расчетных программ для ЭВМ, например, MathCad. Ранее в работах [1, 2] были выведены аналогичные аналитические зависимости для расчета силовых характеристик рычажных механизмов насоса и пресса, использованные студентами при выполнении курсовых работ с применением расчетных математических программ MathCad 14. Рассмотрим схему шестизвенного рычажного механизма, имеющего два выходных звена: ползун 4 и шток 6 (рисунок 1). При выполнении силового расчета важно правильно выбрать направление вращения кривошипа. Преодоление силы полезного сопротивления происходит только на прямом (рабочем) ходу выходного звена, в промежутке между двумя крайними положениями механизма, ограничивающими траекторию точки звена, совершающего возвратные движения (в нашем случае движение точки D звена 6, а также точки С звена 4). Примем движение штока 6 на рабочем ходу в направлении из крайнего нижнего в крайнее верхнее его положение, а движение ползуна 4 на рабочем ходу – из крайнего левого в крайнее правое его положение. Рисунок 1 – Схема механизма Для обеспечения наибольшей производительности необходимо, чтобы время рабочего хода составляло бόльшую долю в полном времени кинематического цикла механизма, чем время обратного хода, т.е. угол φрх поворота кривошипа на рабочем участке движения выходного звена должен быть больше угла φхх поворота кривошипа при обратном движении выходного звена. Для ползуна 4 , как видно из рис.1, углы поворота кривошипа на рабочем и на холостом ходу одинаковы, так как крайними в кривошипно-ползунном механизме АВС будут положения при φ=00 и при φ=1800. Для штока 6 крайние положения могут быть установлены только после анализа его скоростных характеристик. В крайних положениях механизма АВСDE скорость выходного звена 6 равна нулю. Это дает нам возможность, например, по предварительно построенному графику VD(φ) определить крайние положения кривошипа, а по ним и углы поворота его на прямом и холостом ходу штока 6. Эти углы не одинаковы. Направление вращения надо выбрать так, чтобы при повороте кривошипа из одного крайнего положения в другое на больший угол происходило движение штока 6 из крайнего нижнего в крайнее верхнее положение. При этом одновременно должно быть обеспечено частичное перекрытие рабочего хода ползуна 4. Очевидно, что в рассматриваемом механизме вращение кривошипа будет происходить по часовой стрелке. Для определения реакций, возникающих в кинематических парах, воспользуемся методом кинетостатики. Для этого рассмотрим равновесие структурных групп, отсоединив их предварительно от механизма, т.е. нарушив связи, которые звенья группы образуют с другими звеньями механизма, и для каждой группы составим уравнения равновесия – кинетостатики. Силовой расчет структурной группы 5−6 Структурная группа 5–6 (рисунок 2) включает в себя два шарнирно-связанных звена – камень 5 и шток 6. Эти звенья в механизме образуют поступательные пары: соответственно D с шатуном и E с неподвижной направляющей. Элементы поступательных пар на схеме группы показаны пунктирными линиями. Реакция в поступательной паре имеет два неизвестных параметра: величину и точку приложения. Известна линия ее действия – по нормали к поверхности соприкосновения звеньев. Приложим условно реакцию (силу со стороны шатуна 3 на камень 5) на расстоянии от центра шарнира D перпендикулярно оси шатуна 3, а реакцию (силу со стороны направляющей на шток 6) – на расстоянии от центра шарнира D перпендикулярно оси штока 6. Эти расстояния являются неизвестными параметрами, характеризующими положение точек приложения сил, поэтому и силы и предварительно показаны пунктиром. Следовательно, необходимо составить четыре уравнения равновесия. Расчет всегда начинают с составления уравнений моментов относительно точки D внутреннего шарнира для каждого звена отдельно. Уравнение моментов для звена 5: (1) Так как в общем случае не равна нулю, то т.е. проходит через точку D. Покажем её сплошной линией. Уравнение моментов для звена 6: (2) Так как в общем случае не равна нулю, то т.е. проходит через точку D. Покажем её сплошной линией. Y FC6 2 Рисунок 2 – Силовой расчет структурной группы 5−6 Точки приложения реакций поступательных пар найдены. Теперь определяем их величины. Для этого составляем уравнения проекций сил, приложенных к звеньям группы, на оси прямоугольной системы координат, начало которой разместим в точке D. Положительные абсциссы будем откладывать вправо, а положительные ординаты – вверх. (3) (4) Здесь – сила технологического сопротивления штоку 6; – сила тяжести звена 6, – сила инерции звена 6, – угол наклона шатуна 3. Масса камня 5 не учитывается, поэтому и Решая совместно уравнения проекций сил, получим: (5) (6) и всегда направлены вниз по оси Y. При выводе формул было принято это направление, поэтому знак перед ними меняться не будет. может изменить свое направление. При выводе формул было принято её положительное направление (ускорение звена 6 отрицательно). Значит, знак перед изменится на отрицательный, если ускорение звена 6 имеет положительные значения. Кроме того, надо помнить, что – сила технологических сопротивлений механизма действует лишь на рабочем ходу звена 6, т.е. при =0. Для определения реакции во внутреннем шарнире D достаточно рассмотреть равновесие камня 5. Тогда Силовой расчет структурной группы 3−4 Структурная группа 3–4 (рисунок 3) включает в себя два звена, связанных шарниром С: шатун 3 и ползун 4. Внешними парами являются вращательная пара В и поступательная пара С. Расчет реакций связей этой группы начинаем с уравнений моментов, действующих на каждое звено отдельно, относительно точки С внутреннего шарнира. Предварительно разложим полную реакцию шарнира В (усилие со стороны кривошипа 2 на шатун 3) на две составляющие: нормальную , направленную по оси шатуна 3, и тангенциальную , направленную перпендикулярно оси шатуна 3. Рисунок 3 – Силовой расчет структурной группы 3−4 Уравнение моментов, действующих на звено 3: или . Из уравнения моментов получаем: (7) Здесь – длина шатуна 3; – усилие, передаваемое со стороны камня 5 на шатун 3, в соответствии с третьим законом Ньютона = – = – плечо силы = - момент сил инерции; – момент инерции звена 3; = – проекция силы инерции звена 3 на ось Y; = – проекция силы инерции звена 3 на ось X; = – плечо силы = – плечо силы и силы тяжести – часть длины шатуна, определяющая положение его центра тяжести. Формула (7) составлена с учетом направлений сил, показанных на рисунке 3. Большинство сил, входящих в равенство (7), меняют свое направление за цикл работы механизма. Усилие со стороны камня 5 на шатун 3 неизменно по направлению, если только на холостом ходу (при ) не окажется, что > (при ). Направление зависит от . Из анализа графика (φ) кривошипно-ползунного механизма [3] следует, что при 1800 направлено против часовой стрелки, тогда – по часовой стрелке. При 1800 3600 направлено по часовой стрелке, а, значит, – против часовой стрелки. Таким образом, при расчетах по формуле (7) надо учитывать условие: при 1800 знак перед отрицательный, при 1800 3600 знак перед положительный. Знаки перед и устанавливают следующим образом. Знак перед положительный, если >0 и β>0 или <0 и β<0. Знак перед отрицательный, если >0 , а β<0, или <0, а β>0. Знак перед положителен, если >0 на всем диапазоне изменения β. Знак перед отрицателен при <0. Направление неизменно за весь цикл работы механизма. Уравнение моментов, действующих на ползун 4, можно не составлять, так как анализ сил, приложенных к ползуну 4, с учетом ранее выполненных пояснений для группы 5–6, позволяет сделать вывод о том, что реакция со стороны направляющей на ползун 4 будет проходить через точку С. Переходим к определению величин нормальной составляющей реакции шарнира В и реакции в поступательной паре . Для этого составляем уравнения проекций сил, действующих на звенья группы 3−4, на оси прямоугольной системы координат. Положительное направление оси Х – вправо, положительное направление оси Y – вверх. Уравнение проекций сил на ось Х: Отсюда: ( + )/ . (8) Уравнение проекций сил на ось Y: Отсюда: (9) В формулах (8) и (9) – сила инерции ползуна 4, а – сила технологических сопротивлений ползуну 4. , где = . В зависимостях (8) и (9) сумма проекций сил алгебраическая. Анализ знака перед был дан ранее. Сила имеет знак, полученный в результате расчета по формуле (7). На рабочем ходу (при ) знак перед всегда положителен. Знак перед положительный, если >0. Если <0, то знак перед изменится на отрицательный. Знак перед положительный, если >0. Отрицательный знак будет при <0. Знак перед положительный, если >0. Знак перед и не изменяется. Сила неизменна по направлению. Направление ее действия устанавливается по заданному графику, но всегда противоположно направлению движения ползуна 4. Реакция входит в равенство (9) с тем знаком, который она получит после подсчета по уравнению (8). Полную реакцию в шарнире В рассчитываем по теореме Пифагора: . Для определения реакции в шарнире С необходимо разорвать связь ползуна 4 и шатуна 3 и рассмотреть равновесие ползуна. Векторное уравнение сил имеет вид: т.е. решение его, как это видно из рисунка 3, будет представлять собой прямоугольный треугольник, в котором является гипотенузой. Тогда по теореме Пифагора найдем (10) Силовой расчет входного звена Расчетная схема кривошипа представлена на рисунке 4. Неизвестными факторами являются реакция в шарнире А (сила, действующая со стороны стойки на кривошип) и уравновешивающий момент , который нужно приложить к входному звену для уравновешивания всех сил, действующих на звенья механизма. Составляем уравнение моментов относительно точки А. – =0. Отсюда: (11) Рисунок 4 – Силовой расчет входного звена Здесь – составляющая реакции со стороны шатуна на кривошип, принятая для удобства расчетов равной ; – составляющая реакции со стороны шатуна на кривошип, принятая равной ; r – длина кривошипа; – расстояние до центра масс кривошипа; – сила тяжести кривошипа. Остальные составляющие равенства показаны на рисунке 4. Переходим к определению реакции в шарнире А . Реакция имеет два неизвестных параметра: величину и направление. Представим ее в виде двух составляющих и – проекций на оси Х и Y прямоугольной системы координат с началом координат в точке А, положительным направлением оси Х вправо, а оси Y – вверх. Уравнение проекций сил на ось Х: откуда = (12) Уравнение проекций сил на ось Y: откуда: = (13) Здесь = – сила инерции звена 2. Полная реакция шарнира А Результаты расчетов могут быть представлены в виде таблиц, графиков или годографов усилий в кинематических парах. Примеры графиков представлены на рисунках 5 и 6. Рисунок 5 – График изменения реакции в паре шатун (звено 3) – ползун (звено 5) Рисунок 6 – График изменения уравновешивающего момента на кривошипе Проверка с помощью графо-аналитического метода показала хорошее совпадение результатов.