Calculation of the coefficient of local hydraulic diaphragm resistance in transitional and laminar areas of flow

Full Text

Введение Расчет гидравлических потерь напора на местных гидравлических сопротивлениях составляет значимую составляющую общих гидравлических потерь напора гидросети. В случае гидравлических машин и аппаратов местные гидравлические сопротивления, как правило, составляют определяющую часть суммарных потерь напора при работе любой гидромашины. Естественно, в связи с унификацией большей части элементов гидравлического оборудования проводилось обобщение, в первую очередь, результатов экспериментальных исследований, что в сочетании с расчетно-теоретическими представлениями позволяло обосновать применимость эмпирических и (или) теоретических зависимостей для широкой области изменения характеристик течения. Со временем эти материалы обобщались в виде различных справочников по гидравлическим сопротивлениям, как в линейной части, так и для местных гидравлических сопротивлений, см, например [1, 2]. Наиболее подробным справочником, выдержавший множество изданий в нашей стране и изданный за рубежом, является «Справочник по гидравлическим сопротивления» И.Е. Идельчика [3, 4]. Неудивительно, что часть рекомендаций изложенных в [3], используют и в более поздних справочных изданиях других авторов, например, в [5]. Анализ, проведенный в работе [6] показал, что, в зависимости от года издания справочника И.Е. Идельчика, для одинаковых местных сопротивлений, различия в численных значениях одного и того же местного гидравлического сопротивления может достигать кратности. К сожалению, большой объем справочного материала не позволяет в отдельных случаях избежать неточностей, приводящих к фактическим ошибкам в рекомендациях. Целью настоящей работы является анализ рекомендаций по расчету коэффициента гидравлического сопротивления диафрагм (отверстий), приведенных в работе [3]. Методы проведения исследований Конкретно анализируются рекомендации касающиеся расчета коэффициентов гидравлического сопротивления диафрагмы (отверстия) с любыми формами краев для различных условий перетекания потока в переходной и ламинарной областях внутри трубопровода постоянного поперечного сечения [3]. Поперечное сечение диафрагмы показано на рис. 1. Рис. 1. Схема течения жидкости через диафрагму конечной толщины. Fig. 1. Scheme of fluid flow through a diaphragm of finite thickness Поскольку трубопровод имеет постоянное поперечное сечение, то скорости жидкости до и после диафрагмы равны . Так как поперечное сечение диафрагмы определяется гидравлическим диаметром , где площадь поперечного сечения диафрагмы, а её смоченный периметр, отсюда следует, что, в общем случае, поперечное сечение диафрагмы может отличаться от окружности. Толщина диафрагмы , а - диаметр диафрагмы при круговом отверстии. При малых числах Рейнольдса коэффициент гидравлического сопротивления определяется выражением [3] , (1) где - перепад давления на диафрагме. Из этого выражения следует, что, формально, при , то есть фактическое течение жидкости через диафрагму прекращается ввиду её отсутствия последней. В области небольших чисел Рейнольдса [3] , (2) где значения величины предлагается определять по соответствующим диаграммам, приведенным в предшествующих разделах справочника [3]. Последнее пояснение представляется весьма неопределенным, поскольку в этих разделах анализировались другие, отличные от рассматриваемого случаи движения жидкости через местные сопротивления другой, отличной от анализируемой конкретной формы диафрагмы (отверстия) и режимом течения жидкости. Коэффициент , характеризующий степень заполнения диафрагмы, определяется с использованием табличных значений или может быть рассчитано по эмпирической зависимости , (3) где = 0,461465; = - 0,2648592; = 0,203047; = - 0,06602521; = 0,01325519; = - 0,001058041. В таблице 1 указаны табличные значения функции , приведенные в [3] и рассчитанные по формуле (3). Таблица 1. Значения функции в зависимости от числа Рейнольдса Table 1. Function values depending on the Reynolds number Re 10 30 102 4*102 103 4*103 104 4*104 105 4*105 Таб. знач. 0,34 0,36 0,45 0,58 0,65 0,74 0,80 0,85 0,90 1,0 Формула (3) 0,35 0,36 0,39 0,47 0,53 0,65 0,74 0,87 0,94 0,96 Формула (4) 0,33 0,37 0,42 0,49 0,54 0,63 0,70 0,81 0,90 1,05 Причины достаточного значимого расхождения табличных и расчетных значений величины в [3], достигающего 15 %, не комментируются. Также не приводится расчетная формула, по которой определены табличные величины. При проведении практических расчетов, использование табличных значений усложняет процедуру расчета, поскольку будет необходимо использовать процедуру интерполяции для произвольных значений чисел Рейнольдса. Формула (3) представляется также не оправдано усложненной. Используя «Онлайн калькулятор: Аппроксимация функции одной переменной», получим простое выражения для расчета величины , (4) В нижней строке таблицы 1 приведены величины определенные по формуле (4), которые достаточно удовлетворительно в ламинарной области течения согласуются с расчетными значениями, определенными по формуле (3). В области рекомендуется следующая зависимость [3] . (5) Коэффициент гидравлического сопротивления определяется с использованием приведенных в [3] табличных значений (в этом случае также не приводится расчетная формула, по которой определены табличные величины) или может быть рассчитано по следующей зависимости также приведенной в [3].. (6) В таблице 2 приведены табличные значения коэффициента гидравлического сопротивления , приведенные в [3] и рассчитанные по формуле (6) на первой и второй строках. Таблица 2. Значения коэффициента гидравлического сопротивления от числа Table 2. The values of the coefficient of hydraulic resistance from the number 30 102 4*102 103 4*103 104 2*104 105 2*105 0,1 1,94 46,3 46,5 0,89 19,0 19,0 0,64 6,80 6,81 0,39 3,45 3,45 0,22 1,24 1,23 0,15 0,63 0,625 0,11 0,38 0,374 0,04 0,11 0,11 0,01 0,068 0,068 0,2 1,78 3,21 3,21 0,85 0,85 0,85 0,57 0,18 0,18 0,36 0,066 0,066 0,20 0,014 0,014 0,13 0,0052 0,0052 0,09 0,0024 0,0024 0,03 0,0004 0,0004 0,01 0 0 0,3 1,57 0,38 0,38 0,75 0,062 0,063 0,43 0,008 0,008 0,30 0,002 0,002 0,17 0,0002 0,0002 0,10 0 0 0,07 0 0 0,02 0 0 0,01 0 0 0,4 1,35 0,054 0,053 0,57 0,0057 0,0054 0,28 0,00035 0,00032 0,19 0 0 0,10 0 0 0,06 0 0 0,04 0 0 0,02 0 0 0,01 0 0 0,5 1,10 0,008 0 0,34 0,0004 0 0,12 0 0 0,07 0 0 0,03 0 0 0,02 0 0 0,01 0 0 0,01 0 0 0,01 0 0 0,6 0,85 0,001 0 0,19 0 0 0,06 0 0 0,03 0 0 0,01 0 0 0,01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,7 0,58 0 0 0,11 0 0 0,03 0 0 0,02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8 0,40 0 0 0,06 0 0 0,02 0 0 0,01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,9 0,20 0 0 0,03 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,95 0,03 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 В работе [3], видимо имела место опечатка, и вместо приведенного значения , указывалась величина . То же самое приведено и в [5], что указывает на чисто механический перенос заимствованной информации. Табличные значения коэффициента гидравлического сопротивления , приведенные в работе [3], можно сказать, практически не совпадают с расчетными значениями, определенными по формуле (6). В таблице 2 значения означает, что оно меньше предшествующего значения при в кратность и фактически близко к нулю. Вместо зависимости (6), можно использовать аппроксимирующее зависимости экспоненциально вида , (7) Для значений в таблице 2 в нижних строках приведены величины определенные по формуле (7) для: при А = 580,5337 и В = - 0,742; при А = 183,036 и В = - 1,1051 ; при А = 61,3181 и В = - 1,4942 ; при А = 65,4109 и В = - 2,0401, которые практически точно согласуются с расчетными значениями, определенными по формуле (6) при тех же значениях величин . То есть, в общем случае коэффициенты А и В зависят от величины Во всех случаях табличные значения величин во всё большей степени превосходят расчетные значения, определяемые по формулах (6) или (7). Это расхождение табличных и расчетных значений величины практически свидетельствует об отсутствии какой либо связи между ними. Отметим также, что на рисунке обозначена толщина диафрагмы , которая не фигурирует в рекомендуемых расчетных соотношениях, хотя, безусловно, влияет на общее гидравлическое сопротивление диафрагмы и, казалось бы, должно быть отражено в приводимых табличных или расчетных зависимостях. В работе [3], при обосновании рассмотренной процедуры определения коэффициента гидравлического сопротивления диафрагмы, имеется ссылка на работу автора [6], в которой, в частности, рассматривается влияние вязкости на гидравлическое сопротивление диафрагм рассматриваемого типа. Для больших чисел Рейнольдса используется выражение подобное (5) (8) где - эмпирический поправочная функция, учитывающая влияние формы и толщины стенки в месте отверстия на его гидравлическое сопротивление; - коэффициент сопротивления трения потока жидкости внутри диафрагмы (отверстия), который определяется по локальной скорости в отверстии. Величина определяется в табличном виде и может быть рассчитана по эмпирическим зависимостям: (9) В таблице 3 приведены значения параметра в зависимости от безразмерной длины диафрагмы . Таблица 3. Значения параметра в зависимости от безразмерной длины диафрагмы Table 3. Parameter values depending on the dimensionless length of the aperture 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,6 2,0 2,4 Т. з. 1,35 1,22 1,10 0,84 0,42 0,24 0,16 0,07 0,02 0 Формула (9) 1,35 1,24 1,11 0,78 0,41 0,24 0,16 0,06 0,02 0 В этом случае табличные значения достаточно удовлетворительно совпадают с расчетным величинами , определенными по формуле (9), отличие достигает примерно 8 %. Из сравнения выражений (5) и (8) получим (10) Использование выражений (8) или (10) методически представляется более обоснованным, поскольку член в явном виде определяет вклад гидродинамического трения при течении жидкости внутри диафрагмы в суммарное гидравлическое сопротивление. Отметим, что если диафрагма трансформируется в трубу меньшего диаметра большой протяженности, то в этом случае также возможно использование такого представления. На основе проведенного анализа в промежуточной области чисел Рейнольдса , учитывая ожидаемый непрерывный характер изменения гидравлического сопротивления внутри сравнительно небольшого диапазона чисел Рейнольдса, допустим расчет коэффициента гидравлического сопротивления провести, используя линейную интерполяцию, по формуле , (11) где рассчитывается по формуле (1) при ; рассчитывается по формуле (8) при . Заключение Выполненный анализ показал, что, рекомендации, содержащиеся в работе [3], относящиеся к расчету потерь давления при течении жидкости через диафрагмы (отверстия) с любыми формами краев включают, можно сказать, противоречивые рекомендации в части определения величин коэффициента гидравлического сопротивления при величинах и нуждаются в уточнении. Показано, что представление табличных значений какого-либо параметра или функции без соответствующего, описывающего его расчетного математического выражения, может приводить к некорректному пониманию рекомендаций.

About the authors

A. S Kondratyev

Moscow Polytechnic University

Email: ask41@mail.ru
DSc in Engineering Moscow, Russia

K. F Ogorodnik

Moscow Polytechnic University

Moscow, Russia

M. Frikha

Moscow Polytechnic University

Moscow, Russia

References

Supplementary files