Contact problem for ring elastic coating of a cylindrical cavity in a solid body

Full Text

Контактная задача для кольцевого упругого покрытия цилиндрической полости в твердом теле д.т.н. проф. Божкова Л.В., к.т.н. доц. Норицина Г.И., к.т.н. проф. Рябов В.Г. Университет машиностроения Аннотация. Предложен аналитический метод решения контактной задачи для упругого покрытия цилиндрического отверстия в твердом теле при его взаимодействии с твердым цилиндром. Закон изменения контактных давлений представ- лен в виде некоторого бесконечного ряда, содержащего бесконечное число неиз- вестных констант. В результате найдены зависимости между результирующей нагрузкой, действующей на твердый цилиндр, и величиной зоны контакта, а так- же закон распределения контактных давлений. Ключевые слова: контактная задача, упругое покрытие, контактные дав- ления, бесконечный ряд, отверстие. Рассмотрим задачу о контактном взаимодействии твердого цилиндра радиуса r0 с упругим кольцевым слоем, покрывающим цилиндрическое отверстие радиуса теле (рисунок 1). r1 в твердом Рисунок 1. Схема контактного взаимодействия твердого цилиндра с упругим кольцевым слоем, покрывающим цилиндрическое отверстие в твердом теле В результате деформации упругого слоя произойдет соприкосновение твердого цилиндра и кольцевого слоя по некоторой его части, определяемой углом 0 . Угол 0 известной величиной. является не- Предполагая справедливыми условия плоской деформации и пренебрегая силами тре- ния в зоне контакта цилиндра и упругого слоя, установим зависимость величины зоны кон- такта от действующей на твердый цилиндр нагрузки Q . Найдем величину максимального радиального перемещения  точки первоначального контакта упругого слоя с твердым цилиндром, а также закон распределения контактных давлений p  . Практически важным является случай, когда радиус твердого цилиндра r0  и внутренний радиус упругого слоя r2  мало отличаются один от другого. При этом геометрическое условие контакта можно представить в виде: W r2 ,   r2     cos  r 2     sin2  ,   0 , . (1) где: W r2 ,  0 - радиальные перемещения точек внутреннего контура упругого слоя в зоне контакта;   r2  r0 - эксцентриситет контактирующей пары.    Учитывая малость величины вить следующим образом: , геометрическое условие контакта можно предстаr0 W r2 ,        cos ,   0 . (2) При переходе к безразмерным параметрам будем иметь: W 1,    cos  1  cos ,   0 . (3) где: W 1,   W r2 , , r2    , r2    . r2 Закон изменения радиальных контактных давлений виде с помощью некоторого бесконечного ряда:   представим в безразмерном         pm cos   m   0 ,    ,  p   m0  0,  0  0    , (4) где: p   p  E - безразмерная величина, E - модуль упругости упругого слоя, pm m  0,1,2,... - безразмерные неизвестные константы. Разложим функцию p  в ряд Фурье на промежутке       :  p   A0  2  An n1 cos n , (5) коэффициенты которого являются также безразмерными величинами и определяются по формулам:  2 sin n0 m1 n где: m~  m . 0 An    1 m0 pm m~ 2  n2 , n  1,2,..., (6) При действии на упругий кольцевой слой радиальной симметричной нагрузки p  радиальные перемещения точек внутреннего контура слоя W 1,0 в соответствии с результата- ми 1 с учетом (5) и (6) можно представить в виде: 2      sin n cos n  W 1,     p00 0  m    1m1 p m0   n n1 m~ 2 0 n2  , (7)  1 A2  B2    1  r   где: 0  2 A  B 1  A  B , 1  , r 1 1 1 1 1 2 A  1 2 , B  1 ,  - коэффициент Пуассона, n  n n n  1,2,...,, A  B3A  B 2  A  B  2 A  3B  A  B 2  2A  B 1 1 n  8A3A 1 B 2 A B 2   A  BA  3B 2  1  1   1 A  B   (8)  1  8A   4A A ln 1 ,  1   4A3A  B n1  A  B n1    1  2 1 2  b 4A1  nA  B 1   1 1  1   n  n  1  1 1 n   n   2A  B 4 A 1 1 , n  2,3,... , 1  1  n A  B 2  B  3A 2n  A  B1 n  1 1 . bn  A  B2 21 n2  n2  2   2  A  B3A  B 2n   2n  8AB  A 2 1 1 1 1 1 Естественно, что функции (3) и (7) должны совпадать в зоне контакта. Приравнивая правые части (3) и (7), получим: 2  p   m1 p  n sin n0 cos n  (9)   00 0    1  m0  m  n1 m~ 2  n2    cos  1  cos ,    0 .  Безразмерный параметр  , характеризующий радиальное перемещение первоначаль- ной точки контакта упругого слоя с жестким цилиндром, определим в результате подстановки значение   0 в (9): 2  p     m1 p  n sin n0     0 0   0    1 m0  m  n1 m~ 2 n2 .  (10) где: На основании (9) и (10) получим следующее функциональное уравнение:   pmm    1  cos , m0 (11)     200 1 cos   2 0 0 0 n sin n   sin n    2sin n cos , (12) n1 n    m      1m1 n ~ 2  2 0 0 0 sin n     sin n     2 sin n cos , m  1,2,.... n1 m n (13) Таким образом, задача свелась к определению неизвестных безразмерных констант pm m  0,1,2,..., входящих в функциональное уравнение (11). Безразмерные постоянные pm m  0,1,2,... можно определить двумя способами. Первый способ предусматривает разложение функции по заданной системе функций с помощью бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. В результате, задача сводится к решению следующей бесконечной системы линейных алгебраических уравнений:  0 k  pmck ,m  bk , m0 k  0,1,2,..., (14) где: ck ,m   m  cos 0 0 2 d , b0  20  sin 0 , k b  2 1k 1  0 sin 0 , 0 k 2 2   2 k  1,2,... . В основе второго метода решения функционального уравнения (11) лежит построение ортогональной системы функций m  m  0,1,.... Фm  m  0,1,... по заданной системе функций Ортогональная система функций может быть построена на основании следующего со- отношения: Ф    T m 1 i,m   , m  T 1 i i0 m,m i,m где: T 1 - элемент некоторой обратной матрицы. При этом: Tij  0  i   j  d , 0 i  0,1,2,.., m , j  0,1,2,.., m. В результате неизвестные постоянные pm m  0,1,2,.. определяются по формуле: pm  0   im T 1 Д , mi T i 1 ii m  0,1,2,..., (15) где:  1  cos  Фi  d  i  Д    0 . 0 i Ф2  d 0 Соотношение (4) и найденные безразмерные постоянные Pm m  0,1,2,... позволяют найти закон распределения контактных давлений при заданной величине зоны контакта, ха- рактеризуемой углом 0 . Для определения угла 0 необходимо записать условие статического равновесия: 0 Q   p cos r2 d . (16) 0 В результате подстановки (4) в соотношение (16) и последующего интегрирования бу- дем иметь: Q  2 sin 0   p0 0 m  2 2   2  1m1 p 1  2  , (17) Q где: Q  . r2 E  m1 m   0  Рисунок 2. График зависимости между результирующей нагрузкой  и величиной зоны контакта Рисунок 3. График зависимости между параметром  и углом 0 На основании соотношений (17) и (10) построены графики зависимостей соответственно между результирующей нагрузкой Q и углом 0 (рисунок 2), а также между параметром  и углом  0 (рисунок 3). Таким образом, общая схема решения контактной задачи для кольцевого упругого покрытия цилиндрической полости в твердом теле следующая: по заданным упругим характеристикам упругого слоя с помощью (8) вычисляем коэффициенты A и B ; по заданным радиусам кольцевого слоя r1 и r2 находим безразмерный параметр r 1   r1 ; 2 на основании (8) вычисляем последовательность чисел n n  0,1,2... и n n  1,2...; задавая последовательно различные значения угла 0 , определяем соответствующие им константы pm m  0,1,2... путем решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (4), либо по формулам(15); на основании соотношения (17) и (10) строим соответственно графики зависимостей результирующей нагрузки Q и параметра  от угла 0 ; с помощью построенных графиков (при заданной результирующей нагрузке Q ) определяем угол 0 (то есть величину зоны контакта) и, следовательно, параметр  ; для найденного значения угла 0 описанных выше способов; вычисляем константы pm m  0,1,2,... одним из определив угол 0 и константы pm m  0,1,2,..., находим на основании (4) закон распределения контактных давлений.

About the authors

L. V Bozhkova

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Dr.Eng., Prof.

G. I Noritsina

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.

V. G Ryabov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.

References

Supplementary files