Контактная задача для кольцевого упругого покрытия цилиндрической полости в твердом теле
- Авторы: Божкова Л.В1, Норицина Г.И1, Рябов В.Г1
-
Учреждения:
- Университет машиностроения
- Выпуск: Том 9, № 4-4 (2015)
- Страницы: 9-13
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/66986
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-66986
- ID: 66986
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Предложен аналитический метод решения контактной задачи для упругого покрытия ци- линдрического отверстия в твердом теле при его взаимодействии с твердым цилиндром. За- кон изменения контактных давлений представлен в виде некоторого бесконечного ряда, со- держащего бесконечное число неизвестных констант. В результате найдены зависимости между результирующей нагрузкой, действующей на твердый цилиндр, и величиной зоныконтакта, а также закон распределения контактных давлений.
Ключевые слова
Полный текст
Контактная задача для кольцевого упругого покрытия цилиндрической полости в твердом теле д.т.н. проф. Божкова Л.В., к.т.н. доц. Норицина Г.И., к.т.н. проф. Рябов В.Г. Университет машиностроения Аннотация. Предложен аналитический метод решения контактной задачи для упругого покрытия цилиндрического отверстия в твердом теле при его взаимодействии с твердым цилиндром. Закон изменения контактных давлений представ- лен в виде некоторого бесконечного ряда, содержащего бесконечное число неиз- вестных констант. В результате найдены зависимости между результирующей нагрузкой, действующей на твердый цилиндр, и величиной зоны контакта, а так- же закон распределения контактных давлений. Ключевые слова: контактная задача, упругое покрытие, контактные дав- ления, бесконечный ряд, отверстие. Рассмотрим задачу о контактном взаимодействии твердого цилиндра радиуса r0 с упругим кольцевым слоем, покрывающим цилиндрическое отверстие радиуса теле (рисунок 1). r1 в твердом Рисунок 1. Схема контактного взаимодействия твердого цилиндра с упругим кольцевым слоем, покрывающим цилиндрическое отверстие в твердом теле В результате деформации упругого слоя произойдет соприкосновение твердого цилиндра и кольцевого слоя по некоторой его части, определяемой углом 0 . Угол 0 известной величиной. является не- Предполагая справедливыми условия плоской деформации и пренебрегая силами тре- ния в зоне контакта цилиндра и упругого слоя, установим зависимость величины зоны кон- такта от действующей на твердый цилиндр нагрузки Q . Найдем величину максимального радиального перемещения точки первоначального контакта упругого слоя с твердым цилиндром, а также закон распределения контактных давлений p . Практически важным является случай, когда радиус твердого цилиндра r0 и внутренний радиус упругого слоя r2 мало отличаются один от другого. При этом геометрическое условие контакта можно представить в виде: W r2 , r2 cos r 2 sin2 , 0 , . (1) где: W r2 , 0 - радиальные перемещения точек внутреннего контура упругого слоя в зоне контакта; r2 r0 - эксцентриситет контактирующей пары. Учитывая малость величины вить следующим образом: , геометрическое условие контакта можно предстаr0 W r2 , cos , 0 . (2) При переходе к безразмерным параметрам будем иметь: W 1, cos 1 cos , 0 . (3) где: W 1, W r2 , , r2 , r2 . r2 Закон изменения радиальных контактных давлений виде с помощью некоторого бесконечного ряда: представим в безразмерном pm cos m 0 , , p m0 0, 0 0 , (4) где: p p E - безразмерная величина, E - модуль упругости упругого слоя, pm m 0,1,2,... - безразмерные неизвестные константы. Разложим функцию p в ряд Фурье на промежутке : p A0 2 An n1 cos n , (5) коэффициенты которого являются также безразмерными величинами и определяются по формулам: 2 sin n0 m1 n где: m~ m . 0 An 1 m0 pm m~ 2 n2 , n 1,2,..., (6) При действии на упругий кольцевой слой радиальной симметричной нагрузки p радиальные перемещения точек внутреннего контура слоя W 1,0 в соответствии с результата- ми 1 с учетом (5) и (6) можно представить в виде: 2 sin n cos n W 1, p00 0 m 1m1 p m0 n n1 m~ 2 0 n2 , (7) 1 A2 B2 1 r где: 0 2 A B 1 A B , 1 , r 1 1 1 1 1 2 A 1 2 , B 1 , - коэффициент Пуассона, n n n n 1,2,...,, A B3A B 2 A B 2 A 3B A B 2 2A B 1 1 n 8A3A 1 B 2 A B 2 A BA 3B 2 1 1 1 A B (8) 1 8A 4A A ln 1 , 1 4A3A B n1 A B n1 1 2 1 2 b 4A1 nA B 1 1 1 1 n n 1 1 1 n n 2A B 4 A 1 1 , n 2,3,... , 1 1 n A B 2 B 3A 2n A B1 n 1 1 . bn A B2 21 n2 n2 2 2 A B3A B 2n 2n 8AB A 2 1 1 1 1 1 Естественно, что функции (3) и (7) должны совпадать в зоне контакта. Приравнивая правые части (3) и (7), получим: 2 p m1 p n sin n0 cos n (9) 00 0 1 m0 m n1 m~ 2 n2 cos 1 cos , 0 . Безразмерный параметр , характеризующий радиальное перемещение первоначаль- ной точки контакта упругого слоя с жестким цилиндром, определим в результате подстановки значение 0 в (9): 2 p m1 p n sin n0 0 0 0 1 m0 m n1 m~ 2 n2 . (10) где: На основании (9) и (10) получим следующее функциональное уравнение: pmm 1 cos , m0 (11) 200 1 cos 2 0 0 0 n sin n sin n 2sin n cos , (12) n1 n m 1m1 n ~ 2 2 0 0 0 sin n sin n 2 sin n cos , m 1,2,.... n1 m n (13) Таким образом, задача свелась к определению неизвестных безразмерных констант pm m 0,1,2,..., входящих в функциональное уравнение (11). Безразмерные постоянные pm m 0,1,2,... можно определить двумя способами. Первый способ предусматривает разложение функции по заданной системе функций с помощью бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. В результате, задача сводится к решению следующей бесконечной системы линейных алгебраических уравнений: 0 k pmck ,m bk , m0 k 0,1,2,..., (14) где: ck ,m m cos 0 0 2 d , b0 20 sin 0 , k b 2 1k 1 0 sin 0 , 0 k 2 2 2 k 1,2,... . В основе второго метода решения функционального уравнения (11) лежит построение ортогональной системы функций m m 0,1,.... Фm m 0,1,... по заданной системе функций Ортогональная система функций может быть построена на основании следующего со- отношения: Ф T m 1 i,m , m T 1 i i0 m,m i,m где: T 1 - элемент некоторой обратной матрицы. При этом: Tij 0 i j d , 0 i 0,1,2,.., m , j 0,1,2,.., m. В результате неизвестные постоянные pm m 0,1,2,.. определяются по формуле: pm 0 im T 1 Д , mi T i 1 ii m 0,1,2,..., (15) где: 1 cos Фi d i Д 0 . 0 i Ф2 d 0 Соотношение (4) и найденные безразмерные постоянные Pm m 0,1,2,... позволяют найти закон распределения контактных давлений при заданной величине зоны контакта, ха- рактеризуемой углом 0 . Для определения угла 0 необходимо записать условие статического равновесия: 0 Q p cos r2 d . (16) 0 В результате подстановки (4) в соотношение (16) и последующего интегрирования бу- дем иметь: Q 2 sin 0 p0 0 m 2 2 2 1m1 p 1 2 , (17) Q где: Q . r2 E m1 m 0 Рисунок 2. График зависимости между результирующей нагрузкой и величиной зоны контакта Рисунок 3. График зависимости между параметром и углом 0 На основании соотношений (17) и (10) построены графики зависимостей соответственно между результирующей нагрузкой Q и углом 0 (рисунок 2), а также между параметром и углом 0 (рисунок 3). Таким образом, общая схема решения контактной задачи для кольцевого упругого покрытия цилиндрической полости в твердом теле следующая: по заданным упругим характеристикам упругого слоя с помощью (8) вычисляем коэффициенты A и B ; по заданным радиусам кольцевого слоя r1 и r2 находим безразмерный параметр r 1 r1 ; 2 на основании (8) вычисляем последовательность чисел n n 0,1,2... и n n 1,2...; задавая последовательно различные значения угла 0 , определяем соответствующие им константы pm m 0,1,2... путем решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (4), либо по формулам(15); на основании соотношения (17) и (10) строим соответственно графики зависимостей результирующей нагрузки Q и параметра от угла 0 ; с помощью построенных графиков (при заданной результирующей нагрузке Q ) определяем угол 0 (то есть величину зоны контакта) и, следовательно, параметр ; для найденного значения угла 0 описанных выше способов; вычисляем константы pm m 0,1,2,... одним из определив угол 0 и константы pm m 0,1,2,..., находим на основании (4) закон распределения контактных давлений.×
Об авторах
Л. В Божкова
Университет машиностроенияд.т.н. проф.
Г. И Норицина
Университет машиностроенияк.т.н. доц.
В. Г Рябов
Университет машиностроенияк.т.н. доц.
Список литературы
- Божкова Л.В., Рябов В.Г., Норицина Г.И. Плоская задача теории упругости для кольцевого слоя при несимметричной радиальной и касательной нагрузках // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2006. № 2, С. 11-16.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)