Endochronic theory of inelastisity modeling microfracture and hardening of material

Full Text

Эндохронная теория неупругости, моделирующая микроразрушение и затвердевание материала к.ф.-м.н. доц. Иванов Б.Ф., д.ф.-м.н. проф. Кадашевич Ю.И., д.ф.-м-н. доц. Помыткин С.П. Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения 8(812) 7868660, math.spbgturp@yandex.ru, 8(812) 7084372, kaf54@guap.ru Аннотация. Предлагаются тензорно-параметрические варианты эндохронной теории неупругости, учитывающие микронапряжения, микроразрушение и за- твердевание материала. Приведены решения для определяющих соотношений при одноосном нагружении. Установлена взаимосвязь между некоторыми вариантами теорий. Проанализировано влияние параметра эндохронности и параметра упроч- нения материала на форму одноосных кривых «напряжение~деформация». При- ведены результаты некоторых численных экспериментов, включая схему с раз- грузками разупрочняющегося материала. Ключевые слова: неупругость, эндохронная теория, определяющие соотно- шения, микронапряжения, микроразрушения, разупрочнение, затвердевание. Вариант 1 В 1957 году Вильям Прагер [1, 2] в рамках концепции течения ввел понятие затверде- ваемости, понимая под этим термином способность материала не воспринимать изменение деформации при росте напряжений. Автор [2] ввел понятие выпуклой поверхности затверде- вания в девятимерном пространстве деформаций и разделил напряжение на две составляю- щие: упругое напряжение и напряжение затвердевания. Фактически Прагер сформулировал и закон затвердевания [1] в форме: 0 h 0 e  ij   ij , ij  ij  ij ,   0 , (1) где: ij  ,  ij ij девиатор тензора полных деформаций, e 0 девиаторы тензоров упругих напряжений и напряжений затвердевания, ния. h(ij , ij )  0 поверхность затвердева- Если остановиться на простейшем варианте, когда поверхность затвердевания в про- странстве деформаций имеет вид: h( ,  )  (  1  0 ) : (  1  0 )    0 , (2) ij ij ij k ij ij 2 ij 0 то определяющие соотношения такой теории запишутся следующим образом:    d  0  0 ij  ij ,  0    2G  , d  d 0 : d 0 . (3) ij 0 d  k ij ij ij ij ij Здесь G - модуль сдвига, k - константа материала, 0 твердевания. - деформационный предел за- По схеме построения эндохронных вариантов теории, отвечающих любой теории тече- ния [3], можно получить определяющие соотношения эндохронного типа, отвечающие идеям Прагера [1, 2]: ij  2G 0 1 dij dR  0 dRij dR Rij k  2G 1 , (4) Rij  ij  2G (11) ij , dR  dRij : dRij , 0  1  1 . (5) Здесь, дополнительно принято, что 1 параметр эндохронности, Rij девиатор вспомогательного параметрического тензора. Очевидно, что при 1  0 соотношения (4), (5) переходят в уравнения (3). Общее решение уравнений (4), (5) при активном одноосном нагружении и постоянных материальных па- раметрах модели определяется формулами:   1 k  2G 1 R  0 k  1  exp(R /(2G0 1 )) , (6)   R  2G 11  . (7) Кроме того, в (4), (5) учтено, что в одномерном случае d d  0  2G , а кривая  ~  одноосного нагружения выходит на асимптоту:     k 0 2G  k при любых значениях параметра эндохронности 1 . Интересный вариант получается из соотношений (4), (5) если положить 1  1. Тогда: ij  2G 0 dij  0 dij  ij , di  dij : dij . (8) di di k  2G Рисунок 1. Зависимость  ~  при одноосном нагружении (по уравнениям (8)) Кривая деформирования при интегрировании этих уравнений в случае одноосного нагружения и постоянных материальных параметрах модели ( 2G  1 , 0  1, на на рисунке 1. Очевидны выпуклость кривой вниз и выход её на асимптоту. Вариант 2 k  3) приведе- В рамках концепции течения статистическая теория неупругости, учитывающая мик- ронапряжения и микроразрушения, была опубликована в 1982 году [4]. Ее определяющие соотношения имели вид: d f  f    ij  ij , f f ij d d  m d p dij : dij , (9) f ij p p p ij  2G1 ij  ij , ij   d f  k1 ij , d  dij :dij , где:  ij , ij , ij - девиаторы локальных тензоров напряжений, деформаций и микроразрушений,  - предел текучести материала,  - локальный предел разрушения, G1 - модуль сдвига, k1 - коэффициент упрочнения, m - постоянный параметр. При этом предполагалось, что: e e p o ij  2G2 ij , ij  ij  ij  ij . (10) ij Здесь  p - девиатор локального тензора пластических деформаций, G2 - параметр ма-  ij териала, а под o понимаются деформации, отвечающие значению  , при котором произоij шел разрыв упругих связей. При достижении девиатором тензора микроразрушений  f величины 2G1 ij происходит локальный разрыв упругих связей и ij  0 . Этой теории отвечает одномерная модель, представленная на рисунке 2. Рисунок 2. Одномерная модель, учитывающая микронапряжения и микроразрушения    , k  2G , если   k0 (11a) k  2G  m  m   , если    , (11b)0 1    ,  p   p d( ) ,    d( ) , (12)ij ij  ij ij  ij Для этой модели и уравнений (9) - (10) имеем: 0 1 ij  0 0 где:  - знак операции осреднения, а интегральная функция распределения ( ) известной. считается Используя схему перехода к эндохронным вариантам [3], в работе [5] была предложена теория неупругости, учитывающая микроразрушения и основанная на положениях и резуль- татах исследования [4]. Её определяющие соотношения имели следующий вид ij  2 2 dij 1     2 dRij g 1 Rij    , (13) dR 2G  dR g  2  Rij  2G ij  12  ij , 0  1  1 . (14) где: g - аналог коэффициента упрочнения материала, 2 - параметр эндохронности, 2 - аналог деформационного предела микроразрушения  из (9). Вариант 3 Подставим сейчас ij из (14) в (13). Тогда получим, что: ij  2 2 dij dR  2 dRij dR Rij g  2 . (15) Если потребовать, чтобы при 2  0 решение (15) совпадало с решением (4) при 1  0 для активного одноосного нагружения, тогда нетрудно показать, что: g  1  2G 2G  k , 0  2 . (16) 2G Общее решение уравнений (13), (14) при одноосном нагружении и постоянных пара- метрах модели может быть получено в виде:   1 2  g  R  2 g  1  exp(R /(2 2 )), (17a)   1 2G  R  1  2  . (17b) Если 2  1, то одноосное решение (17) видоизменяется до соотношения:   1 1  g  2G   2 g   1  exp((2G  ) / 2 )  . (18) Отметим, что форма решения (6) при 1   такова что:   (2G  k)   k 0   1  exp( /(2G 0 )). (19) Сравнивая (18) и (19) и, имея ввиду условия (16), можно увидеть, что решения оказались одинаковыми. Таким образом, решение системы (13), (14) при условии 2  1 равносильно решению системы (4), (5) при условии 1   , и наоборот, решение системы (13), (14) при условии 2   равносильно решению системы (4), (5) при условии 1  1. Это позволяет, в дальнейшем, не пользоваться двумя формами задания параметрического тензора Rij и (14), а ограничиться одной формой, разрешая параметру  меняться в пределах от 0 до  , а не только в пределах 0    1. Кроме того, можно заметить, что значения параметра g определяют три зоны развития деформаций при активном одноосном монотонном нагружении: если g  0 , то реализуется зона пластического течения с упрочнением - восходящая диаграмма  ~  с выпуклостью вверх; если g  0 и g  1 , то после пластического течения происходит микроразрушение и разупрочнение материала - выпуклая вверх кривая  ~  с возрастанием и последующим убыванием вплоть до нуля - линия вязкого разрушения; если 1  g  0 , то происходит затвердевание материала - восходящая диаграмма  ~  с выпуклостью вниз. Таким образом, на плоскости  ~  при одноосном монотонном нагружении в зависимости от величины параметра g образуются две характерные точки рые можно назвать точками вязкого и хрупкого разрушения. (, 0) и (0, ) , кото- Рисунок 3. Развитие деформаций в зависимости от параметров моделей Рисунок 4. Развитие деформаций в зависимости от параметра эндохронности На рисунке 3 приведены различные кривые развития деформации при одноосном нагружении, вычисленные при следующих значениях параметров моделей 2G  1 , 2  1, 2  1, 1  1, 0  1: а - кривая течения с разупрочнением и вязким разрушением ( g  2 ); б - кривая течения с упрочнением ( g  4 ); в - линия упругости; г - кривая течения с затвер- деванием ( g  0.75 ); д - кривая «полного» затвердевания и хрупкого разрушения ( g  2 , 2  4 ). На рисунке 4 приведены кривые деформирования, отвечающие различным значениям параметра  при фиксированном отрицательном значении параметра g . В расчетах было принято, что 2  1, 2G  1 , g  4 ,   1 (линия а),   1.5 (кривая б),   4 (линия в),   0 (кривая г). Отдельно рассмотрим поведение разупрочняющегося материала, когда активное нагружение сменяется разгрузкой, а затем последующим активным нагружением. Рисунок 5. Поведение разупрочняющегося материала при нагружении с разгрузками На рисунке 5 представлены расчеты поведения гипотетического материала по опреде- ляющим соотношениям эндохронной теории, учитывающей микроразрушения, по схеме нагрузка-разгрузка-нагрузка в первой четверти при   0.2 , 2G  1 , 2  1, g    1.8 . Качественно результаты расчётов по теории близки к опытным данным, полученным Бор- стом и Памином в экспериментах на бетонах и грунтах [6]. Замечание Соотношения для девиаторов в (4), (5) и (13), (14) можно дополнить уравнениями, учи- тывающими шаровые составляющие тензоров, в форме [7]  (Rii )  dRii , dR Rii  ii  k2  . K ii Здесь Rii первый инвариант параметрического тензора Rij , ii первый инвариант тензора деформаций (мера разрыхления материала),  ii первый инвариант тензора напряжений, K - объемный модуль материала, константа k2 ются на основе анализа экспериментальных данных. и функция материала  определя- Эти формулы обобщают предложения, используемые исследователями школы В.В. Но- вожилова в критерии прочности Новожилова-Рыбакиной [8]. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 14-01-00202).

About the authors

B. F Ivanov

St. Petersburg State Technological University of Plant Polymers

Email: math.spbgturp@yandex.ru
Ph.D.; +7(812) 7868660

Y. I Kadashevich

Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation

Email: kaf54@guap.ru
Dr.Eng., Prof.; +7(812) 7084372

S. P Pomytkin

Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation

Email: kaf54@guap.ru
Dr.Sc.; +7(812) 7084372

References

Supplementary files