Endochronic theory of inelastisity modeling microfracture and hardening of material
- 作者: Ivanov B.F1, Kadashevich Y.I2, Pomytkin S.P2
-
隶属关系:
- St. Petersburg State Technological University of Plant Polymers
- Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation
- 期: 卷 9, 编号 4-4 (2015)
- 页面: 14-19
- 栏目: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/66992
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-66992
- ID: 66992
如何引用文章
全文:
详细
This article offers a tensor-parametric variants of endochronic elasticity theory, considering mi- crotension, microfracture and hardening of material. There are given the solutions for defining rela- tions under uniaxial loading. The relationship is set between some variants of the theory. The au- thors analyzed the influence of the Endochronic parameter and the parameter of hardening material in the form of uniaxial curves of “strain~strain”. The article contains results of some numerical ex-periments, including a scheme with strain of a softening material.
全文:
Эндохронная теория неупругости, моделирующая микроразрушение и затвердевание материала к.ф.-м.н. доц. Иванов Б.Ф., д.ф.-м.н. проф. Кадашевич Ю.И., д.ф.-м-н. доц. Помыткин С.П. Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров, Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения 8(812) 7868660, math.spbgturp@yandex.ru, 8(812) 7084372, kaf54@guap.ru Аннотация. Предлагаются тензорно-параметрические варианты эндохронной теории неупругости, учитывающие микронапряжения, микроразрушение и за- твердевание материала. Приведены решения для определяющих соотношений при одноосном нагружении. Установлена взаимосвязь между некоторыми вариантами теорий. Проанализировано влияние параметра эндохронности и параметра упроч- нения материала на форму одноосных кривых «напряжение~деформация». При- ведены результаты некоторых численных экспериментов, включая схему с раз- грузками разупрочняющегося материала. Ключевые слова: неупругость, эндохронная теория, определяющие соотно- шения, микронапряжения, микроразрушения, разупрочнение, затвердевание. Вариант 1 В 1957 году Вильям Прагер [1, 2] в рамках концепции течения ввел понятие затверде- ваемости, понимая под этим термином способность материала не воспринимать изменение деформации при росте напряжений. Автор [2] ввел понятие выпуклой поверхности затверде- вания в девятимерном пространстве деформаций и разделил напряжение на две составляю- щие: упругое напряжение и напряжение затвердевания. Фактически Прагер сформулировал и закон затвердевания [1] в форме: 0 h 0 e ij ij , ij ij ij , 0 , (1) где: ij , ij ij девиатор тензора полных деформаций, e 0 девиаторы тензоров упругих напряжений и напряжений затвердевания, ния. h(ij , ij ) 0 поверхность затвердева- Если остановиться на простейшем варианте, когда поверхность затвердевания в про- странстве деформаций имеет вид: h( , ) ( 1 0 ) : ( 1 0 ) 0 , (2) ij ij ij k ij ij 2 ij 0 то определяющие соотношения такой теории запишутся следующим образом: d 0 0 ij ij , 0 2G , d d 0 : d 0 . (3) ij 0 d k ij ij ij ij ij Здесь G - модуль сдвига, k - константа материала, 0 твердевания. - деформационный предел за- По схеме построения эндохронных вариантов теории, отвечающих любой теории тече- ния [3], можно получить определяющие соотношения эндохронного типа, отвечающие идеям Прагера [1, 2]: ij 2G 0 1 dij dR 0 dRij dR Rij k 2G 1 , (4) Rij ij 2G (11) ij , dR dRij : dRij , 0 1 1 . (5) Здесь, дополнительно принято, что 1 параметр эндохронности, Rij девиатор вспомогательного параметрического тензора. Очевидно, что при 1 0 соотношения (4), (5) переходят в уравнения (3). Общее решение уравнений (4), (5) при активном одноосном нагружении и постоянных материальных па- раметрах модели определяется формулами: 1 k 2G 1 R 0 k 1 exp(R /(2G0 1 )) , (6) R 2G 11 . (7) Кроме того, в (4), (5) учтено, что в одномерном случае d d 0 2G , а кривая ~ одноосного нагружения выходит на асимптоту: k 0 2G k при любых значениях параметра эндохронности 1 . Интересный вариант получается из соотношений (4), (5) если положить 1 1. Тогда: ij 2G 0 dij 0 dij ij , di dij : dij . (8) di di k 2G Рисунок 1. Зависимость ~ при одноосном нагружении (по уравнениям (8)) Кривая деформирования при интегрировании этих уравнений в случае одноосного нагружения и постоянных материальных параметрах модели ( 2G 1 , 0 1, на на рисунке 1. Очевидны выпуклость кривой вниз и выход её на асимптоту. Вариант 2 k 3) приведе- В рамках концепции течения статистическая теория неупругости, учитывающая мик- ронапряжения и микроразрушения, была опубликована в 1982 году [4]. Ее определяющие соотношения имели вид: d f f ij ij , f f ij d d m d p dij : dij , (9) f ij p p p ij 2G1 ij ij , ij d f k1 ij , d dij :dij , где: ij , ij , ij - девиаторы локальных тензоров напряжений, деформаций и микроразрушений, - предел текучести материала, - локальный предел разрушения, G1 - модуль сдвига, k1 - коэффициент упрочнения, m - постоянный параметр. При этом предполагалось, что: e e p o ij 2G2 ij , ij ij ij ij . (10) ij Здесь p - девиатор локального тензора пластических деформаций, G2 - параметр ма- ij териала, а под o понимаются деформации, отвечающие значению , при котором произоij шел разрыв упругих связей. При достижении девиатором тензора микроразрушений f величины 2G1 ij происходит локальный разрыв упругих связей и ij 0 . Этой теории отвечает одномерная модель, представленная на рисунке 2. Рисунок 2. Одномерная модель, учитывающая микронапряжения и микроразрушения , k 2G , если k0 (11a) k 2G m m , если , (11b)0 1 , p p d( ) , d( ) , (12)ij ij ij ij ij Для этой модели и уравнений (9) - (10) имеем: 0 1 ij 0 0 где: - знак операции осреднения, а интегральная функция распределения ( ) известной. считается Используя схему перехода к эндохронным вариантам [3], в работе [5] была предложена теория неупругости, учитывающая микроразрушения и основанная на положениях и резуль- татах исследования [4]. Её определяющие соотношения имели следующий вид ij 2 2 dij 1 2 dRij g 1 Rij , (13) dR 2G dR g 2 Rij 2G ij 12 ij , 0 1 1 . (14) где: g - аналог коэффициента упрочнения материала, 2 - параметр эндохронности, 2 - аналог деформационного предела микроразрушения из (9). Вариант 3 Подставим сейчас ij из (14) в (13). Тогда получим, что: ij 2 2 dij dR 2 dRij dR Rij g 2 . (15) Если потребовать, чтобы при 2 0 решение (15) совпадало с решением (4) при 1 0 для активного одноосного нагружения, тогда нетрудно показать, что: g 1 2G 2G k , 0 2 . (16) 2G Общее решение уравнений (13), (14) при одноосном нагружении и постоянных пара- метрах модели может быть получено в виде: 1 2 g R 2 g 1 exp(R /(2 2 )), (17a) 1 2G R 1 2 . (17b) Если 2 1, то одноосное решение (17) видоизменяется до соотношения: 1 1 g 2G 2 g 1 exp((2G ) / 2 ) . (18) Отметим, что форма решения (6) при 1 такова что: (2G k) k 0 1 exp( /(2G 0 )). (19) Сравнивая (18) и (19) и, имея ввиду условия (16), можно увидеть, что решения оказались одинаковыми. Таким образом, решение системы (13), (14) при условии 2 1 равносильно решению системы (4), (5) при условии 1 , и наоборот, решение системы (13), (14) при условии 2 равносильно решению системы (4), (5) при условии 1 1. Это позволяет, в дальнейшем, не пользоваться двумя формами задания параметрического тензора Rij и (14), а ограничиться одной формой, разрешая параметру меняться в пределах от 0 до , а не только в пределах 0 1. Кроме того, можно заметить, что значения параметра g определяют три зоны развития деформаций при активном одноосном монотонном нагружении: если g 0 , то реализуется зона пластического течения с упрочнением - восходящая диаграмма ~ с выпуклостью вверх; если g 0 и g 1 , то после пластического течения происходит микроразрушение и разупрочнение материала - выпуклая вверх кривая ~ с возрастанием и последующим убыванием вплоть до нуля - линия вязкого разрушения; если 1 g 0 , то происходит затвердевание материала - восходящая диаграмма ~ с выпуклостью вниз. Таким образом, на плоскости ~ при одноосном монотонном нагружении в зависимости от величины параметра g образуются две характерные точки рые можно назвать точками вязкого и хрупкого разрушения. (, 0) и (0, ) , кото- Рисунок 3. Развитие деформаций в зависимости от параметров моделей Рисунок 4. Развитие деформаций в зависимости от параметра эндохронности На рисунке 3 приведены различные кривые развития деформации при одноосном нагружении, вычисленные при следующих значениях параметров моделей 2G 1 , 2 1, 2 1, 1 1, 0 1: а - кривая течения с разупрочнением и вязким разрушением ( g 2 ); б - кривая течения с упрочнением ( g 4 ); в - линия упругости; г - кривая течения с затвер- деванием ( g 0.75 ); д - кривая «полного» затвердевания и хрупкого разрушения ( g 2 , 2 4 ). На рисунке 4 приведены кривые деформирования, отвечающие различным значениям параметра при фиксированном отрицательном значении параметра g . В расчетах было принято, что 2 1, 2G 1 , g 4 , 1 (линия а), 1.5 (кривая б), 4 (линия в), 0 (кривая г). Отдельно рассмотрим поведение разупрочняющегося материала, когда активное нагружение сменяется разгрузкой, а затем последующим активным нагружением. Рисунок 5. Поведение разупрочняющегося материала при нагружении с разгрузками На рисунке 5 представлены расчеты поведения гипотетического материала по опреде- ляющим соотношениям эндохронной теории, учитывающей микроразрушения, по схеме нагрузка-разгрузка-нагрузка в первой четверти при 0.2 , 2G 1 , 2 1, g 1.8 . Качественно результаты расчётов по теории близки к опытным данным, полученным Бор- стом и Памином в экспериментах на бетонах и грунтах [6]. Замечание Соотношения для девиаторов в (4), (5) и (13), (14) можно дополнить уравнениями, учи- тывающими шаровые составляющие тензоров, в форме [7] (Rii ) dRii , dR Rii ii k2 . K ii Здесь Rii первый инвариант параметрического тензора Rij , ii первый инвариант тензора деформаций (мера разрыхления материала), ii первый инвариант тензора напряжений, K - объемный модуль материала, константа k2 ются на основе анализа экспериментальных данных. и функция материала определя- Эти формулы обобщают предложения, используемые исследователями школы В.В. Но- вожилова в критерии прочности Новожилова-Рыбакиной [8]. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 14-01-00202).×
作者简介
B. Ivanov
St. Petersburg State Technological University of Plant Polymers
Email: math.spbgturp@yandex.ru
Ph.D.; +7(812) 7868660
Y. Kadashevich
Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation
Email: kaf54@guap.ru
Dr.Eng., Prof.; +7(812) 7084372
S. Pomytkin
Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation
Email: kaf54@guap.ru
Dr.Sc.; +7(812) 7084372
参考
- Прагер В. Об идеально затвердевающих материалах // Механика: сборник переводов. 1958. № 3 (49). С. 99-103.
- Прагер В. Упругие тела ограниченной сжимаемости // Механика: сборник переводов. 1958. № 6 (52). C. 97-101.
- Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. О взаимосвязи теории пластичности, учитывающей микронапряжения, с эндохронной теорией пластичности // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. № 4. C. 99-105.
- Кадашевич Ю.И. Теория пластичности и ползучести, учитывающая микроразрушение // Доклады АН СССР. 1982. Т.266. № 6. С. 1341-1344.
- Кадашевич Ю.И., Пейсахов А.М., Помыткин С.П. Эндохронная теории непругости, учитывающая микроразрушения // Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующие явления: материалы IV международной школы-конференции (Тамбов, 24-30 июня 2007). Тамбов, 2007. С. 280-283.
- Pamin, R.de Borst. Numerical simulation of localization phenomena using gradient plasticity and finite elements // Heron. 1995. Vol. 40. № 1. P. 71-92.
- Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. О построении критерия прочности при сложном нагружении // Актуальные проблемы прочности: материалы 46-й международной конференции (Витебск, 15-17 октября, 2007). Витебск, 2007. Ч. 1. С. 68-74.
- Рыбакина О.Г. О работах В.В. Новожилова в области феноменологического описания первой стадии разрушения (накопления повреждений) // Труды ЦНИИ имени академика А.Н. Крылова. 2010. Вып. 53. 1 (337). С. 127-133.
补充文件
![](/img/style/loading.gif)