Method of identifying transfer function of a pneumatic/hydro apparatus

Full Text

Введение При разработке, исследовании и эксплуатации систем управления любым исполнительным механизмом с использованием элементов пневмо- гидроавтоматики появляется необходимость в оценке динамических характеристик создаваемого привода. Пнемо- и гидроаппараты, входящие в состав системы и предназначенные для регулирования параметров потоков рабочей жидкости в пневмо- гидроприводах согласно с законом входного сигнала, характеризуются своими собственными свойствами [1]. Так, работающие устойчиво машины или агрегаты после соединения друг с другом могут образовать неустойчивую систему, и, наоборот, устойчивые системы могут содержать неустойчивые элементы [2]. Для оценки работоспособности системы и эффективности ее применения необходимо иметь возможность определить динамические характеристики и проверить устойчивость конкретного аппарата, входящего в ее состав. Для этого необходимо получить вид передаточной функции этого устройства. Однако в литературе еще недостаточно освещены рекомендации по способу такой идентификации как единой методики. Целью исследования является установление однозначной взаимосвязи полученных экспериментальным путем частотных характеристик пневмо- гидроаппаратов и вида передаточной функции, позволяющей проводить исследование по устойчивости системы, его использующей. Общие положения и основные математические соотношения При синтезе и проектировании систем автоматического управления широко применяют амплитудные и фазовые частотные характеристики [2, 3]. Амплитудной частотной характеристикой называется зависимость отношения амплитуд установившихся колебаний выходной и входной величин от частоты. Фазовой частотной характеристикой называется зависимость сдвига по фазе в колебаниях выходной и входной величин от частоты [2]. Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) определяется как модуль комплексной величины: (1) где и - вещественная и мнимая частотные характеристики комплексной величины амплитудно-фазовой частотной характеристики или комплексной частотной передаточной функции [2]; - полином, получаемый из правой части, связанной с входной величиной, дифференциального уравнения, устанавливающего соответствие входной и выходной величин элемента или системы; - полином, определяющий левую часть того же дифференциального уравнения, характеризующую собственные свойства элемента или системы, независящих от внешних воздействий, и называемый выходным или собственным оператором [2]; и - постоянные коэффициенты полиномов и ; и - количество членов полиномов и . Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) находится (2) Амплитудную и фазовую частотные характеристики принято изображать, используя логарифмические масштабы, что дает ряд преимуществ: высокую точность во всем диапазоне частот для значений ; возможность получать простые аппроксимации для ; частотная характеристика системы при последовательном соединении элементов получается суммированием частотных характеристик отдельных элементов [2, 3]. Для экспериментального определения частотных характеристик пневмо- гидроаппарата может быть применена схема, изображенная на рис. 1. Рис. 1. Структурная схема экспериментальной установки С помощью генератора сигнала на исследуемый объект подается значение входного воздействия , где - круговая (угловая) частота (рад/с), - амплитуда входного сигнала, - начальная фаза колебаний. Тогда на выходе исследуемого объекта в установившемся режиме будет гармонический сигнал той же частоты, но с другой амплитудой и сдвинутый по фазе относительно входного сигнала на угол , т.е. , что показано на рис. 2. Рис. 2. Графическое представление изменения выходного сигнала относительно входного для исследуемого объекта Если постепенно изменять частоту колебаний и определять установившиеся значения амплитуды и фазы выходных колебаний для разных частот, то можно получить зависимость от частоты амплитудную и фазовую частотные характеристики исследуемого объекта [4]. Для исследуемых пневмо- гидроаппаратов входным воздействием будет сигнал, подаваемый на перемещение золотника, выходным воздействием - сигнал обратной связи по перемещению золотника. Измерение сдвига фаз входного и выходного сигнала выполняется по фигуре Лиссажу - на экране анализатора сигнала, рис. 3. Для получения фигуры Лиссажу необходимо, например, по оси «X» отложить входное воздействие (входное напряжение), подаваемое с генератора сигнала, а по оси «Y» отложить величину выходного сигнала (напряжение обратной связи). На экране анализатора сигнала отобразится эллипс, наклоненный вправо или влево, в зависимости от величины угла сдвига фаз. Рис. 3. Вид фигуры Лиссажу для определения сдвига фаз Угол сдвига фаз (3) где - координата точки пересечения эллипса с положительной осью ординат, - координата проекции вершины эллипса на ось ординат. Для правильного определения угла сдвига фаз необходимо учитывать, что при , фигура Лиссажу представляет собой окружность, и при дальнейшем увеличении частоты (эллипс меняет свой наклон относительно осей координат) к полученному по выражению (3) углу необходимо прибавить 90º, т.е. . Для колебательных звеньев необходимо все полученные значения для угла брать со знаком «-» [4]. Идентификация передаточной функции пневмоаппарата В качестве примера исследования по идентификации передаточной функции был рассмотрен ряд пневмоаппаратов, для которых были определены частотные характеристики [5]. Пример амплитудной и фазовой частотных характеристик для одного из выбранных пневмоаппаратов приведен на рис. 4. а) б) Рис.4. Экспериментальные характеристики исследуемого пневмоаппарата, построенные в логарифмическом масштабе: а - амплитудная частотная характеристика; б - фазовая частотная характеристика Анализируя амплитудную частотную характеристику, приведенную на рис. 4а, имеем [2, 3]: · наклон низкочастотной асимптоты равен 0 дБ/дек, т.к. в области низких частот амплитудная частотная характеристика - горизонтальная линия; · наклон высокочастотной асимптоты равен -12 дБ/окт или - 40 дБ/дек [2]; · график имеет характерный всплеск в области пересечения асимптот; · аналогично имеем для всех исследуемых пневмоаппаратов [5]. Поэтому, в качестве передаточной функции для исследуемых пневмоаппаратов допустимо использовать колебательное звено второго порядка, вид которой следующий: (4) где - коэффициент усиления; - постоянная времени; - коэффициент относительного демпфирования; - комплексная переменная в преобразовании Лапласа [2], принимая нулевые начальные условия. Коэффициент усиления для передаточной функции вида (4) исследуемого пневмоаппарата , т.к. низкочастотная асимптота совпадает с осью абсцисс (частот) и параллельна ей. Высокочастотная асимптота проходит через точку [2], откуда: . (5) Коэффициент относительного демпфирования может быть найдет из соотношения [2] (см. рис. 4а): (6) В случае если амплитудная частотная характеристика исследуемого пневмоаппарата имеет вид апериодического звена второго порядка, то передаточная функция (4) имеет вид: (7) где , , , и - частоты пересечения асимптот. Таким образом, логарифмическая амплитудная характеристика апериодического звена второго порядка может быть приближенно заменена тремя прямыми: с наклоном 0 дБ/дек, с наклоном -20 дБ/дек и с наклоном -40 дБ/дек [2]. Для исследуемых пневмоаппаратов [5] были найдены постоянные передаточной функции (4), представленные в табл. 1. Таблица 1 Параметры передаточной функции (4) для рассматриваемых пневмоаппаратов Используя данные табл. 1 в передаточной функции вида (4), построены переходные процессы рассмотренных пневмоаппаратов. Результат в виде получившихся переходных процессов приведен на рис. 5. Рис. 5. Вид переходных процессов, рассматриваемых пневмоаппаратов Оценка качества получившихся переходных процессов (рис. 5) выполнена по следующим показателям: · время переходного процесса tп, по истечении которого переходный процесс попадает «канал» допустимых отклонений. Величина отклонения регулируемой величины назначена равной ±0,05% от установившегося значения [2]; · максимальная динамическая ошибка, определяется соотношением: (8) где - максимальное значение регулируемой величины, - установившееся значение регулируемой величины при . Полученные результаты показателей качества переходных процессов приведены в таблице 2. Таблица 2 Показатели качества переходных процессов для рассматриваемых пневмоаппаратов Полученные значения постоянных коэффициентов для передаточной функции (4) необходимы для выполнения синтеза и структурной оптимизации системы. В качестве критерия при оптимизации системы возможно использовать критерий для линейных механизмов, указанный в работе [6], применяя методику [7, 8]. Исследование системы совместно с рассматриваемыми пневмоаппаратами В качестве исследуемой системы был выбран пневмоцилиндр (А), оснащенный датчиком обратной связи (ДОС) по перемещению штока, и пневмоаппаратом (V) для его управления (см. рис. 6). Рис. 6. Принципиальная схема системы Слежение за положением штока пневмоцилиндра А происходит с помощью датчика обратной связи ДОС. При подаче напряжения на катушку пневмоаппарата V (рис. 6) происходит смещение золотника пневмоаппарата на определенную величину, пропорциональную входному напряжению Uвх. Для исследования устойчивости системы с учетом разного типоразмера пневмоаппаратов и их динамических характеристик была составлена линеаризованная математическая модель для системы (рис. 6), согласно методике [2, 9, 10]. Для созданной модели системы были построены амплитудные и фазовые частотные характеристики в логарифмическом масштабе (ЛАХ и ЛФХ), приведенные на рис. 7, по которым оценивались запасы по фазе и амплитуде всей системы в целом. Рис. 7. Амплитудные и фазовые частотные характеристики системы в логарифмическом масштабе По полученным характеристикам, приведенным на рис. 7, были определены запасы по фазе и амплитуде. Полученные значения представлены в табл. 3. Таблица 3. Оценка запасов устойчивости системы с разными пневмоаппаратами Для лучшей работы системы необходимо выбирать пневмоаппарат, у которого в составе системы запасы по ЛАХ и ЛФХ больше. По результатам, приведенным в табл. 3, видно, что рационально было бы использовать пропорциональный пневмоаппарат 1, поскольку он имеет большие запасы [2]. Тогда коэффициент усиления системы можно выбрать больше. Но в большинстве технических задач требуется, чтобы работа привода (системы) была бы без перерегулирования, т.е. необходимо обеспечить отсутствие колебательности при максимально возможном коэффициенте усиления. Так, например, для выбранного пневмоаппарата № 2 (см. табл. 1) при увеличении коэффициента усиления в 6 раз, время переходного процесса уменьшается в 4 раза, при этом запасы будут по фазе 65°, по амплитуде 6,5 дБ. Выводы 1. Создана методика исследования устойчивости пневмо- гидросистем, основанная на установлении однозначной взаимосвязи полученных экспериментальным путем частотных характеристик пневмо- гидроаппарата, входящего в систему, и вида его передаточной функции. 2. Получен вид передаточных функций для рассматриваемых пневмоаппаратов для которых сформулированы и определены показатели качества переходных процессов и определены запасы по фазе и амплитуде. 3. Для выпускаемых промышленностью современных пневмо- гидроаппаратов, входящих в состав системы, при оценке работоспособности и эффективности ее применения (т.е. динамических свойств и устойчивости всей системы), целесообразно использовать колебательное звено второго порядка для описания поведения самого пневмо- гидроаппарата. 4. Полученные значения постоянных коэффициентов для передаточной функции вида (4) необходимы для выполнения синтеза и структурной оптимизации системы. В качестве критерия при оптимизации системы возможно использовать критерий для линейных механизмов, указанный в работе [6], применяя методику [7, 8]. 5. Установлено, что рационально было бы использовать пропорциональный пневмоаппарат, у которого запасы по фазе и амплитуде больше. Тогда коэффициент усиления для системы можно принять больше. Но в большинстве инженерных приложений требуется, чтобы работа привода (системы) была бы без перерегулирования, т.е. необходимо обеспечить отсутствие колебательности при максимально возможном коэффициенте усиления. Так, например, для выбранного пневмоаппарата при увеличении коэффициента усиления в 6 раз, время переходного процесса уменьшается в 4 раза, при этом запасы будут по фазе 65°, по амплитуде 6,5 дБ. 6. Полученные результаты по идентификации передаточной функции пневмо- гидроаппарата могут применяться в инженерной практике при структурной оптимизации и синтезе систем управления [7, 11, 12] с их использованием.

About the authors

K. A. Trykhanov

SKTB RK

Ph.D.

K. D. Efremova

Bauman Moscow State Technical University

Email: efremova.k.d@gmail.com
Ph.D.

I. V. Makarov

Bauman Moscow State Technical University

References

Supplementary files