Математическая модель процесса включения кулачковой муфты

Аннотация

В статье представлена математическая модель процесса включения кулачковой муфты, применяемой в бло- кировках межколёсных и межосевых дифференциалов автомобилей повышенной проходимости, создана ими- тационная модель в среде MATLAB Simulink. В статье произведён анализ включения кулачковой муфты при различных скоростях вращения полумуфт и силе включения.

Полный текст

Применение кулачковых муфт (рис. 1) для управления трансмиссией автомобиля дает много преимуществ по сравнению с фрикционными муфтами: простая конструкция, более надежное соединение и более высокий ресурс, большая несущая способность и меньшая стоимость. Однако кулачковая муфта не обеспечивает плавное включение, а при больших разностях угловых скоростей вращения соединяемых валов включение невозможно, либо осуществляется с сильными ударами. Это ограничивает применение кулачковой муфты, в частности, в таких областях, как подключение ведущих мостов во время движения автомо- биля, включение блокировок межосевых и межколесных дифференциалов, включение пере- дач в автоматических коробках передач. Как правило, включение блокировок элементов трансмиссии посредством таких муфт возможно только во время остановки или при минимальной скорости движения, что в свою очередь ограничивает подвижность автомобиля на бездорожье и повышает требования к квалификации водителя. Рис. 1. Кулачковая муфта Прочностной расчет включения кулачковой муфты рассмотрен в [1, 2], однако он не отражает граничные условия включения муфты. Процесс включения кулачковой муфты до- статочно подробно исследован в зарубежных источниках [3], где представлено взаимодей- ствие только отдельных участков кулачков полумуфт. Исследование процесса включения кулачковой муфты позволит определить условия надежного включения без поломки и существенного снижения ресурса. Кроме того, исполь- зование математической модели кулачковой муфты в составе имитационной модели транс- миссии колесной машины позволит выработать требования к системе автоматического управления трансмиссией, где ключевым условием для включения блокировки является раз- ность скоростей вращения соединяемых элементов. Пример условий включения блокировок межколесных и межосевых дифференциалов в трансмиссии трактора рассмотрены в работе [4]. При разработке модели включения кулачковой муфты вводится неподвижная цилин- дрическая система координат (рис. 2). На этом и следующих ниже рисунках номером 1 обо- значена полумуфта подвижная в осевом направлении, номером 2 - неподвижная. Начало неподвижной системы координат находится на оси полумуфт, полярный угол отсчитывается от некоторой неподвижной плоскости, проходящей через ось полумуфт, про- дольная координата x отсчитывается от плоскости торцов кулачков подвижной полумуфты в выключенном состоянии. В математической модели рассматривается два типа углов: 1, 2 - абсолютные углы поворота полумуфт и 1, 2 - углы положения одноименных элементов кулачков (например, плоскость симметрии кулачка) в пределах шага муфты  , т.е. углы 1 и 2 изменяются от 0 до  . а) б) Рис. 2. Система координат математической модели зубчатой муфты: а - развертка основных углов на плоскость; б - основные углы Геометрические параметры кулачков представлены на рис. 3: А1, А2 - длина дуги на среднем диаметре торцевого участка кулачка соответствующей полумуфты; D1, D2 - наибольшая длина дуги кулачка на среднем диаметре; γ - угол передней фаски кулачка; ψ - обратный угол боковой поверхности кулачка. Рис. 3. Геометрические параметры полумуфт В общем случае процесс взаимодействия полумуфт при включении можно разбить на несколько этапов, описываемых различными уравнениями в математической модели муфты: начальный этап перемещения подвижной полумуфты до начала взаимодействия со второй полу- муфтой; процесс взаимодействия полумуфт по торцевым поверхностям кулачков; процесс взаимодействия полумуфт по передним фаскам кулачков; процесс взаимодействия полумуфт по боковым поверхностям. Рассмотрим уравнения движения полумуфт на каждом из этапов. Перемещение подвижной полумуфты до начала взаимодействия Уравнения движения полумуфт до начала взаимодействия можно представить в виде: J1  1  M кр1,  m1  x  Fв  Fтр _ шл ,  J2  2  M кр 2 , (1) где J1 , J 2 моменты инерции соединяемых участков трансмиссии, приведенные к полумуфтам; Мкр1, Мкр2 - внешние крутящие моменты, подведенные к каждой из полумуфт (с учетом моментов сопротивления); m1 - масса подвижной полумуфты; х - координата перемещения подвижной муфты в осевом направлении; Fв внешняя сила привода подвижной полумуфты; Fтр _ шл сила трения, действующая на подвижную полумуфту при продольном перемещении. Система уравнений (1) справедлива при х < х0, где х0 - начальный осевой зазор между торцами полумуфт. 2. Взаимодействие полумуфт по торцевым поверхностям кулачков На данном этапе система уравнений движения полумуфт записывается в виде: J1  1  M кр1  Fтр _ т  Rср ,  m1  x  Fв  Fн  Fтр _ шл ,  J2  2  M кр 2  Fтр _ т  Rср , (2) где Fн - нормальная сила, действующая на подвижную полумуфту со стороны неподвижной полумуфты при взаимодействии по торцам (рис. 4а); Fтр _ т сила трения между торцевыми поверхностями кулачков полумуфт; Rср средний радиус кулачков. Нормальную силу в зоне контакта полумуфт можно записать в виде: Fн  с  (х  х0 )  b  х , где c - коэффициент упругости контакта; b - коэффициент демпфирования контакта. Силу трения, возникающую при взаимодействии торцов полумуфт, можно представить в виде (закон Кулона): Fтр _ т  fтр  Fн  sign(отн ) , где fтр коэффициент трения скольжения; отн  (1  2 ) относительная угловая скорость полумуфт. а) б) Рис. 4. Схема контакта на втором этапе: а - силы в пятне контакта зубчатой муфты; б - условия попадания на первый участок Система уравнений (2) описывает движение полумуфт при выполнении следующих условий (рис. 4б):  х  х ,  0   А А      1  2 ,  отн  2 2       А А    1  2 ,  отн  2 2     где отн  (1  2 ) - относительное угловое положение полумуфт в пределах шага кулачков. Взаимодействия полумуфт по передним фаскам кулачков На данном этапе система уравнений движения полумуфт записывается в виде (рис. 5): J1  1  M кр1  Fт  Rср ,  m1  x  Fв  Fос  Fтр _ шл ,  J2  2  M кр 2  Fт  Rср , (3) где Fос и Fт - осевая и тангенциальная составляющие нормальной силы, действующей в контакте полумуфт. Введем подвижную цилиндрическую систему координат для учета зазоров между ку- лачками и направления действия окружных сил при взаимодействии полумуфт. За нулевое положение в окружном направлении примем плоскость, расположенную равноудаленно от соседних кулачков неподвижной в осевом направлении полумуфты (рис. 6). Тогда угловая координата расположения подвижной полумуфты E будет определяться выражением: E     . 2 отн В случае    координата Е будет принимать отрицательные значения, а при услоотн 2 вии    - положительные. До начала взаимодействия по фаскам кулачок подвижной отн 2 полумуфты должен пройти начальный угловой зазор  из начала координат. Ввиду наличия фаски зазор  зависит от положения полумуфты в осевом направлении. Тогда координату начала взаимодействия муфт определим выражением:  х  х0  tan     0  , где      А1  А2  Rср - угловой зазор при положении кулачка подвижной полумуфты в ну- 0 2  2 2    левом положении в окружном направлении и в положении х0 в осевом направлении. Рис. 5. Силы при взаимодействии по передним фаскам полумуфты Рис. 6. Геометрические параметры взаимного расположения полумуфт Тогда нормальная сила в зоне контакта описывается системой уравнений: с(E  )Rср cos()  b(1  2 ) cos(), н  F  0,  ср 1 2 с(E  )R cos()  b(   ) cos(), при E   , при   E   , при E  . Суммарные осевую и тангенциальную силы, действующие на подвижную полумуфту, можно представить в виде выражений: Fос  Fн  sin()  fтр  sign(x)  cos() , Fт  Fн  cos()  fтр  sign(x) sin() . Система уравнений (3) описывает движение полумуфт при выполнении следующих условий:  х  х ,  0   А А      1  2 ,  отн  2 2       А А    1  2 .  отн  2 2     Взаимодействие полумуфт по боковым поверхностям Взаимодействие полумуфт на данном участке может быть описано системой уравнений (рис. 7а): J1  1  M кр1  Fт  Rср ,  m1  x  Fв  Fос  Fтр _ шл ,  J2  2  M кр 2  Fт  Rср . (4) а) б) Рисунок 7. Четвертый этап взаимодействия полумуфт: а - силы в общем случае при обратном угле наклона боковой поверхности кулачка; б - геометрические параметры взаимодействия при прямоугольных кулачках На этом участке нормальная сила в зоне контакта описывается системой уравнений: с(E  )Rср cos()  b(1  2 ) cos(), н  F  0,  ср 1 2 с(E  )R cos()  b(   ) cos(), 0 где в данном случае     (x  x0 )  tan() . при E   , при   E   , при E  , Rср Суммарные осевую и тангенциальную силы, действующие на подвижную полумуфту, можно представить в виде выражений: Fос  Fн   sin()  fтр  sign(x)  cos() , Fт  Fн  cos()  fтр  sign(x) sin() . В случае отсутствия обратного наклона боковой поверхности кулачка ( 0) для упрощения вычислений взаимодействие на третьем участке можно описать следующей си- стемой уравнений: J1  1  M кр1  Fн  Rср  m1  x  Fв  Fтр  Fтр _ шл , (5)  J2  2  M кр 2  Fн  Rср где нормальная сила в зоне контакта описывается системой уравнений: с(E  )Rср  b(1  2 ), н  F  0,  ср 1 2 с(E  )R  b(   ), при E   , при   E   , при E  , где      D1  D2  - угловой зазор при симметричном расположении кулачка в пределах 2  2 2    шага (рис. 7б). Система уравнений (4) и (5) описывает движение полумуфт при x  х1 , где х  x  D1  A1  D2  A2 . 1 0 2  tan() 2  tan() На основе приведенных уравнений была разработана имитационная модель в среде Matlab Simulink [5]. Все геометрические и силовые взаимосвязи оформлены в виде блока «DOG-CLUTCH», входными параметрами которого являются углы, угловые скорости вра- щения соединяемых валов и сила включения муфты, выходными - крутящие моменты, дей- ствующие на валы и перемещение подвижной полумуфты в осевом направлении. С использованием полученной имитационной модели был проведен ряд программных испытаний включения зубчатой муфты. В модели рассматривалась кулачковая муфта с 8-ю прямоугольными торцевыми зубьями с фасками для облегчения включения. Схема испыта- ния модели показана на рис. 8. В ходе испытаний были приняты следующие допущения: к соединяемым валам подводятся постоянные крутящие моменты; сила включения задается постоянной. Рис. 8. Схема испытания модели кулачковой муфты Рисунок 9. Процесс включения зубчатой муфты при попадании «зуб в зуб» График изменения передаваемого момента на полумуфты, перемещение подвижной полумуфты и разность угловых скоростей полумуфт при включении с постоянной силой представлен на рис. 9, где виден эффект попадания «зуб-в-зуб», который приводит к задерж- ке включения. а) б) Рис. 10. Процесс включения кулачковой муфты: а - отскок кулачковой муфты; б - области надежного и ненадежного включения муфты При слишком большой разности угловых скоростей вращения полумуфт и при малой величине силы привода муфты включение не происходит, так как в этом случае процесс со- провождается ударами по фаскам и отскоком подвижной полумуфты. График изменения основных параметров при отсутствии включения представлен на рис. 10а. Большое влияние на время включения оказывают величины подводящих крутящих мо- ментов на зубчатые муфты, а также взаимное расположение зубьев. Ненагруженные зубча- тые муфты включаются гораздо быстрее и надежнее. Для данной муфты были найдены гра- ничные условия, при которых не происходит ее включение (рис. 10б). Также на надежность включения и время включения оказывает влияние взаимное рас- положение зубьев во время перемещения подвижной полумуфты. При попадании зубьев од- ной из полумуфт во впадины другой процесс включения происходит быстро и без отскока полумуфты. Но вероятность такого включения невелика и уменьшается с увеличением раз- ности угловых скоростей вращения. Рассмотренная математическая модель кулачковой муфты позволяет определить усло- вия включения муфты, что может быть использовано при разработке автоматических систем управления трансмиссией, в частности, для синтеза закона управления муфтами блокировки дифференциалов колесных машин.