Mathematical model of shifting sleeve switching process

Abstract

The paper presents a mathematical model of shifting sleeve switching process used in interwheel and interaxal dif- ferential locking on off-road vehicles. The simulation model in MATLAB Simulink is created. The paper analyzes shifting sleeve switching process at different speeds of sleeves rotation and powers of switching.

Full Text

Применение кулачковых муфт (рис. 1) для управления трансмиссией автомобиля дает много преимуществ по сравнению с фрикционными муфтами: простая конструкция, более надежное соединение и более высокий ресурс, большая несущая способность и меньшая стоимость. Однако кулачковая муфта не обеспечивает плавное включение, а при больших разностях угловых скоростей вращения соединяемых валов включение невозможно, либо осуществляется с сильными ударами. Это ограничивает применение кулачковой муфты, в частности, в таких областях, как подключение ведущих мостов во время движения автомо- биля, включение блокировок межосевых и межколесных дифференциалов, включение пере- дач в автоматических коробках передач. Как правило, включение блокировок элементов трансмиссии посредством таких муфт возможно только во время остановки или при минимальной скорости движения, что в свою очередь ограничивает подвижность автомобиля на бездорожье и повышает требования к квалификации водителя. Рис. 1. Кулачковая муфта Прочностной расчет включения кулачковой муфты рассмотрен в [1, 2], однако он не отражает граничные условия включения муфты. Процесс включения кулачковой муфты до- статочно подробно исследован в зарубежных источниках [3], где представлено взаимодей- ствие только отдельных участков кулачков полумуфт. Исследование процесса включения кулачковой муфты позволит определить условия надежного включения без поломки и существенного снижения ресурса. Кроме того, исполь- зование математической модели кулачковой муфты в составе имитационной модели транс- миссии колесной машины позволит выработать требования к системе автоматического управления трансмиссией, где ключевым условием для включения блокировки является раз- ность скоростей вращения соединяемых элементов. Пример условий включения блокировок межколесных и межосевых дифференциалов в трансмиссии трактора рассмотрены в работе [4]. При разработке модели включения кулачковой муфты вводится неподвижная цилин- дрическая система координат (рис. 2). На этом и следующих ниже рисунках номером 1 обо- значена полумуфта подвижная в осевом направлении, номером 2 - неподвижная. Начало неподвижной системы координат находится на оси полумуфт, полярный угол отсчитывается от некоторой неподвижной плоскости, проходящей через ось полумуфт, про- дольная координата x отсчитывается от плоскости торцов кулачков подвижной полумуфты в выключенном состоянии. В математической модели рассматривается два типа углов: 1, 2 - абсолютные углы поворота полумуфт и 1, 2 - углы положения одноименных элементов кулачков (например, плоскость симметрии кулачка) в пределах шага муфты  , т.е. углы 1 и 2 изменяются от 0 до  . а) б) Рис. 2. Система координат математической модели зубчатой муфты: а - развертка основных углов на плоскость; б - основные углы Геометрические параметры кулачков представлены на рис. 3: А1, А2 - длина дуги на среднем диаметре торцевого участка кулачка соответствующей полумуфты; D1, D2 - наибольшая длина дуги кулачка на среднем диаметре; γ - угол передней фаски кулачка; ψ - обратный угол боковой поверхности кулачка. Рис. 3. Геометрические параметры полумуфт В общем случае процесс взаимодействия полумуфт при включении можно разбить на несколько этапов, описываемых различными уравнениями в математической модели муфты: начальный этап перемещения подвижной полумуфты до начала взаимодействия со второй полу- муфтой; процесс взаимодействия полумуфт по торцевым поверхностям кулачков; процесс взаимодействия полумуфт по передним фаскам кулачков; процесс взаимодействия полумуфт по боковым поверхностям. Рассмотрим уравнения движения полумуфт на каждом из этапов. Перемещение подвижной полумуфты до начала взаимодействия Уравнения движения полумуфт до начала взаимодействия можно представить в виде: J1  1  M кр1,  m1  x  Fв  Fтр _ шл ,  J2  2  M кр 2 , (1) где J1 , J 2 моменты инерции соединяемых участков трансмиссии, приведенные к полумуфтам; Мкр1, Мкр2 - внешние крутящие моменты, подведенные к каждой из полумуфт (с учетом моментов сопротивления); m1 - масса подвижной полумуфты; х - координата перемещения подвижной муфты в осевом направлении; Fв внешняя сила привода подвижной полумуфты; Fтр _ шл сила трения, действующая на подвижную полумуфту при продольном перемещении. Система уравнений (1) справедлива при х < х0, где х0 - начальный осевой зазор между торцами полумуфт. 2. Взаимодействие полумуфт по торцевым поверхностям кулачков На данном этапе система уравнений движения полумуфт записывается в виде: J1  1  M кр1  Fтр _ т  Rср ,  m1  x  Fв  Fн  Fтр _ шл ,  J2  2  M кр 2  Fтр _ т  Rср , (2) где Fн - нормальная сила, действующая на подвижную полумуфту со стороны неподвижной полумуфты при взаимодействии по торцам (рис. 4а); Fтр _ т сила трения между торцевыми поверхностями кулачков полумуфт; Rср средний радиус кулачков. Нормальную силу в зоне контакта полумуфт можно записать в виде: Fн  с  (х  х0 )  b  х , где c - коэффициент упругости контакта; b - коэффициент демпфирования контакта. Силу трения, возникающую при взаимодействии торцов полумуфт, можно представить в виде (закон Кулона): Fтр _ т  fтр  Fн  sign(отн ) , где fтр коэффициент трения скольжения; отн  (1  2 ) относительная угловая скорость полумуфт. а) б) Рис. 4. Схема контакта на втором этапе: а - силы в пятне контакта зубчатой муфты; б - условия попадания на первый участок Система уравнений (2) описывает движение полумуфт при выполнении следующих условий (рис. 4б):  х  х ,  0   А А      1  2 ,  отн  2 2       А А    1  2 ,  отн  2 2     где отн  (1  2 ) - относительное угловое положение полумуфт в пределах шага кулачков. Взаимодействия полумуфт по передним фаскам кулачков На данном этапе система уравнений движения полумуфт записывается в виде (рис. 5): J1  1  M кр1  Fт  Rср ,  m1  x  Fв  Fос  Fтр _ шл ,  J2  2  M кр 2  Fт  Rср , (3) где Fос и Fт - осевая и тангенциальная составляющие нормальной силы, действующей в контакте полумуфт. Введем подвижную цилиндрическую систему координат для учета зазоров между ку- лачками и направления действия окружных сил при взаимодействии полумуфт. За нулевое положение в окружном направлении примем плоскость, расположенную равноудаленно от соседних кулачков неподвижной в осевом направлении полумуфты (рис. 6). Тогда угловая координата расположения подвижной полумуфты E будет определяться выражением: E     . 2 отн В случае    координата Е будет принимать отрицательные значения, а при услоотн 2 вии    - положительные. До начала взаимодействия по фаскам кулачок подвижной отн 2 полумуфты должен пройти начальный угловой зазор  из начала координат. Ввиду наличия фаски зазор  зависит от положения полумуфты в осевом направлении. Тогда координату начала взаимодействия муфт определим выражением:  х  х0  tan     0  , где      А1  А2  Rср - угловой зазор при положении кулачка подвижной полумуфты в ну- 0 2  2 2    левом положении в окружном направлении и в положении х0 в осевом направлении. Рис. 5. Силы при взаимодействии по передним фаскам полумуфты Рис. 6. Геометрические параметры взаимного расположения полумуфт Тогда нормальная сила в зоне контакта описывается системой уравнений: с(E  )Rср cos()  b(1  2 ) cos(), н  F  0,  ср 1 2 с(E  )R cos()  b(   ) cos(), при E   , при   E   , при E  . Суммарные осевую и тангенциальную силы, действующие на подвижную полумуфту, можно представить в виде выражений: Fос  Fн  sin()  fтр  sign(x)  cos() , Fт  Fн  cos()  fтр  sign(x) sin() . Система уравнений (3) описывает движение полумуфт при выполнении следующих условий:  х  х ,  0   А А      1  2 ,  отн  2 2       А А    1  2 .  отн  2 2     Взаимодействие полумуфт по боковым поверхностям Взаимодействие полумуфт на данном участке может быть описано системой уравнений (рис. 7а): J1  1  M кр1  Fт  Rср ,  m1  x  Fв  Fос  Fтр _ шл ,  J2  2  M кр 2  Fт  Rср . (4) а) б) Рисунок 7. Четвертый этап взаимодействия полумуфт: а - силы в общем случае при обратном угле наклона боковой поверхности кулачка; б - геометрические параметры взаимодействия при прямоугольных кулачках На этом участке нормальная сила в зоне контакта описывается системой уравнений: с(E  )Rср cos()  b(1  2 ) cos(), н  F  0,  ср 1 2 с(E  )R cos()  b(   ) cos(), 0 где в данном случае     (x  x0 )  tan() . при E   , при   E   , при E  , Rср Суммарные осевую и тангенциальную силы, действующие на подвижную полумуфту, можно представить в виде выражений: Fос  Fн   sin()  fтр  sign(x)  cos() , Fт  Fн  cos()  fтр  sign(x) sin() . В случае отсутствия обратного наклона боковой поверхности кулачка ( 0) для упрощения вычислений взаимодействие на третьем участке можно описать следующей си- стемой уравнений: J1  1  M кр1  Fн  Rср  m1  x  Fв  Fтр  Fтр _ шл , (5)  J2  2  M кр 2  Fн  Rср где нормальная сила в зоне контакта описывается системой уравнений: с(E  )Rср  b(1  2 ), н  F  0,  ср 1 2 с(E  )R  b(   ), при E   , при   E   , при E  , где      D1  D2  - угловой зазор при симметричном расположении кулачка в пределах 2  2 2    шага (рис. 7б). Система уравнений (4) и (5) описывает движение полумуфт при x  х1 , где х  x  D1  A1  D2  A2 . 1 0 2  tan() 2  tan() На основе приведенных уравнений была разработана имитационная модель в среде Matlab Simulink [5]. Все геометрические и силовые взаимосвязи оформлены в виде блока «DOG-CLUTCH», входными параметрами которого являются углы, угловые скорости вра- щения соединяемых валов и сила включения муфты, выходными - крутящие моменты, дей- ствующие на валы и перемещение подвижной полумуфты в осевом направлении. С использованием полученной имитационной модели был проведен ряд программных испытаний включения зубчатой муфты. В модели рассматривалась кулачковая муфта с 8-ю прямоугольными торцевыми зубьями с фасками для облегчения включения. Схема испыта- ния модели показана на рис. 8. В ходе испытаний были приняты следующие допущения: к соединяемым валам подводятся постоянные крутящие моменты; сила включения задается постоянной. Рис. 8. Схема испытания модели кулачковой муфты Рисунок 9. Процесс включения зубчатой муфты при попадании «зуб в зуб» График изменения передаваемого момента на полумуфты, перемещение подвижной полумуфты и разность угловых скоростей полумуфт при включении с постоянной силой представлен на рис. 9, где виден эффект попадания «зуб-в-зуб», который приводит к задерж- ке включения. а) б) Рис. 10. Процесс включения кулачковой муфты: а - отскок кулачковой муфты; б - области надежного и ненадежного включения муфты При слишком большой разности угловых скоростей вращения полумуфт и при малой величине силы привода муфты включение не происходит, так как в этом случае процесс со- провождается ударами по фаскам и отскоком подвижной полумуфты. График изменения основных параметров при отсутствии включения представлен на рис. 10а. Большое влияние на время включения оказывают величины подводящих крутящих мо- ментов на зубчатые муфты, а также взаимное расположение зубьев. Ненагруженные зубча- тые муфты включаются гораздо быстрее и надежнее. Для данной муфты были найдены гра- ничные условия, при которых не происходит ее включение (рис. 10б). Также на надежность включения и время включения оказывает влияние взаимное рас- положение зубьев во время перемещения подвижной полумуфты. При попадании зубьев од- ной из полумуфт во впадины другой процесс включения происходит быстро и без отскока полумуфты. Но вероятность такого включения невелика и уменьшается с увеличением раз- ности угловых скоростей вращения. Рассмотренная математическая модель кулачковой муфты позволяет определить усло- вия включения муфты, что может быть использовано при разработке автоматических систем управления трансмиссией, в частности, для синтеза закона управления муфтами блокировки дифференциалов колесных машин.