Критерии длительной прочности сжимаемой упруго-вязкой стареющей среды
- Авторы: Арутюнян А.Р1, Арутюнян Р.А1
-
Учреждения:
- Санкт-Петербургский государственный университет
- Выпуск: Том 9, № 2-4 (2015)
- Страницы: 19-24
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67104
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67104
- ID: 67104
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассматривается проблема поврежденности и длительной прочности полимерных и композиционных материалов с вязко-хрупкими механическими характеристиками. Используется модифицированное уравнение Максвелла, записанное в шкале эффективного времени и уравнение наследственной вязко-упругости Больцмана-Вольтерра. Параметр сплошности (поврежденности) определяется величиной относительного изменения плотности, являющегося интегральной мерой накопления структурных микродефектов в процессе длительного нагружения. Формулируется кинетическое уравнение для параметра сплошности и анализируется взаимосвязанные системы уравнений ползучести и поврежденности. Получены аналитические соотношения для деформации ползучести, параметра сплошности и критерии длительной прочности. Построены соответствующие теоретические кривые.
Полный текст
Введение Большинство полимеров (реактопластов, полистиролов, полиакрилатов, поливинил- хлоридов и др.) и композитов на основе полимерной матрицы разрушаются при малых вели- чинах остаточной деформации. При длительном воздействии механических напряжений и умеренных температур происходят взаимосвязанные процессы деформирования и повре- жденности, которые определяются деструктивными эффектами, состоящими из термической и механической стадий. В случае композиционных материалов из хрупких компонент по- врежденность определяется следующими деградационными процессами: потерей сплошно- сти зоны контакта «волокно-матрица», разрушение волокон в дефектных объемах, образова- ние трещин или пустот в матрице и др. Эти процессы сопровождаются химическими реакци- ями, которые усиливают изменения структуры и свойств рассматриваемых материалов в ре- зультате длительного температурно-силового воздействия. В механике рассеянного повреждения и хрупкого разрушения рассматривается концеп- ция сплошности (Качанов [1]) и поврежденности (Работнов [2]). Следуя Качанову, введем параметр сплошности (1 0 ), который в работе определяется относительным изменением объема (разрыхлением, по терминологии Новожилова [3]) или плотности / 0 ( 0 - начальная, - текущая плотность) [4]. Таким образом, параметр сплошности является ин- тегральной мерой накопления структурных микродефектов в процессе длительного нагруже- ния. В мировой научной литературе имеются многочисленные экспериментальные исследования по изучению эволюции параметра в процессе ползучести для металлов и композитов [5-11]. В начальном состоянии 0 . t 0 , 0 , 1 . В момент разрушения t t f , 0 , Так как реальные материалы имеют случайную структуру, поэтому параметр сплошно- сти является статистическим показателем, который может быть задан с помощью некоторого кинетического уравнения. В общем виде эти уравнения базируются на двух гипотезах [12, 13]. Согласно первой гипотезе, хрупкое разрушение протекает со скоростью, зависящей только от напряжения (t) : d f (t) . (1) dt Согласно второй гипотезе, и в соответствии с представлениями статистической физики, скорость хрупкого разрушения зависит от напряжения и величины накопленной поврежден- ности: В уравнениях (1)-(2) (t) d f (t), . (2) dt - напряжение, зависящее от времени. В случае ползучести, при условии (t) 0 const , 1 0 , 0 t t f терии длительной прочности: из решения уравнений (1), (2) следуют криt f 1/ f (0 ) , (3) 0 d t f . (4) t f (0 , ) При формулировке критерия длительной прочности в виде соотношений (3), (4) при- нимается условие постоянства напряжения в условиях ползучести. В связи с этим следует отметить, что опыты на ползучесть выполняются при постоянной величине, приложенной к образцу нагрузки P . Сбрасывая время от времени нагрузку, можно добиться выполнения условия постоянства напряжения. Однако практическая реализация этого условия не совсем выполнима, так как изменение поперечного сечения образца из-за образования пор и трещин препятствует точной оценке величины истинного напряжения. Поврежденность и длительная прочность для стареющей среды Максвелла Рассмотрим задачу о растяжении образца из упруго-вязкого стареющего материала под воздействием постоянной нагрузки P . В качестве реологического уравнения воспользуемся модифицированным уравнением Максвелла, записанным в шкале эффективного времени [4]: d 1 d , d d E d f1 (, ,T , t)dt f2 (, ,T , t)d, (5) где: - деформация, T - температура, t - время, E - модуль упругости, - коэффициент вязкости. Параметр рассматривается как эффективное время, с помощью которого возможно описание процессов деформационного старения, а также старения после закалки. Согласно уравнению (5), при мгновенных, активных нагружениях этот параметр соответствует дефор- мационному времени . В состоянии разгрузки и стабилизации параметр описывает кине- тику химических процессов старения и сводится к обычному времени t . При расчетах по формуле (5) параметр эффективного времени задается в виде соотношения [14]: d a ekt dt b d , (6) где: a , b , k - постоянные. Для определения длительной прочности дополнительно к уравнениям (5)-(6) рассмат- ривается соотношение для параметра сплошности, которое выбирается в виде степенной за- висимости [15]: d n n n n где: A , n - постоянные. A A0 e dt , (7) Уравнение (7) выражено в истинных напряжениях (с учетом закона сохранения массы 0 l0 F0 l F имеем P / F 0 F0 / F 0e , 0 P / F0 , ln(l / l0 ) , l0 , F0 начальные и l , F - текущие длина и площадь поперечного сечения образца, - истинное, 0 ное напряжение. услов- Аналитические решения взаимосвязанных уравнений (5), (6), (7) возможны при некоторых разумных предположениях. Принимая условия уравнения (5) с учетом (6) записывается в виде: t 0 , 0 , 0 const , решение kt 1 a(e 1) , (8) E k 1 b E где: / E - время релаксации. Внося соотношение (8) в уравнение (7) и решая его при начальном условии t 0 , 1 , получим: n1 n0 1 1n n0 1 A0 an( 1 n ) e E ekt e E 1 a ekt 1 . (9) E2 1 σ 0b E k 1 σ 0b E E Кривая изменения параметра сплошности согласно формуле (9) представлена на ри- сунке 1. Рисунок 1. Кривая изменения параметра сплошности согласно формуле (9) Принимая условие разрушения t t f , ( - величина сплошности при разрушении) из (9) получим уравнение, которое сводится к следующему: kt f kt f A1e B 0 , (10) (1n 1)E2 1 0b n0 где: A1 n0a , B n 0 n 0a ln e E n1 E . E b n A an 0 E2k 1 0b E2k 1 (1 ) 0 E E Решение уравнения (10) имеет вид: B t W ( A1e f k ) B , (11) где: W - функция Ламберта, которая может быть определена в следующем виде: W0 (x) (n)n1 xn . n! n1 Взяв в данном разложении только первые два члена ряда, получим решение уравнения (10) в виде: f B t A1e B 2 ( A1e ) k B . (12) При расчетах по формулам (9) и (12) были приняты следующие значения коэффициентов: E 2000 МПа , a 0,8 [ч]1 , b 3 , 35 [ч] , n 2 , k 0,1[ч]1 , A 0,1[МПа]2 , 0 80 МПа , 0,1 . На рисунке 2 показана теоретическая кривая длительной прочности согласно критерию (12). Рисунок 2. Кривая длительной прочности согласно критерию (12) Характер экспериментальных кривых длительной прочности для различных полимеров (винипласта, пластиката ПБ-2, АВС-пластика) [13] соответствует показанным на рисунке 2 теоретическим кривым. Поврежденность и разрушение наследственной упруго-вязкой среды Больцмана-Вольтерра При решении задачи о ползучести и длительной прочности растянутого образца из упруго-вязкого материала под воздействием постоянной нагрузки P воспользуемся уравне- нием наследственной вязкоупругости Больцмана-Вольтерра: t t (t) ( ) 1 0 E E R(t )()d , (13) где: R(t ) некоторая убывающая функция аргумента (t ) (ядро ползучести). Далее рассмотрим наиболее простую формулу ядра ползучести в виде модифицирован- ного соотношения Больцмана: где: c , 0 постоянные. R(t ) c t 0 , (14) Как будет показано далее, при таком выборе ядра ползучести удается получить анали- тическое решение уравнения сплошности (7) и сформулировать соответствующий критерий длительной прочности. В случае ползучести, когда 0 const , из решения уравнения (13) с учетом (14) и начального условия t 0 , 0 имеем соотношение для деформации ползучести [16]: 1 t c ln 0 . (15) 0 E 0 Внося (15) в уравнение для параметра сплошности (7) и решая это уравнение при начальном условии t 0 , 1 , получим: n0 1 0 n c1 1n 1 (1 n) Ane E 0 1 t 0 . (16) 0 n0c 1 0 На рисунке 3 представлена кривая изменения параметра сплошности согласно фор- муле (16). Рисунок 3. Кривая изменения параметра сплошности согласно формуле (16) Принимая условие разрушения ной прочности: t t f , 0 , 0 , из (16) получим критерий длитель- 1 n0c1 t 1 n0c 1 1 . (17) f 0 n0 0 0 (1 n) An e E Кривая длительной прочности согласно формуле (17) представлена на рисунке 4. Рисунок 4. Кривая длительной прочности согласно критерию (17) При расчетах по формулам (16) и (17) были приняты следующие значения коэффици- 2 1 ентов: 0 50 МПа , E 4000 МПа , 0 2 ч , n 0, 7 , C 5 10 [МПа] , A 11011 [МПа]0,7 . Выводы Рассмотрена взаимосвязанная система уравнений Максвелла и параметра сплошности. Уравнение Максвелла записано в шкале эффективного времени и описывает кривые пол- зучести для стареющей среды. В результате решения предложенных уравнений получены соотношения для деформации ползучести, параметра сплошности и критерий длительной прочности. Уравнение наследственной упруго-вязкой среды Больцмана-Вольтерра применяется для описания деформации ползучести и длительной прочности сжимаемой упруго-вязкой среды. С учетом этого уравнения получено аналитическое решение для параметра сплошности и сформулирован критерий длительной прочности. По полученным решениям построены теоретические кривые для параметра сплошности и сформулированы критерии длительной прочности. Показано, что характер теоретических кривых находится в качественном согласии с соответствующими экспериментальными кривыми.×
Об авторах
А. Р Арутюнян
Санкт-Петербургский государственный университетк.ф.-м.н. с.н.с.; 8 (812) 5266591
Р. А Арутюнян
Санкт-Петербургский государственный университет
Email: Robert.Arutyunyan@paloma.spbu.ru
д.ф.-м.н. проф.; 8 (812) 5266591
Список литературы
- Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 8. С. 26-31.
- Работнов Ю.Н. О механизме длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР. 1959. С. 5-7.
- Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // Прикладная математика и механика. 1965. № 4. С. 681-689.
- Арутюнян Р.А. Проблема деформационного старения и длительного разрушения в меха- нике материалов. СПб.: Изд-во СПбГУ. 2004. 252 с.
- Boethner R.C, Robertson W.D. A study of the growth of voids in copper during the creep process by measurement of the accompanying change in density // Trans. of the Metallurg. Society of AIME. 1961. vol. 221. № 3. P. 613-622.
- Beghi C., Geel C., Piatti G. Density measurements after tensile and creep tests on pure and slightly oxidised aluminium // J. Mat. Sci. 1970. vol. 5. № 4. P. 331-334.
- Brathe L. Macroscopic measurements of creep damage in metals // Scand. J. Metal. 1978. vol. 7. № 5. P. 199-203.
- Woodford D.A. Density changes during creep in nickel // Metal science journal. 1969. vol. 3. № 11. P. 234-240.
- Куманин В.И., Ковалева Л.А., Алексеева С.В. Долговечность металла в условиях ползучести. М.: Металлургия. 1988. 223 с.
- Bowring P., Davies P.W., Wilshire B. The strain dependence of density changes during creep // Metal science journal. 1968. vol. 2. № 9. P. 168-171.
- Кузнецов Г.Б., Ковров В.Н. Учет эффектов разрыхления высоконаполненного полимера в уравнениях наследственной вязкоупругости // Известия РАН. Механика твердого тела. 1994. № 4. С. 110-115.
- Havard R.N. The extension and rupture of cellulose acetate and celluloid // Trans. Farad. Soc. 1942. vol. 38. P. 394-400.
- Бокшицкий М.Н. Длительная прочность полимеров. М.: Химия. 1978. 310с.
- Arutyunyan R.A. Deformation aging of polymer materials // Proceedings of XXXIl Summer School-Conference “Advanced problems in mechanics 2003”. June 22-July 2, 2003. Repino, St.-Petersburg. St.-Petersburg: IPME RAS. 2003. P. 17-21.
- Арутюнян Р.А. Высокотемпературное охрупчивание и длительная прочность металличе- ских материалов // Механика твердого тела. 2015. №2. С. 96-104.
- Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966. 752 с.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)