Criteria for long-term strength of compressible viscoelastic medium aging

Full Text

Введение Большинство полимеров (реактопластов, полистиролов, полиакрилатов, поливинил- хлоридов и др.) и композитов на основе полимерной матрицы разрушаются при малых вели- чинах остаточной деформации. При длительном воздействии механических напряжений и умеренных температур происходят взаимосвязанные процессы деформирования и повре- жденности, которые определяются деструктивными эффектами, состоящими из термической и механической стадий. В случае композиционных материалов из хрупких компонент по- врежденность определяется следующими деградационными процессами: потерей сплошно- сти зоны контакта «волокно-матрица», разрушение волокон в дефектных объемах, образова- ние трещин или пустот в матрице и др. Эти процессы сопровождаются химическими реакци- ями, которые усиливают изменения структуры и свойств рассматриваемых материалов в ре- зультате длительного температурно-силового воздействия. В механике рассеянного повреждения и хрупкого разрушения рассматривается концеп- ция сплошности (Качанов [1]) и поврежденности (Работнов [2]). Следуя Качанову, введем параметр сплошности  (1   0 ), который в работе определяется относительным изменением объема (разрыхлением, по терминологии Новожилова [3]) или плотности    / 0 ( 0 - начальная,  - текущая плотность) [4]. Таким образом, параметр сплошности является ин- тегральной мерой накопления структурных микродефектов в процессе длительного нагруже- ния. В мировой научной литературе имеются многочисленные экспериментальные исследования по изучению эволюции параметра  в процессе ползучести для металлов и композитов [5-11]. В начальном состоянии   0 . t  0 ,  0 ,   1 . В момент разрушения t  t f ,  0 , Так как реальные материалы имеют случайную структуру, поэтому параметр сплошно- сти является статистическим показателем, который может быть задан с помощью некоторого кинетического уравнения. В общем виде эти уравнения базируются на двух гипотезах [12, 13]. Согласно первой гипотезе, хрупкое разрушение протекает со скоростью, зависящей только от напряжения (t) : d   f (t) . (1) dt Согласно второй гипотезе, и в соответствии с представлениями статистической физики, скорость хрупкого разрушения зависит от напряжения и величины накопленной поврежден- ности: В уравнениях (1)-(2) (t) d   f (t), . (2) dt - напряжение, зависящее от времени. В случае ползучести, при условии (t)  0  const , 1   0 , 0  t  t f терии длительной прочности: из решения уравнений (1), (2) следуют криt f  1/ f (0 ) , (3) 0 d t f   . (4) t f (0 , ) При формулировке критерия длительной прочности в виде соотношений (3), (4) при- нимается условие постоянства напряжения в условиях ползучести. В связи с этим следует отметить, что опыты на ползучесть выполняются при постоянной величине, приложенной к образцу нагрузки P . Сбрасывая время от времени нагрузку, можно добиться выполнения условия постоянства напряжения. Однако практическая реализация этого условия не совсем выполнима, так как изменение поперечного сечения образца из-за образования пор и трещин препятствует точной оценке величины истинного напряжения. Поврежденность и длительная прочность для стареющей среды Максвелла Рассмотрим задачу о растяжении образца из упруго-вязкого стареющего материала под воздействием постоянной нагрузки P . В качестве реологического уравнения воспользуемся модифицированным уравнением Максвелла, записанным в шкале эффективного времени [4]: d   1 d    , d d  E d  f1 (, ,T , t)dt  f2 (, ,T , t)d, (5) где:  - деформация, T - температура, t - время, E - модуль упругости,  - коэффициент вязкости. Параметр  рассматривается как эффективное время, с помощью которого возможно описание процессов деформационного старения, а также старения после закалки. Согласно уравнению (5), при мгновенных, активных нагружениях этот параметр соответствует дефор- мационному времени  . В состоянии разгрузки и стабилизации параметр  описывает кине- тику химических процессов старения и сводится к обычному времени t . При расчетах по формуле (5) параметр эффективного времени задается в виде соотношения [14]: d  a  ekt  dt  b  d , (6) где: a , b , k - постоянные. Для определения длительной прочности дополнительно к уравнениям (5)-(6) рассмат- ривается соотношение для параметра сплошности, которое выбирается в виде степенной за- висимости [15]: d n n n n где: A , n - постоянные.  A  A0  e dt , (7) Уравнение (7) выражено в истинных напряжениях (с учетом закона сохранения массы  0 l0 F0   l F имеем  P / F  0 F0 / F  0e , 0  P / F0 ,  ln(l / l0 ) , l0 , F0 начальные и l , F - текущие длина и площадь поперечного сечения образца,  - истинное, 0 ное напряжение. услов- Аналитические решения взаимосвязанных уравнений (5), (6), (7) возможны при некоторых разумных предположениях. Принимая условия уравнения (5) с учетом (6) записывается в виде:   t  0 ,  0 ,  0  const , решение  kt     1  a(e 1)  , (8) E  k 1 b     E   где:  / E  - время релаксации.    Внося соотношение (8) в уравнение (7) и решая его при начальном условии t  0 ,   1 , получим:   n1   n0 1  1n n0      1  A0 an( 1  n ) e E ekt e E 1  a ekt  1 . (9)    E2  1  σ 0b      E k  1  σ 0b      E     E      Кривая изменения параметра сплошности  согласно формуле (9) представлена на ри- сунке 1. Рисунок 1. Кривая изменения параметра сплошности  согласно формуле (9) Принимая условие разрушения t  t f ,    (  - величина сплошности при разрушении) из (9) получим уравнение, которое сводится к следующему: kt f kt f  A1e  B  0 , (10)  (1n 1)E2 1 0b      n0      где: A1  n0a , B  n 0  n 0a ln  e E   n1 E   . E   b   n A an  0 E2k 1 0b  E2k 1   (1 ) 0   E  E       Решение уравнения (10) имеет вид:  B t   W ( A1e f k )  B , (11) где: W - функция Ламберта, которая может быть определена в следующем виде:  W0 (x)   (n)n1 xn . n! n1 Взяв в данном разложении только первые два члена ряда, получим решение уравнения (10) в виде: f  B t   A1e  B 2  ( A1e ) k  B . (12) При расчетах по формулам (9) и (12) были приняты следующие значения коэффициентов: E  2000 МПа , a  0,8 [ч]1 , b  3 ,  35 [ч] , n  2 , k  0,1[ч]1 , A  0,1[МПа]2 , 0  80 МПа ,   0,1 . На рисунке 2 показана теоретическая кривая длительной прочности согласно критерию (12). Рисунок 2. Кривая длительной прочности согласно критерию (12) Характер экспериментальных кривых длительной прочности для различных полимеров (винипласта, пластиката ПБ-2, АВС-пластика) [13] соответствует показанным на рисунке 2 теоретическим кривым. Поврежденность и разрушение наследственной упруго-вязкой среды Больцмана-Вольтерра При решении задачи о ползучести и длительной прочности растянутого образца из упруго-вязкого материала под воздействием постоянной нагрузки P воспользуемся уравне- нием наследственной вязкоупругости Больцмана-Вольтерра:  t t (t)  ( ) 1 0 E  E  R(t  )()d  , (13) где: R(t  ) некоторая убывающая функция аргумента (t  ) (ядро ползучести). Далее рассмотрим наиболее простую формулу ядра ползучести в виде модифицирован- ного соотношения Больцмана: где: c , 0 постоянные. R(t  )  c t   0 , (14) Как будет показано далее, при таком выборе ядра ползучести удается получить анали- тическое решение уравнения сплошности (7) и сформулировать соответствующий критерий длительной прочности. В случае ползучести, когда  0  const , из решения уравнения (13) с учетом (14) и начального условия t  0 ,  0 имеем соотношение для деформации ползучести [16]:    1  t      c ln 0 . (15) 0      E  0   Внося (15) в уравнение для параметра сплошности (7) и решая это уравнение при начальном условии t  0 ,   1 , получим:  n0      1  0  n c1 1n   1 (1 n) Ane E 0 1 t 0  . (16) 0    n0c 1   0      На рисунке 3 представлена кривая изменения параметра сплошности  согласно фор- муле (16). Рисунок 3. Кривая изменения параметра сплошности  согласно формуле (16) Принимая условие разрушения ной прочности: t  t f ,  0 ,   0 , из (16) получим критерий длитель-  1   n0c1  t    1 n0c 1  1 . (17) f 0 n0   0 0    (1 n) An  e E     Кривая длительной прочности согласно формуле (17) представлена на рисунке 4. Рисунок 4. Кривая длительной прочности согласно критерию (17) При расчетах по формулам (16) и (17) были приняты следующие значения коэффици- 2 1 ентов: 0  50 МПа , E  4000 МПа , 0  2 ч , n  0, 7 , C  5 10 [МПа] , A  11011 [МПа]0,7 . Выводы Рассмотрена взаимосвязанная система уравнений Максвелла и параметра сплошности. Уравнение Максвелла записано в шкале эффективного времени и описывает кривые пол- зучести для стареющей среды. В результате решения предложенных уравнений получены соотношения для деформации ползучести, параметра сплошности и критерий длительной прочности. Уравнение наследственной упруго-вязкой среды Больцмана-Вольтерра применяется для описания деформации ползучести и длительной прочности сжимаемой упруго-вязкой среды. С учетом этого уравнения получено аналитическое решение для параметра сплошности и сформулирован критерий длительной прочности. По полученным решениям построены теоретические кривые для параметра сплошности и сформулированы критерии длительной прочности. Показано, что характер теоретических кривых находится в качественном согласии с соответствующими экспериментальными кривыми.

About the authors

A. R. Arutyunyan

Saint Petersburg State University

Ph.D.; +7 812 5266591

R. A. Arutyunyan

Saint Petersburg State University

Email: Robert.Arutyunyan@paloma.spbu.ru
Dr. Sc., Prof.; +7 812 5266591

References

Supplementary files