Расчет вторичных течений в ГТД

Аннотация

Рассмотрена методика расчета течения газа в вентиляционном (вторичном) тракте ГТД с использованием теории графов. Предложена модификация одномерных моделей типовых элементов, учитывающая наклон линий тока. Введен новый типовой элемент - «переходный канал». Проведена верификация моделей и методики расчета гидравлической сети на основе двухмерного и трехмерного моделирования в коммерческом программном комплексе.

Полный текст

Введение Современный уровень развития программного обеспечения позволяет исследовать ди- намическое состояние деталей и узлов двигателя на основе решения связанных задач газовой динамики, теплообмена и прочности [1, 2]. Важным аспектом при этом является выбор уров- ня математических моделей для обеспечения баланса между быстродействием модели и точ- ностью получаемых результатов. В авиационных газотурбинных двигателях (ГТД) основным является течение газа в га- зодинамическом тракте через ступени вентилятора, компрессора и турбины. Это течение мо- делируется на основе максимально подробных трехмерных моделей, что позволяет опреде- лить наилучшие профили ступеней, обеспечить заданные уровни степени повышения давле- ния, исследовать пристеночные течения и способы управления ими и т.д. Помимо этого в газогенераторе организуют тракт вторичных течений (вентиляционный тракт) - относитель- но холодный воздух отбирается от различных ступеней компрессора и подается через систе- му каналов и полостей в обход камеры сгорания в турбину высокого давления для охлажде- ния рабочих и направляющих лопаток, дисков и корпуса. Охлаждение лопаток и дисков поз- воляет обеспечить показатели ресурса и надежности, а охлаждение корпуса - обеспечить требуемый уровень радиального зазора в основном тракте. Вентиляционный тракт является очень протяженным, содержит большое число кана- лов, полостей, точек слияния и разделения потока, поэтому расчет течения газа в такой си- стеме обычно проводится на основе одномерной модели гидравлической сети [3]. Для повы- шения точности расчетов в областях сложной формы могут быть использованы двухмерные модели течения. В статье рассмотрены вопросы совершенствования методики расчета тече- ния газа в тракте охлаждения современного ГТД. Результаты расчета (давление, температура и коэффициент теплоотдачи газа) являются граничными условиями в задаче определения теплового и напряженно-деформированного состояния деталей. Расчет вторичных течений Расчет вторичных течений в тракте охлаждения выполняется на основе построения эк- вивалентной гидравлической сети и применения теории графов [3]. Основная идея заключа- ется в представлении тракта в виде последовательного набора типовых гидравлических эле- ментов: кольцевой канал, радиальный канал, радиальная полость, типовое сопротивление (резкое изменение проходного сечения или поворот потока), лабиринтное, щеточное или лю- бое другое уплотнение и т.д. Инженер-расчетчик должен определить наилучшую разбивку тракта по элементам с целью обеспечить хорошее согласование между реальной картиной течения и ее модельным представлением. Вторичный тракт представляется в виде взвешенного графа, веса ветвей которого соот- ветствуют величине потери полного давления на ветви [3, 4]. Для каждой ветви i-j справед- ливо уравнение, выражающее падение полного давления на ней: Pi Pj Ci jGi j Pi j , (1) * * 2 * где: i j P* , P* полные давления на концах ветви; P i j * - слагаемое, определяющее падение полного давления от центробежных сил и подвода тепла; Gi j расход газа; C ξ /(2ρ F 2 ) приведенный коэффициент гидравлического сопротивления; i j i j i j i j ξi j - коэффициент гидравлического сопротивления [5]; ρi j - средняя плотность газа на ветви; Fi j - средняя площадь проходного сечения. Пример фрагмента сети вторичных потоков в виде графа показан на рисунке 1: точки - внутренние узлы; точки, обведенные кругами, - граничные узлы; отрезки - ветви графа (ти- повые элементы). Рисунок 1. Фрагмент гидравлической сети в виде графа В общем виде граф содержит t внутренних узлов, n граничных узлов, v ветвей и s контуров. Причем v=n+t+s-1. Граничными условиями являются значения полного давления газа в граничных узлах графа. Неизвестными величинами являются расходы на ветвях и давления во внутренних уз- лах. При составлении системы уравнений для нахождения неизвестных величин использует- ся теория графов и законы Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа (сумма расходов в каждом внутреннем узле равна нулю) поз- воляет записать t уравнений. Учет второго закона Кирхгофа (сумма падений полного давле- ния при обходе контура равна нулю) добавляет еще s уравнений, которые записываются че- рез расходы на основе соотношения (1). Кроме того, между парами граничных узлов выби- раются кратчайшие пути, и записывается n-1 уравнение, связывающее падение давления между узлами, выраженное через расходы. Таким образом, получается нелинейная система из v уравнений относительно расходов, численное решение которой позволяет определить расходы на ветвях, а затем найти давление газа во всех внутренних узлах через соотношения (1). Слагаемые P i j при первом расчете принимаются равными нулю, а массив коэффициентов Ci j оценивается по эмпирическим зависимостям для каждого типа ветви [5]. Гидравлическое сопротивление ξi j типовых элементов зависит от скорости течения, температуры потока и т.д., а слагаемые P i j в соотношении (1) являются неопределенными. Для уточнения их значений используются одномерные дифференциальные модели течения газа в типовых элементах. На основе этих моделей уточняются значения гидравлических сопротивлений на каждом элементе, определяются значения P i j и вычисляются температура и коэффициент теплоотдачи газа на омываемых поверхностях деталей. Из расчета графа в одномерные модели передаются расходы и полные давления на вхо- де в каждый элемент. После расчета одномерных моделей вычисляются новые корректирующие значения приведенного коэффициента гидравлического сопротивления Ci j и величины падения полного давления P i j * . Далее процедура расчета повторяется до установления параметров. Итерации выполняются пока полные давления газа во внутренних узлах, полу- ченные из расчета графа, не совпадут с заданной точностью с давлениями, полученными из одномерных моделей течения. Схема итерационного взаимодействия представлена на рисун- ке 2. Рисунок 2. Схема расчета гидравлической сети (l - номер текущей итерации) Одномерные модели течения газа в типовых элементах Для расчета гидравлической сети разработаны одномерные модели течения газа в типовых элементах, в которых учтены зависимости теплоемкости c p от температуры и давления, теплопроводности от температуры [6] и динамической вязкости μ от температуры по формуле Сазерленда [7]. Системы уравнений, описывающие течение газа в типовых элементах, приведены в таблице 1. Уравнения записаны в стационарной постановке с учетом закрутки потока. При выводе уравнений учтен наклон каналов относительно осей двигателя. В таблице 1 использованы следующие обозначения: Vz ,V ,Vr - осевая, окружная и радиальная компонента скорости; P, T и - давление, температура и плотность газа; е - полная внутренняя энергия; F - площадь сечения контрольного объема; F1 и F2 - удельные площади боковых поверхностей контрольного объема; z1 , z 2 , 1 , 2 - напряжения трения в осевом и окружном направлениях; r - напряжение трения в радиальном направле- нии; ω - угловая скорость; W - работа сил трения на стенках; Q - подвод тепла за счет теп- лообмена; μ k - коэффициент расхода, определяемый по уравнению Чаплыгина [8, 9]. Подробные выражения для коэффициентов систем уравнений типовых элементов при- ведены в Приложении. Системы уравнений типовых элементов Таблица 1 Тип элемента, схема расчетной области Основные уравнения Кольцевой канал d ( Vz F ) 0,dzVz F dVz F F F dP , cos dz z1 1 z 2 2 dz Vz F dV F F , cos dz 1 1 2 2Vz F de W Q 1 d (FVz P) cos dz cos dz Радиальная полость d ( Vr F ) 0,dzV dV V 2 dPF r r (F F ) F , cos dr r r 1 2 dzF Vr dV V F F , cos dr r 1 1 2 2Vr F de W Q 1 d (FVr P) cos dr cos dr Радиальный канал d (ρVr F ) 0,drdVω, dr2ρ Vr dVr ρ V 2τr rω2 dP ,cos γ dr r cos γ R drV de Fω2V rρ 1 d (FV P) ρ r F W Q r rcos γ dr cos γ cos dr Лабиринтное уплотнение μ H T (P2 P2 ) μ H T (P2 P2 ),k 1 k 1 k k 1 k k k 1 kμ π / (π 2 5ζ 2ζ2 ),k k k2ζk 1 Pk 1 / Pk 7 Верификация модели Для проведения поверочных расчетов одномерных типовых элементов использован коммерческий программный комплекс. Для каждого осесимметричного типового элемента построена двухмерная поверочная модель, а для «радиального канала» - трехмерная модель. Показано, что погрешности определения основных газодинамических параметров в одно- мерном приближении не превышают 10 15%. Также проведены верификационные расчеты на примере типовой междисковой поло- сти турбины авиационного двигателя (см. рисунок 3). а) б) в) Рисунок 3. Верификационный расчет междисковой полости: а - эквивалентная гидравлическая сеть; б - статическое давление, Па; в - радиальная скорость, м/с Двухмерная расчетная модель состояла из 53855 ячеек со сгущением к стенкам, что обеспечило Y 0, 6 и разрешение пограничного слоя для более качественного учета теплообмена и трения. В качестве граничных условий на входе задано полное давление, полная температура и компонента закрутки; на выходе задано статическое давление. Также учтено вращение стенок и постоянная температура на стенках (см. таблицу 2). В таблицах 2 и 3 использованы следующие обозначения: P , P * * вх вых * - полное давление * газа на входе и выходе; Pвых статическое давление газа на выходе; Tвх , Tвых полная температура газа на входе и выходе; Tw φ температура стенок; V вых r , V вых окружная и радиальная компонента скорости газа на выходе; ω - угловая скорость стенок; G - расход. Граничные условия для двухмерной задачи Таблица 2 P* , кПавх T * , Квх Pвых , кПа Tw , К ω , рад/с 1438 600 1260 750 1500 Расчетная область была разбита на 15 типовых элементов: четыре кольцевых канала и одиннадцать радиальных полостей (рисунок 3,а). В качестве граничных условий для од- номерной гидравлической сети на входе заданы: полное давление, полная температура и значение окружной компоненты скорости (закрутки); на выходе задано статическое давле- ние. Результаты расчетов показывают, что одномерные модели дают удовлетворительное совпадение по расходу 2,7% относительно базового двухмерного расчета (таблица 3). Однако значения окружной компоненты скорости существенно разнятся, что приводит к раз- личию полных давлений на выходе. Это связано с тем, что в междисковой области образу- ется вихрь, который не учитывается в одномерной модели (рисунок 3,б-в). Сравнение одномерной и двухмерной моделей Таблица 3 Модели P* ,выхкПа T * , К V вых , м/с V вых , м/с G, кг/с Двухмерная 1286,9 672 83,8 18,7 1,61 Одномерная (гидрав- лическая сеть) 1264,5 643 33,9 14,1 1,60 вых φ r Переходный канал Во вторичном тракте существуют места с плавным переходом от осевого к радиально- му течению (рисунок 3). Обычно дискретизация таких мест осуществляется типовыми эле- ментами «кольцевой канал» и «радиальная полость», причем точность расчета зависит от ко- личества используемых типовых элементов и от места перехода от одного типа элементов к другому. Для расчета такого рода переходных каналов разработан специальный элемент (таблица 4). В отличие от элементов «кольцевой канал» и «радиальная полость», где инте- грирование идет вдоль осевой координаты, здесь интегрирование проводится по углу θ . В таблице 4 использованы следующие обозначения: Vθ - скорость газа вдоль линии тока; τθ - напряжение трения в направлении линии тока; m - масса контрольного объема. Система уравнений «переходного канала» Таблица 4 Тип элемента, схема расчетной области Основные уравнения Переходный канал d (ρVθ F ) 0,dθρV F dVθ cos θ (F F )τ cos θ d ( PF cos θ) θ dθ 1 2 θ dθ2V 2m sin θPF sin θ(F F ) θ ,1 2 R R1 2dV mV V sin θρV F φ τ F τ F θ φ ,θ dθ φ1 1 φ 2 2 r cos θ(R R ) / 20 1 2ρV F de W Q d (FVθ P)θ dθ dθ Заключение Разработаны одномерные модели типовых элементов, учитывающие наклон линии тока к оси интегрирования. Проведена верификация моделей расчета течения в вентиляционном тракте. Погрешности определения основных газодинамических параметров в одномерном приближении не превышают 10 15% по сравнению с поверочными двухмерными и трех- мерными моделями. Предложен новый типовой элемент «переходный канал» для участков сети с плавным изменением направления линий тока от осевой к радиальной ориентации. Приложение В приложении приведены выражения для коэффициентов систем уравнений описыва- ющих течение газа в типовых элементах (таблица 1 и таблица 4). При выводе уравнений предполагалось, что течение реализуется вдоль центральной линии типового элемента. Угол наклона центральной линии для «кольцевого канала» и «ра- диальной полости» определяется соотношением: tgγ tgα t g β . 2 Для вычисления коэффициента теплоотдачи αw λNu / dг используются эмпирические зависимости для числа Нуссельта ( dг - гидравлический диаметр типового элемента). Для кольцевого, радиального и переходного канала [3]: t Nu 0, 021 Pr0,43 Re0,8 , где: t - коэффициент, учитывающий интенсификацию теплообмена на начальном участке: t 1 [lg( 0, 02l )][0, 0189(lg Re)3 dг 0, 342(lg Re)2 2,11 lg Re 4, 53]. Для радиальной полости в случае вращающейся поверхности [4, 11]: Nu 0, 0196 |1 χ |0,2 Re0,8 Km; Re (Vφ ωr)δρ ; Km μ 1, 75(1 Kp2 )(0,165 0, 65χ)0,2 Kp0,2 |1 χ |0,4 ; 1 Kp 115 1 8 1800 V 1580 ; χ . χ χ ωr В случае неподвижной стенки [12]: 4 1 Nu 0, 037 Re5 Pr3 ; Pr μcp ; Re λ 2δρ (Vr / cos γ)2 V 2 . μ Кольцевой канал 2 2 e cpT (Vz / cosγ) / 2 Vφ / 2; W F1 1 V r 1 F2 2 V (r ) 2 ; Q F1αw1 (T Tw1 ) F2αw2 (T Tw2 ); F B (2r A 2 ) ; F1 N (2r Mδ) ; F2 C(2r Dδ) ; r R z tgα; δ ΔR z(tgβ tgα), где: δ - зазор в канале; r - переменный радиус нижней стенки; R - начальный радиус нижней стенки; R - начальный радиальный зазор; Tw1,Tw2 - температуры стенок; A, B, C, D, N и M - геометрические коэффициенты, учитывающие наклон канала: A 1 cos(γ β ) cos( α ) ; B 4 cos(γ β) 4 cos(γ α) cos α cos β ; D cos(γ α) cos(γ β) 2 sin γ sin β ; cos(γ β) C 1 tgβ tgα sin γ ; N cos β 2 cos( β) 1 tgβ tgα sin γ ; M cos α 2 cos(γ α) sin sin α . cos(γ α) Напряжения трения определяются соотношениями: V (V / cos γ)2 V 2 (V r ) (V / cos )2 V 2 f1 z z φ ; f1 1 z ; z1 4 2 cos γ 1 4 2 V (V / cos )2 V 2 (V (r δ) ) (V / cos )2 V 2 f2 z z ; f2 2 z , z 2 4 2 cos 2 4 2 где: f - коэффициент трения [5, 6]: f1 1, 5 1 0, 3164 ; Re 0,25 Re1 z 2δ (V rω)2 (V / cos )2 ; f2 1, 5 2 0, 3164 ; Re 0,25 Re2 2δ (V z (r δ)ω)2 (V / cos )2 . Радиальная полость 2 2 e cpT (Vr / cosγ) / 2 Vφ / 2; W F1 1 V r 1 F2 2 V r 2 ; Q F1αw (T Tw1 ) F2αw (T Tw2 ); F Bδ(r A δ ) ; 4 F1 N (2r Mδ) ; F2 C(2r Dδ) , где: δ - зазор между дисками, зависящий от радиуса r; Tw1,Tw2 Геометрические коэффициенты: -температуры стенок. A cos β sin γ cos α sin γ ; B cos(γ β) cos( α) cos cos β ; D cos(γ α) cos(γ β) sin cos β ; cos( β) C 1 tgβ tgα sin γ ; N cos 2 cos(γ β) 1 tgβ tgα sin ; M cos α 2 cos( α) sin cos α . cos( α) Для вычисления напряжения трения в радиальном и окружном направлениях исполь- зуются следующие соотношения [7]: f 1 ρV 2 0, 3164 1 V ρδ τ r r r 4 cos2 γ 2 ; fr ; r Re 0,25 Rer r ; cos γ μ f ρ(V ω r)2 f ρ(V ω r)2 V ρr 1 ; 1 4 2 2 ; f 2 4 2 0, 0535 ; Re0,2 Re . μ Радиальный канал 2 2 e cpT (Vr / cosγ) / 2 Vφ / 2; W 2πrτVr ; Q 2πRαw (T Tw ); ρV 2 τ fr r ; Re V r 2Rρ 2 V 2 ; f 0, 3164 , 4 2 μ r Re0,25 где: fr - коэффициент трения [5]; Tw - температура стенки. Переходный канал 2 2 e cpT (Vθ Vφ ) / 2 ; W τφ1 (Vφ r1ω1 )F1 +τφ 2 (Vφ r2ω2 )F2 ; Q αw (T Tw1 )F1 αw (T Tw2 )F2 , где: F π(R2 R1 )(2r0 (R1 R2 ) cos θ) - эффективная площадь через которую осуществляется течение газа; F1 2π(r0 R1 cos θ)R1 , F2 2π(r0 R2 cos θ)R2 - эффективные площади поверхностей, ограничивающие контрольный объем со стороны твердого тела. Для учета ускорений действующих на контрольный объем необходимо определить его массу: m π[(R (r R cos θ)2 R (r R cos θ)2 ) cos θ 1/ 3(R R )(3r 2 cos θ 3r (R R ) cos(2θ) (R2 1 0 1 2 0 2 2 1 0 0 1 2 R R R2 )(1 3sin2 θ) cos θ)] ρ. 1 1 2 2 Столь сложная зависимость обусловлена тем, что контрольный объем ограничен двумя кривыми второго порядка. Напряжения трения определяются следующими соотношениями: V V 2 V 2 (V r ) V 2 V 2 (V r ) V 2 V 2 f θ θ φ f φ 1 1 θ φ f φ 2 2 θ φ θ 4 2 ; u1 4 2 ; u 2 4 2 , где f - коэффициент трения [5, 7]: 2 2 f 1, 5 0, 3164 ; Re Re0,25 2(R2 R1 ) Vφ Vθ .