Элементы нелинейной механики сплошной среды в современной теории
- Авторы: Бровко Г.Л1
-
Учреждения:
- Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
- Выпуск: Том 9, № 2-4 (2015)
- Страницы: 34-43
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67114
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67114
- ID: 67114
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Обсуждаются теоретические продвижения в области современной нелинейной механики сплошной среды: элементы математического аппарата, развитие основ общей теории механических тензорных процессов и их отображений, включая обобщение понятий объективных производных и интегралов, понятий тензорных мер напряжений и конечных деформаций, новые подходы в теории сопротивления тел деформированию.
Полный текст
Введение Современные исследования в механике деформируемых тел все большее внимание уделяют теоретическим и прикладным задачам, описываемым нелинейными (алгебраиче- скими, функциональными) соотношениями. К их числу относятся геометрически нелиней- ные соотношения, лежащие в основе описания конечных деформаций тел, а также физически нелинейные соотношения, в первую очередь, определяющие соотношения свойств сопротив- ления деформированию, выражающие сложные связи характеристик движений и взаимодей- ствий тел (деформаций и напряжений в частицах тел). В отечественной науке ведущая роль в исследованиях нелинейной механики сплошной среды принадлежит выдающимся ученым-механикам А.А. Ильюшину и В.В. Новожилову. Их трудами заложены основы современных исследований в механике деформируемого твер- дого тела. В настоящей работе кратко представлены теоретические результаты исследований в современной нелинейной механике деформируемых сред, касающиеся общих представлений механических тензорных процессов, их отображений и связей между ними, обобщенных по- нятий тензорных мер напряжений и конечных деформаций, определяющих соотношений свойств сопротивления тел деформированию. Механические тензорные процессы и их отображения Современная общая теория механических тензорных процессов основывается на новых математических подходах, новых понятиях объективных тензоров и связывающих их неза- висимых от системы отсчета отображений, в том числе объективных производных и инте- гралов. Элементы математического аппарата В современной отечественной и зарубежной научной литературе по механике дефор- мируемых сред проявляется уверенная тенденция к новому стилю изложения. Этому стилю свойственны, с одной стороны, детальная аксиоматика и строгая доказательность утвержде- ний, предусматривающие привлечение фундаментального математического аппарата, вклю- чая формально-логический, с другой стороны, компактность математических формул, ис- пользующих прямые (инвариантные) обозначения векторов, тензоров и дифференциальных операторов, которые требуют определенных усилий для усвоения, однако весьма просты и эффективны: они экономят объем, проясняют механический смысл записи, не затеняя его «лесом» индексов и необходимостью «жонглирования» ими, а при овладении соответствую- щей техникой позволяют оперативно и без ограничений переключиться на другие, более традиционные способы тензорного представления (матричный, индексный, полиадный). Теоретические построения механики сплошной среды [1 - 5] основываются на общих подходах и постулатах, получают все более выраженный аксиоматический характер [6 - 14], что воплощает решение известной шестой проблемы Гильберта [15]. Признанные классиче- скими исследования по механике деформируемого твердого тела, в том числе по теории упругости и пластичности [16 - 29], получают новое развитие с привлечением инвариантных тензорных обозначений [30 - 35]. Объективные тензоры Понятие объективности тензоров вводится в соответствии с правилами их преобразо- вания при замене системы отсчета. Замена системы отсчета на «новую» систему отсчета * выражается зависимостью «новых» эйлеровых переменных x* , t* от «старых» переменных x,t : x* x*0 (t) Q(t) ( x x0 ), t* t a , (1.1) где: x0 , a постоянные, а x*0 (t), Q(t) зависящие от времени t параметры замены системы отсчета ( Q(t) ортогональный тензор). Системы отсчета и * , удовлетворяющие (1.1), называются родственными. Скалярные (0) , векторные u(0) , u(1) и тензорные второго ранга L(00) , L(10) , L(01) , L(11) величины называются объективными [36], если при замене системы отсчета они преобразу- ются по формулам: ( )* ( ) , u(0)* u(0) , u(1)* Q u(1) , L L , L Q L , L L QT , L Q L QT . (1.2) (00)* (00) (10)* (10) (01)* (01) (11)* (11) Нижние индексы выражают тип объективности: пустой индекс () соответствует объективным скалярам, векторы u(0) и тензоры L(00) называют материально ориентированными (или правыми, или инвариантными, или типа Ильюшина-Хилла), векторы u(1) и тензоры L(11) - пространственно ориентированными (или левыми, или индифферентными, или типа Нолла-Трусделла), остальные - смешанных типов объективности. Аналогично понятие объективности распространяется на тензоры высших рангов [36, 37]. Векторы, а также тензоры одного ранга и разных типов объективности, выражающие родственные в механическом отношении величины, объединяются между собой в диаграм- мы [36, 37] формулами (переплетающими отображениями): u(1) A(10) u(0) , L A(1) L , L L A(2)T , L A(1) L A(2)T (1.3) (10) (10) (00) (01) (00) (10) (11) (10) (00) (10) (1) (2) с некоторыми невырожденными (10)- объективными тензорами A(10) и A(10) , A(10) - переходными тензорами этих диаграмм. Векторы u(0) , u(1) , а также тензоры L(00) , L(10) , L(01) , L(11) , входящие в диаграммы, называются простыми аналогами друг друга. Отображения объективных тензоров Отображения, независимые от системы отсчета Отображение F : γ π объективных тензоров γ в объективные тензоры π называется независимым от системы отсчета [36-39], если в любых родственных системах отсчета равенства равносильны. π F (γ), π* F (γ* ) (1.4) Отображение является независимым от системы отсчета в точности тогда, когда оно инвариантно по отношению к временным сдвигам и удовлетворяет специальному (согласо- ванному с типами объективности тензоров γ и π ) свойству обобщенной изотропии [36]. Простыми примерами независимых от системы отсчета отображений объективных век- торов могут служить функции вида v(0) f(00) (u(0) ), v(1) f(01) (u(0) ), v(0) f(10) (u(1) ), v(1) f(11) (u(1) ), (1.5) где: f(00) произвольного вида векторнозначная функция векторного аргумента, f(01) тождественно нулевая функция, f(10) зависит лишь от модуля u(1) : f(10) (u(1) ) φ u(1) (здесь φ - произвольная векторнозначная функция неотрицательного скалярного аргумента), f(11) - изотропная векторнозначная функция векторного аргумента: f(11) (u(1) ) u(1) u(1) (здесь - произвольная скалярнозначная функция неотрицательного скалярного аргумента). Примерами независимых от системы отсчета отображений объективных тензоров вто- рого ранга являются функции Z(00) F(00;00) (U(00) ), Z(10) F(10;10) (U(10) ), Z(10) F(00;10) (U(00) ), Z(11) F(10;11) (U(10) ), Z(11) F(00;11) (U(00) ), Z(00) F(11;00) (U(11) ), Z(00) F(10;00) (U(10) ), Z(11) F(11;11) (U(11) ), (1.6) где: F(00;00) - произвольного вида тензорнозначная функция тензорного аргумента, F(00;10) - тождественно нулевая функция, F(00;11) (U(00) ) Φ(U(00) )I ( Φ - произвольная скалярнозначная функция тензорного аргумента, I - единичный тензор второго ранга), T F(10;00) (U(10) ) Φ(U(10) U(10) ) ( Φ - произвольная тензорнозначная функция неотрицательно определенного симметричного тензорного аргумента UT U ), F (U ) Q Φ(U U ) T (10;10) (10) U (10) (10) ( QU (10) (10) ортогональная часть полярного разложения тензора U(10) , Φ - тензорнозначная функция неотрицательно определенного симметричного аргумента UT U , инвариантная относительно неоднозначности тензора QU (10) (10) в полярном разложении), F (U ) Q Φ(U U ) Q T T (10;11) (10) U (10) (10) U ( QU ортогональная часть полярного разложения тензора U(10) , Φ - тензорнозначная функция неотрицательно определенного симметричного аргумента UT U , инвариантная относительно неоднозначности тензора QU (10) (10) в полярном разложении), F(11;00) (U(11) ) Φ(Inv(U(11) )) ( Φ - произвольная тензорнозначная функция от совокупности Inv(U(11) ) скалярных инвариантов тензора U(11) ), F(11;11) - изотропная тензорнозначная функция тензорного аргумента, имеющая для симметричного тензорного аргумента U(11) (над трехмерным пространством) вид: 2 F(11;11) (U(11) ) F0I F1U(11) F2U(11) ( F0 , F1 , F2 - скалярнозначные функции совокупности скалярных инвариантов Inv(U(11) ) тензора U(11) ). Заметим, что первая, четвертая, пятая и шестая формулы (1.6) выражают соответствен- но различные общие формы определяющих соотношений произвольного упругого тела [7- 9, 11-14, 30, 34-36, 39]: Σ F (Ε), Σ F (X), Π Q F (X), S Q F (X) QT , (1.7) где: S - тензор истинных напряжений Коши, Σ A1 S A1T тензор условных напряжений Ильюшина («энергетический»), Π JS A1T тензор условных напряжений Пиолы- Кирхгофа первого рода, Q и X - мультипликативные составляющие правого полярного разложения A Q X аффинора деформации A , тензор Ε 1 (AT A I) - 2 тензор деформаций Грина. Пакеты кондукторов Переплетающие отображения вида (1.3), связывающие простые аналоги диаграмм объ- ективных тензоров одного ранга (и разных типов) позволяют любое (нелинейное) отображе- ние объективных тензоров различных рангов и типов представить в терминах тензоров тех же рангов, но всевозможных других типов объективности, а именно, в виде отображений их простых аналогов. Исходное (нелинейное) отображение называют индуктором, а порожден- ные им отображения аналогов - его кондукторами. Все множество таких кондукторов (вме- сте с индуктором) составляет пакет кондукторов, или отображение диаграмм. Свойства пакета определяются индуктором. В частности, все кондукторы пакета неза- висимы от системы отсчета лишь вместе с индуктором. Как показывают примеры (1.5), (1.6), свойство независимости от системы отсчета накладывает, вообще говоря, существенные ограничения на математический вид отображе- ний (вплоть до тривиального вида, как во втором соотношении (1.5) и во втором соотноше- нии (1.6)). Лишь первые отображения в (1.5), (1.6) - отображения типа Ильюшина - не име- ют ограничений по математическому виду. Поэтому выбор отображений типа Ильюшина в качестве индукторов порождает кон- дукторы наиболее общего вида. Объективные производные и интегралы Для характеристики скоростей изменения векторов и тензоров во времени используют объективные производные - кондукторы пакета отображений, порожденного индуктором типа Ильюшина в виде материальной производной по времени от материально ориентиро- ванных векторов и тензоров. Объективные производные определяются [36-39] как кондукторы (составляющие под- пакет отображений с совпадающими диаграммами аргументов и образов), переводящие объ- ективные тензоры в объективные тензоры того же ранга и типа. Для скаляров, векторов и тензоров второго ранга они имеют вид (верхней точкой обозначена материальная производ- (1) (2) ная, тензоры A(10) и A(10) , A(10) t - переходные тензоры диаграмм из (1.3)): D() [() ] () , D [u ]t u , D [u ]t A A1 u , (0) (0) (0) (1) (1) (10) (10) (1) D [L ]t L , D [L ]t A(1) A(1)1 L , (1.8) (00) (00) (00) (10) (10) (10) (10) (10) D [L ]t L A(2)1T A(2)T , (01) (01) (01) (10) (10) D [L ]t A(1) A(1)1 (2)1T (2)T (11) (11) (10) (10) L(10) A(10) A(10) . Для векторов и тензоров пространственных и смешанных типов объективности при эй- леровом способе описания может оказаться удобным другой способ записи объективных производных из (1.8): D [u ] t (1) (1) u (1) D u(1) , D [L ]t L D(1) L , (10) (10) (10) (10) (1.9) D [L ]t L L D(2)T , (01) (01) (01) (01) D [L ]t L D(1) L L D(2)T , (11) (11) (11) (11) (01) где введены обозначения: D A A , D (10) (10) A A , D (10) (10) A A . (10) (10) (1.10) 1 (1) (1) (1)1 (2) (2) (2)1 Формулы (1.8), а также (1.9) охватывают все известные и новые понятия объективных производных [40 - 44]. Объективные интегралы строятся как операторы, обратные к объек- тивным производным [36 - 39]. Обобщенные тензорные меры напряжений и деформаций Вопросы обобщения тензорных мер напряжений и деформаций рассматривались в [45 - 51] и других работах. В работах [36, 48, 50] в рамках лагранжева описания к кинематике и взаимодействиям в среде с учетом наименьшей ограничительности связей материально ори- ентированных тензоров (отображений типа Ильюшина) по сравнению со связями тензоров других типов объективности избрано в качестве основы для введения новых тензорных мер деформаций и напряжений построение их материально ориентированных аналогов. Основные аксиомы. Общий лагранжев класс Обобщение известных свойств существующих понятий тензоров деформаций и напря- жений приводит к следующим основным исходным положениям (аксиомам) для построения новых понятий указанных (материально ориентированных) тензорных мер, составляющим основу обобщенной теории тензорных мер деформаций и напряжений в классической меха- нике сплошной среды. Аксиома 1. Мера деформации есть симметричный тензор второго ранга ε , предысто- рия которого в любом движении полностью и взаимно однозначно определяет процесс чи- стой деформации - удлинения и относительные сдвиги любых элементарных материальных волокон (независимо от жесткого движения, сопровождающего деформацию частицы сре- ды). Аксиома 2. Мера напряжений есть симметричный тензор второго ранга σ , который полностью и независимо от жестких движений частицы определяет (возможно, с привлече- нием ε ) внутреннее напряженное состояние частицы - величины и относительную ориента- цию удельных поверхностных усилий на любых элементарных материальных площадках. Аксиома 3. В любых движениях меры напряжений σ и деформаций ε энергетически сопряжены (согласованы): удельная элементарная работа внутренних контактных сил равна скалярному произведению тензора напряжений σ на полное (материальное) приращение тензора деформаций dε . Аксиома 4. В классическом случае малых деформаций (когда относительные удлинения и повороты волокон имеют порядок малости 1 ) мера деформации ε , ее материальная производная по времени ε и мера напряжений σ асимптотически (с относительной по- грешностью ) совпадают с классическими тензорами малых деформаций Коши, скоростей деформаций и напряжений Коши соответственно в любых сложных процессах. Аксиома 5. Шаровая и девиаторная части меры деформации определяют независимо друг от друга соответственно процессы объемной и сдвиговой (изохорической) частей де- формации. Аксиома 6. Шаровая и девиаторная части меры напряжений определяют (возможно, с привлечением одноименных частей меры деформации) независимо друг от друга соответ- ственно гидростатическую и касательные составляющие напряжений. Для различных тензорных мер деформаций и напряжений будем иметь в виду выпол- нение также других условий, включая естественные для многих рассмотрений требования независимости формул их построения от системы отсчета, склерономности и изотропии их связи с известными мерами. Множество всех тензорных мер, удовлетворяющих аксиомам 1-4 (и, возможно, 5, 6) назовем общим лагранжевым классом. Полный лагранжев класс Всем аксиомам удовлетворяют введенные ранее [32, 48, 49] «скоростные» тензорные меры деформаций ΕV и напряжений t ΣV : ΕV X Ε X d , ΣV Q S Q X Σ X , (2.1) 1 1 T t0 где: Q , X - компоненты полярного разложения аффинора деформации A , Ε - тензор де- формаций Грина, S - тензор напряжений Коши, Σ - тензор напряжений Ильюшина. Задавая новые тензорные меры деформаций ε и напряжений σ их связями со «скоростными» мерами в виде: ε Rateε Ε V , σ Strε ΣV , (2.2) где: Rateε и Strε - симметричные тензорнозначные функции, склерономно определяемые процессом деформации, приходим к следующему результату [36]. Теорема (об энергетической сопряженности). Если для тензорных мер ε и σ выполнена аксиома 3, то функции Rateε и Strε линейны, т.е.: Rateε Ε V RATEε : Ε V , Strε ΣV STRε : ΣV , (2.3) где: RATEε и STRε - тензоры четвертого ранга, отображающие множество симметричных тензоров второго ранга в себя, склерономно параметризованные процессом дефор- мации, причем: STRε 1T RATEε . (2.4) Множество пар тензорных мер, определяемых соотношениями (2.2) и теоремой об энергетической сопряженности, называется полным лагранжевым классом. Теорема дает следствие для мер, удовлетворяющих дополнительно аксиомам 5, 6. Простой лагранжев класс Задавая соотношения (2.2) с учетом (2.3), (2.4) в виде: ε RATE : Ε X (1)T Ε X (1) , ε V 1 V 2 (2.5) o STR : Σ X (2)1 Σ X (2)1T , ε V 1 V 2 с невырожденными материально ориентированными тензорами k X (1) , X (2) k ( k 1, 2 ), склерономно определяемыми историей деформации, приходим к равенствам: X (1) X, X (1) X, X (2) X, X (2) X, (2.6) 1 2 1 2 что для произвольного 0 приводит (2.5) к окончательному общему виду: V ε X T Ε X, σ 1 X 1 Σ V X 1T , (2.7) где: X - произвольный материально ориентированный невырожденный тензор второго ранга, а 0 - произвольный объективный скаляр, склерономно определяемые предысторией чистой деформации (без потери общности можно положить 1 ). Класс тензорных мер ε и σ , выделяемых соотношением (2.7), называется простым ла- гранжевым классом. Семейство голономных мер В простом лагранжевом классе выделяется семейство голономных тензорных мер, ха- рактеризующих напряженно-деформированное состояние среды лишь своими текущими значениями вне зависимости от предыстории процесса. Материально ориентированные голономные меры выражаются формулами [36, 52]: ε f (X), σ (X) X Σ X (X), (2.8) где функции от правого тензора растяжений X : f (X) X X1 1 c X 1 c X1 1 , (X) 1 1 c X 1 c X1 2 параметризованы числовым параметром c , находящимся в пределах щим тем самым полное семейство голономных мер. (2.9) 1 c 1 и определяю- Все голономные меры с любыми c [1,1] удовлетворяют аксиомам 1 - 4 (но не 5 и 6). Семейство коротационных мер Точное подмножество материально ориентированных мер простого лагранжева класса, удовлетворяющих всем аксиомам 1 - 6, составляет семейство простых коротационных мер, определяемых соотношениями [36, 50]: V ε kRT Ε R, 1 RT Σ k V R , (2.10) где: k - объективный скаляр-константа (обычно полагают k=1 ), R - ортогональный мате- риально ориентированный тензор, определенный предысторией чисто сдвиговой де- формации. Сопротивление тел деформированию Движение тел характеризуется общими законами баланса (массы, количества движе- ния, момента количества движения), заданными внешними условиями движения (начальны- ми и граничными условиями, внешними силами) и специфическими механическими свой- ствами тела - свойствами сопротивления деформированию, выраженными определяющими соотношениями этих свойств. Последние накладывают ограничения на внутренний динами- ческий процесс в теле, включающий движение тела и возникающие в этом движении в теле внутренние массовые и поверхностные (контактные) силы. В большинстве задач инженерной механики внутренними массовыми силами можно пренебречь, считая все массовые силы за- данными внешними воздействиями. Тем самым определяющие соотношения выражают свя- зи между движением (деформацией) тела и внутренними контактными силами, то есть напряжениями. Общая теория определяющих соотношений механики сплошной среды зарождалась на заре науки. Основы ее сформировались во второй половине XX века. Ведущую роль в этом сыграли фундаментальные труды А.А. Ильюшина [1, 23, 24, 25, 27] и У. Нолла [6, 7], от- крывшие путь многочисленным исследованиям в этой области в современной науке. В основе всех современных подходов лежат постулаты (принципы, аксиомы), которые в наиболее простом случае (пренебрежение внутренними массовыми силами и отсутствие внутренних кинематических связей) сводят определяющие соотношения к общим приведен- ным формам Ильюшина: t Σ(x, t) FΙ [Ε (x, s)]s0 , x (1.11) и Нолла: S(x, t) Q(x, t) FN s0 [Xt (x, s)] , x QT (x, t) . (1.12) Здесь x, t лагранжевы переменные, S и Σ - тензоры напряжений Коши и Ильюшина, Εt и Xt предыстории тензора деформаций Грина Ε и правого тензора деформаций X (использовано определение предыстории t (s) процесса ( ) : t (s) (t - s) и правое полярное разложение аффинора деформации A Q X ). Было показано [36, 37, 39, 48, 53, 54], что определяющие соотношения Ильюшина (1.11) и Нолла (1.12) эквивалентны друг другу и выражают свойства сопротивления дефор- мированию любых тел (простых тел - по Ноллу или классических сред - по Ильюшину) в любых движениях. Другие общие формы определяющих соотношений, равносильные (1.11) и (1.12), стро- ятся заменой предысторий деформации и тензоров напряжений на их выражения через обобщенные тензорные меры (см. п. 2). Получаемые таким образом новые формы соотноше- ний для классов и семейств обобщенных тензорных мер напряжений и деформаций предо- ставляют широкие возможности для аппроксимации экспериментальных данных о поведе- нии материалов при конечных деформациях и позволяют строить обобщения моделей, из- вестных при малых деформациях, на область конечных деформаций. На основании таких построений были исследованы новые модели пластичности при конечных деформациях (в рамках семейства коротационных мер) [55 - 58], а также модели тел с памятью формы при конечных деформациях (в рамках семейства голономных мер) [59, 60]. Заключение Представленные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях по нелинейной механике сплошных сред, а также в формулировках начально-краевых задач и построении методов их решения.×
Об авторах
Г. Л Бровко
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Email: glb@mech.math.msu.su
д. ф.-м. н. проф.
Список литературы
- Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
- Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.: Наука, 1984.
- Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.
- Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: Физматлит, 2006.
- Эглит М.Э. Лекции по основам механики сплошных сред. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008.
- Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal. 1958 2:197-226.
- Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of Mechanics. Handbuch der Physik. III/3. Berlin: Springer Verlag, 1965.
- Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
- Gurtin M.E. An introduction to continuum mechanics. New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco: Academic Press, 1981.
- Mueller I. Thermodynamics. Pitman, Boston, 1984.
- Rymarz Cz., Mechanika ośrodków ciagłyh. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1993.
- Silhavy M. The mechanics and thermodynamics of continuous media. Berlin: Springer, 1997.
- Wilmanski K. Thermomechanics of continua. Berlin: Springer, 1998.
- Бровко Г.Л. Основы механики сплошной среды. М.: Изд-во "Попечительский совет механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова". Ч.1. - 2011. Ч.2. - 2013.
- Проблемы Гильберта. Сборник под редакцией П.С. Александрова, М., Наука, 1969, 240с.
- Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 674 с.
- Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. - Л.-М., 1948. 211 с.
- Новожилов В. В. Теория упругости. - Л., 1958.
- Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.
- Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
- Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 663 с.
- Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
- Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 376 с. (См. также: М.: Логос, 2004. 388 с. - репр. переизд.)
- Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
- Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 371 с.
- Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.
- Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Мысль, 1970. 280 с.
- Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
- Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 336 с.
- Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
- Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.
- Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давле- нии. Киев: Наукова думка. 1987. 231 с.
- Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 471 с.
- Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). СПб: Соло, 2004. 420 с.
- Antman S.S. Nonlinear problems of elasticity. Springer, New York, 2005.
- Бровко Г.Л. Развитие математического аппарата и основ общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды. Автореф. дисс. … д-ра физ.-мат. наук. М.: АО «Диалог МГУ», 1996. 32 с.
- Brovko G.L. Invariance Types of Tensors, Tensor Processes and Their Transforms in Classical Continuum Mechanics. In: Proc. of the Fifth Int. Seminar on Geometry, Continuum and Micro- structures. Sept. 26-28, 2001, Sinaia, Romania. Eds: S.Cleja-Tigoiu, V.Tigoiu. Editura Acade- miei Romane. Bucuresti, 2002. Pp. 13-24.
- Бровко Г.Л. Эффективные свойства инвариантности процессов и соотношений в механике сплошных сред. В кн.: Современные проблемы математики и механики. Т. II. Механика. Вып. 1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 108-126.
- Brovko G.L. On general principles of the theory of constitutive relations in classical continuum mechanics. Journ. Eng. Mathematics. Kluwer Academic Publishers. Printed in Netherlands. (2013) 78:37-53. doi: 10.1007/s10665-011-9508-y
- Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors assotiated with time-dependent stress. Quart. Appl. Math. 1955. V. 13. No 2. Pp. 177-188.
- Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state. Proc. Roy. Soc. London. A. 1950. V. 200. Pp. 523-541.
- Седов Л.И. Понятие разных скоростей изменения тензоров. ПММ. 1960 Т. 24. Вып. 3. С. 393-398.
- Dienes J.K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies. Acta Mech. 1979. V. 32. No 4. Pp. 217-232.
- Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 1. С. 54-60.
- Seth B.R. Generalized strain measures with applications to physical problems. In: Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics (Edited by M.Reiner and D.Abir). Oxford: Pergamon Press, 1964. Pp. 162-172.
- Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Appl. Mech. N.-Y. - L.: Acad. Press. 1978. V.18. Pp. 1-75.
- Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюзный межвуз. сб. Горький: Изд-во Горьковского ун-та, 1987. С. 32-37.
- Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. С. 68 - 81.
- Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упругопластических деформациях. Автореф. дисс.. д-ра физ.-мат. наук. М.: 1988. 38 с.
- Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях. Докл. АН СССР. 1989. Т. 308. № 3. С. 565-570.
- Lehmann Th., Liang H.Y. The stress conjugate to the logarithmic strain ln V. Z. Angew. Math. Mech. 1993. V. 73. Pp. 357-363.
- Бровко Г.Л. Об одном семействе голономных тензорных мер деформаций и напряжений. Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ. 1992. № 4. с. 86-91.
- Бровко Г.Л., Ильюшин А.А. Модели и определяющие эксперименты в теории упругопластических процессов при конечных деформациях. В кн.: А.А.Ильюшин. Труды. Т. 4. Моделирование динамических процессов в твердых телах и инженерные приложения. М.: Физматлит, 2009. С. 148-159.
- Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. С. 814-824.
- Бровко Г.Л., Финошкина А.С. Отображения объективных тензорных процессов и модели пластического течения при конечных деформациях. В кн.: Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного девяностолетию со дня рождения А.А.Ильюшина. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С. 423-424.
- Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением // Известия Тул- ГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6. Вып. 2. С. 160-166.
- Финошкина А.С. Моделирование пластического течения с кинематическим упрочнением при конечных деформациях. В кн.: Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (тезисы докладов). ТулГУ, Тула, 2002. С. 149.
- Finoshkina A.S. Usage of the new objective derivatives in models of plasticity at finite strain: the theory and numerical experiments. V International Congress on Mathematical Modeling: Book of Abstracts, Vol. 1, JINR, Dubna, 2002. С. 35.
- Шуткин А.С. Подходы к обобщению определяющих соотношений деформируемых твердых тел на область конечных деформаций. Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 2. С. 166-180.
- Бровко Г.Л., Шуткин А.С. Модели материалов с памятью формы при конечных деформациях. Упругость и неупругость. Материалы международного научного симпозиума, посвященного 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина (Москва, 20-21 января 2011 г.). М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 129-133.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)