Elements of nonlinear continuum mechanics in the modern theory

Full Text

Введение Современные исследования в механике деформируемых тел все большее внимание уделяют теоретическим и прикладным задачам, описываемым нелинейными (алгебраиче- скими, функциональными) соотношениями. К их числу относятся геометрически нелиней- ные соотношения, лежащие в основе описания конечных деформаций тел, а также физически нелинейные соотношения, в первую очередь, определяющие соотношения свойств сопротив- ления деформированию, выражающие сложные связи характеристик движений и взаимодей- ствий тел (деформаций и напряжений в частицах тел). В отечественной науке ведущая роль в исследованиях нелинейной механики сплошной среды принадлежит выдающимся ученым-механикам А.А. Ильюшину и В.В. Новожилову. Их трудами заложены основы современных исследований в механике деформируемого твер- дого тела. В настоящей работе кратко представлены теоретические результаты исследований в современной нелинейной механике деформируемых сред, касающиеся общих представлений механических тензорных процессов, их отображений и связей между ними, обобщенных по- нятий тензорных мер напряжений и конечных деформаций, определяющих соотношений свойств сопротивления тел деформированию. Механические тензорные процессы и их отображения Современная общая теория механических тензорных процессов основывается на новых математических подходах, новых понятиях объективных тензоров и связывающих их неза- висимых от системы отсчета отображений, в том числе объективных производных и инте- гралов. Элементы математического аппарата В современной отечественной и зарубежной научной литературе по механике дефор- мируемых сред проявляется уверенная тенденция к новому стилю изложения. Этому стилю свойственны, с одной стороны, детальная аксиоматика и строгая доказательность утвержде- ний, предусматривающие привлечение фундаментального математического аппарата, вклю- чая формально-логический, с другой стороны, компактность математических формул, ис- пользующих прямые (инвариантные) обозначения векторов, тензоров и дифференциальных операторов, которые требуют определенных усилий для усвоения, однако весьма просты и эффективны: они экономят объем, проясняют механический смысл записи, не затеняя его «лесом» индексов и необходимостью «жонглирования» ими, а при овладении соответствую- щей техникой позволяют оперативно и без ограничений переключиться на другие, более традиционные способы тензорного представления (матричный, индексный, полиадный). Теоретические построения механики сплошной среды [1 - 5] основываются на общих подходах и постулатах, получают все более выраженный аксиоматический характер [6 - 14], что воплощает решение известной шестой проблемы Гильберта [15]. Признанные классиче- скими исследования по механике деформируемого твердого тела, в том числе по теории упругости и пластичности [16 - 29], получают новое развитие с привлечением инвариантных тензорных обозначений [30 - 35]. Объективные тензоры Понятие объективности тензоров вводится в соответствии с правилами их преобразо- вания при замене системы отсчета. Замена системы отсчета  на «новую» систему отсчета * выражается зависимостью «новых» эйлеровых переменных x* , t* от «старых» переменных x,t : x*  x*0 (t)  Q(t)  ( x  x0 ), t*  t  a , (1.1) где: x0 , a постоянные, а x*0 (t), Q(t) зависящие от времени t параметры замены системы отсчета ( Q(t) ортогональный тензор). Системы отсчета  и * , удовлетворяющие (1.1), называются родственными. Скалярные (0) , векторные u(0) , u(1) и тензорные второго ранга L(00) , L(10) , L(01) , L(11) величины называются объективными [36], если при замене системы отсчета они преобразу- ются по формулам: ( )*  ( ) , u(0)*  u(0) , u(1)*  Q  u(1) , L  L , L  Q  L , L  L  QT , L  Q  L  QT . (1.2) (00)* (00) (10)* (10) (01)* (01) (11)* (11) Нижние индексы выражают тип объективности: пустой индекс () соответствует объективным скалярам, векторы u(0) и тензоры L(00) называют материально ориентированными (или правыми, или инвариантными, или типа Ильюшина-Хилла), векторы u(1) и тензоры L(11) - пространственно ориентированными (или левыми, или индифферентными, или типа Нолла-Трусделла), остальные - смешанных типов объективности. Аналогично понятие объективности распространяется на тензоры высших рангов [36, 37]. Векторы, а также тензоры одного ранга и разных типов объективности, выражающие родственные в механическом отношении величины, объединяются между собой в диаграм- мы [36, 37] формулами (переплетающими отображениями): u(1)  A(10)  u(0) , L  A(1)  L , L  L  A(2)T , L  A(1)  L  A(2)T (1.3) (10) (10) (00) (01) (00) (10) (11) (10) (00) (10) (1) (2) с некоторыми невырожденными (10)- объективными тензорами A(10) и A(10) , A(10) - переходными тензорами этих диаграмм. Векторы u(0) , u(1) , а также тензоры L(00) , L(10) , L(01) , L(11) , входящие в диаграммы, называются простыми аналогами друг друга. Отображения объективных тензоров Отображения, независимые от системы отсчета Отображение F : γ  π объективных тензоров γ в объективные тензоры π называется независимым от системы отсчета [36-39], если в любых родственных системах отсчета равенства равносильны. π  F (γ), π*  F (γ* ) (1.4) Отображение является независимым от системы отсчета в точности тогда, когда оно инвариантно по отношению к временным сдвигам и удовлетворяет специальному (согласо- ванному с типами объективности тензоров γ и π ) свойству обобщенной изотропии [36]. Простыми примерами независимых от системы отсчета отображений объективных век- торов могут служить функции вида v(0)  f(00) (u(0) ), v(1)  f(01) (u(0) ), v(0)  f(10) (u(1) ), v(1)  f(11) (u(1) ), (1.5) где: f(00) произвольного вида векторнозначная функция векторного аргумента, f(01) тождественно нулевая функция, f(10) зависит лишь от модуля u(1) : f(10) (u(1) )  φ u(1)  (здесь φ - произвольная векторнозначная функция неотрицательного скалярного аргумента), f(11) - изотропная векторнозначная функция векторного аргумента: f(11) (u(1) )    u(1) u(1) (здесь  - произвольная скалярнозначная функция неотрицательного скалярного аргумента). Примерами независимых от системы отсчета отображений объективных тензоров вто- рого ранга являются функции Z(00)  F(00;00) (U(00) ), Z(10)  F(10;10) (U(10) ), Z(10)  F(00;10) (U(00) ), Z(11)  F(10;11) (U(10) ), Z(11)  F(00;11) (U(00) ), Z(00)  F(11;00) (U(11) ), Z(00)  F(10;00) (U(10) ), Z(11)  F(11;11) (U(11) ), (1.6) где: F(00;00) - произвольного вида тензорнозначная функция тензорного аргумента, F(00;10) - тождественно нулевая функция, F(00;11) (U(00) )  Φ(U(00) )I ( Φ - произвольная скалярнозначная функция тензорного аргумента, I - единичный тензор второго ранга), T F(10;00) (U(10) )  Φ(U(10)  U(10) ) ( Φ - произвольная тензорнозначная функция неотрицательно определенного симметричного тензорного аргумента UT  U ), F (U )  Q Φ(U  U ) T (10;10) (10) U (10) (10) ( QU (10) (10) ортогональная часть полярного разложения тензора U(10) , Φ - тензорнозначная функция неотрицательно определенного симметричного аргумента UT  U , инвариантная относительно неоднозначности тензора QU (10) (10) в полярном разложении), F (U )  Q Φ(U  U )  Q T T (10;11) (10) U (10) (10) U ( QU ортогональная часть полярного разложения тензора U(10) , Φ - тензорнозначная функция неотрицательно определенного симметричного аргумента UT  U , инвариантная относительно неоднозначности тензора QU (10) (10) в полярном разложении), F(11;00) (U(11) )  Φ(Inv(U(11) )) ( Φ - произвольная тензорнозначная функция от совокупности Inv(U(11) ) скалярных инвариантов тензора U(11) ), F(11;11) - изотропная тензорнозначная функция тензорного аргумента, имеющая для симметричного тензорного аргумента U(11) (над трехмерным пространством) вид: 2 F(11;11) (U(11) )  F0I  F1U(11)  F2U(11) ( F0 , F1 , F2 - скалярнозначные функции совокупности скалярных инвариантов Inv(U(11) ) тензора U(11) ). Заметим, что первая, четвертая, пятая и шестая формулы (1.6) выражают соответствен- но различные общие формы определяющих соотношений произвольного упругого тела [7- 9, 11-14, 30, 34-36, 39]: Σ  F (Ε), Σ  F (X), Π  Q  F (X), S  Q  F (X)  QT , (1.7) где: S - тензор истинных напряжений Коши, Σ  A1  S  A1T тензор условных напряжений Ильюшина («энергетический»), Π  JS  A1T тензор условных напряжений Пиолы- Кирхгофа первого рода, Q и X - мультипликативные составляющие правого полярного разложения A  Q  X аффинора деформации A , тензор Ε  1 (AT  A  I) - 2 тензор деформаций Грина. Пакеты кондукторов Переплетающие отображения вида (1.3), связывающие простые аналоги диаграмм объ- ективных тензоров одного ранга (и разных типов) позволяют любое (нелинейное) отображе- ние объективных тензоров различных рангов и типов представить в терминах тензоров тех же рангов, но всевозможных других типов объективности, а именно, в виде отображений их простых аналогов. Исходное (нелинейное) отображение называют индуктором, а порожден- ные им отображения аналогов - его кондукторами. Все множество таких кондукторов (вме- сте с индуктором) составляет пакет кондукторов, или отображение диаграмм. Свойства пакета определяются индуктором. В частности, все кондукторы пакета неза- висимы от системы отсчета лишь вместе с индуктором. Как показывают примеры (1.5), (1.6), свойство независимости от системы отсчета накладывает, вообще говоря, существенные ограничения на математический вид отображе- ний (вплоть до тривиального вида, как во втором соотношении (1.5) и во втором соотноше- нии (1.6)). Лишь первые отображения в (1.5), (1.6) - отображения типа Ильюшина - не име- ют ограничений по математическому виду. Поэтому выбор отображений типа Ильюшина в качестве индукторов порождает кон- дукторы наиболее общего вида. Объективные производные и интегралы Для характеристики скоростей изменения векторов и тензоров во времени используют объективные производные - кондукторы пакета отображений, порожденного индуктором типа Ильюшина в виде материальной производной по времени от материально ориентиро- ванных векторов и тензоров. Объективные производные определяются [36-39] как кондукторы (составляющие под- пакет отображений с совпадающими диаграммами аргументов и образов), переводящие объ- ективные тензоры в объективные тензоры того же ранга и типа. Для скаляров, векторов и тензоров второго ранга они имеют вид (верхней точкой обозначена материальная производ- (1) (2) ная, тензоры A(10) и A(10) , A(10) t - переходные тензоры диаграмм из (1.3)): D() [() ]  () , D [u ]t  u , D [u ]t  A   A1  u  , (0) (0) (0) (1) (1) (10) (10) (1) D [L ]t  L , D [L ]t  A(1)   A(1)1  L  , (1.8) (00) (00) (00) (10) (10) (10) (10) (10) D [L ]t  L  A(2)1T   A(2)T , (01) (01) (01) (10) (10) D [L ]t  A(1)   A(1)1 (2)1T  (2)T (11) (11) (10) (10)  L(10)  A(10)  A(10) . Для векторов и тензоров пространственных и смешанных типов объективности при эй- леровом способе описания может оказаться удобным другой способ записи объективных производных из (1.8): D [u ] t (1) (1)  u (1)  D  u(1) , D [L ]t  L  D(1)  L , (10) (10) (10) (10) (1.9) D [L ]t  L  L  D(2)T , (01) (01) (01) (01) D [L ]t  L  D(1)  L  L  D(2)T , (11) (11) (11) (11) (01) где введены обозначения: D  A  A , D  (10) (10)  A  A , D  (10) (10)  A  A .  (10) (10) (1.10) 1 (1) (1) (1)1 (2) (2) (2)1 Формулы (1.8), а также (1.9) охватывают все известные и новые понятия объективных производных [40 - 44]. Объективные интегралы строятся как операторы, обратные к объек- тивным производным [36 - 39]. Обобщенные тензорные меры напряжений и деформаций Вопросы обобщения тензорных мер напряжений и деформаций рассматривались в [45 - 51] и других работах. В работах [36, 48, 50] в рамках лагранжева описания к кинематике и взаимодействиям в среде с учетом наименьшей ограничительности связей материально ори- ентированных тензоров (отображений типа Ильюшина) по сравнению со связями тензоров других типов объективности избрано в качестве основы для введения новых тензорных мер деформаций и напряжений построение их материально ориентированных аналогов. Основные аксиомы. Общий лагранжев класс Обобщение известных свойств существующих понятий тензоров деформаций и напря- жений приводит к следующим основным исходным положениям (аксиомам) для построения новых понятий указанных (материально ориентированных) тензорных мер, составляющим основу обобщенной теории тензорных мер деформаций и напряжений в классической меха- нике сплошной среды. Аксиома 1. Мера деформации есть симметричный тензор второго ранга ε , предысто- рия которого в любом движении полностью и взаимно однозначно определяет процесс чи- стой деформации - удлинения и относительные сдвиги любых элементарных материальных волокон (независимо от жесткого движения, сопровождающего деформацию частицы сре- ды). Аксиома 2. Мера напряжений есть симметричный тензор второго ранга σ , который полностью и независимо от жестких движений частицы определяет (возможно, с привлече- нием ε ) внутреннее напряженное состояние частицы - величины и относительную ориента- цию удельных поверхностных усилий на любых элементарных материальных площадках. Аксиома 3. В любых движениях меры напряжений σ и деформаций ε энергетически сопряжены (согласованы): удельная элементарная работа внутренних контактных сил равна скалярному произведению тензора напряжений σ на полное (материальное) приращение тензора деформаций dε . Аксиома 4. В классическом случае малых деформаций (когда относительные удлинения и повороты волокон имеют порядок малости   1 ) мера деформации ε , ее материальная производная по времени ε и мера напряжений σ асимптотически (с относительной по- грешностью  ) совпадают с классическими тензорами малых деформаций Коши, скоростей деформаций и напряжений Коши соответственно в любых сложных процессах. Аксиома 5. Шаровая и девиаторная части меры деформации определяют независимо друг от друга соответственно процессы объемной и сдвиговой (изохорической) частей де- формации. Аксиома 6. Шаровая и девиаторная части меры напряжений определяют (возможно, с привлечением одноименных частей меры деформации) независимо друг от друга соответ- ственно гидростатическую и касательные составляющие напряжений. Для различных тензорных мер деформаций и напряжений будем иметь в виду выпол- нение также других условий, включая естественные для многих рассмотрений требования независимости формул их построения от системы отсчета, склерономности и изотропии их связи с известными мерами. Множество всех тензорных мер, удовлетворяющих аксиомам 1-4 (и, возможно, 5, 6) назовем общим лагранжевым классом. Полный лагранжев класс Всем аксиомам удовлетворяют введенные ранее [32, 48, 49] «скоростные» тензорные меры деформаций ΕV и напряжений t ΣV : ΕV   X  Ε  X d , ΣV  Q  S  Q  X  Σ  X , (2.1) 1 1 T t0 где: Q , X - компоненты полярного разложения аффинора деформации A , Ε - тензор де- формаций Грина, S - тензор напряжений Коши, Σ - тензор напряжений Ильюшина. Задавая новые тензорные меры деформаций ε и напряжений σ их связями со «скоростными» мерами в виде: ε  Rateε Ε V , σ  Strε ΣV  , (2.2) где: Rateε и Strε - симметричные тензорнозначные функции, склерономно определяемые процессом деформации, приходим к следующему результату [36]. Теорема (об энергетической сопряженности). Если для тензорных мер ε и σ выполнена аксиома 3, то функции Rateε и Strε линейны, т.е.: Rateε Ε V   RATEε : Ε V , Strε ΣV   STRε : ΣV , (2.3) где: RATEε и STRε - тензоры четвертого ранга, отображающие множество симметричных тензоров второго ранга в себя, склерономно параметризованные процессом дефор- мации, причем: STRε 1T  RATEε . (2.4) Множество пар тензорных мер, определяемых соотношениями (2.2) и теоремой об энергетической сопряженности, называется полным лагранжевым классом. Теорема дает следствие для мер, удовлетворяющих дополнительно аксиомам 5, 6. Простой лагранжев класс Задавая соотношения (2.2) с учетом (2.3), (2.4) в виде: ε  RATE : Ε  X (1)T  Ε  X (1) , ε V 1 V 2 (2.5) o  STR : Σ  X (2)1  Σ  X (2)1T , ε V 1 V 2 с невырожденными материально ориентированными тензорами k X (1) , X (2) k ( k  1, 2 ), склерономно определяемыми историей деформации, приходим к равенствам: X (1)  X, X (1)   X, X (2)   X, X (2)   X, (2.6) 1 2 1 2  что для произвольного   0 приводит (2.5) к окончательному общему виду: V ε   X T  Ε X, σ  1 X 1  Σ  V  X 1T , (2.7) где: X - произвольный материально ориентированный невырожденный тензор второго ранга, а   0 - произвольный объективный скаляр, склерономно определяемые предысторией чистой деформации (без потери общности можно положить   1 ). Класс тензорных мер ε и σ , выделяемых соотношением (2.7), называется простым ла- гранжевым классом. Семейство голономных мер В простом лагранжевом классе выделяется семейство голономных тензорных мер, ха- рактеризующих напряженно-деформированное состояние среды лишь своими текущими значениями вне зависимости от предыстории процесса. Материально ориентированные голономные меры выражаются формулами [36, 52]: ε  f (X), σ  (X)  X  Σ  X (X), (2.8) где функции от правого тензора растяжений X :   f (X)  X  X1  1 c X  1 c X1 1 ,   (X)  1 1 c X  1 c X1  2 параметризованы числовым параметром c , находящимся в пределах щим тем самым полное семейство голономных мер. (2.9) 1  c  1 и определяю- Все голономные меры с любыми c [1,1] удовлетворяют аксиомам 1 - 4 (но не 5 и 6). Семейство коротационных мер Точное подмножество материально ориентированных мер простого лагранжева класса, удовлетворяющих всем аксиомам 1 - 6, составляет семейство простых коротационных мер, определяемых соотношениями [36, 50]: V ε  kRT  Ε R,   1 RT  Σ k V  R , (2.10) где: k - объективный скаляр-константа (обычно полагают k=1 ), R - ортогональный мате- риально ориентированный тензор, определенный предысторией чисто сдвиговой де- формации. Сопротивление тел деформированию Движение тел характеризуется общими законами баланса (массы, количества движе- ния, момента количества движения), заданными внешними условиями движения (начальны- ми и граничными условиями, внешними силами) и специфическими механическими свой- ствами тела - свойствами сопротивления деформированию, выраженными определяющими соотношениями этих свойств. Последние накладывают ограничения на внутренний динами- ческий процесс в теле, включающий движение тела и возникающие в этом движении в теле внутренние массовые и поверхностные (контактные) силы. В большинстве задач инженерной механики внутренними массовыми силами можно пренебречь, считая все массовые силы за- данными внешними воздействиями. Тем самым определяющие соотношения выражают свя- зи между движением (деформацией) тела и внутренними контактными силами, то есть напряжениями. Общая теория определяющих соотношений механики сплошной среды зарождалась на заре науки. Основы ее сформировались во второй половине XX века. Ведущую роль в этом сыграли фундаментальные труды А.А. Ильюшина [1, 23, 24, 25, 27] и У. Нолла [6, 7], от- крывшие путь многочисленным исследованиям в этой области в современной науке. В основе всех современных подходов лежат постулаты (принципы, аксиомы), которые в наиболее простом случае (пренебрежение внутренними массовыми силами и отсутствие внутренних кинематических связей) сводят определяющие соотношения к общим приведен- ным формам Ильюшина: t Σ(x, t)  FΙ [Ε (x, s)]s0 , x (1.11) и Нолла: S(x, t)  Q(x, t)  FN s0 [Xt (x, s)] , x  QT (x, t) . (1.12) Здесь x, t лагранжевы переменные, S и Σ - тензоры напряжений Коши и Ильюшина, Εt и Xt предыстории тензора деформаций Грина Ε и правого тензора деформаций X (использовано определение предыстории  t (s) процесса  ( ) :  t (s)  (t - s) и правое полярное разложение аффинора деформации A  Q  X ). Было показано [36, 37, 39, 48, 53, 54], что определяющие соотношения Ильюшина (1.11) и Нолла (1.12) эквивалентны друг другу и выражают свойства сопротивления дефор- мированию любых тел (простых тел - по Ноллу или классических сред - по Ильюшину) в любых движениях. Другие общие формы определяющих соотношений, равносильные (1.11) и (1.12), стро- ятся заменой предысторий деформации и тензоров напряжений на их выражения через обобщенные тензорные меры (см. п. 2). Получаемые таким образом новые формы соотноше- ний для классов и семейств обобщенных тензорных мер напряжений и деформаций предо- ставляют широкие возможности для аппроксимации экспериментальных данных о поведе- нии материалов при конечных деформациях и позволяют строить обобщения моделей, из- вестных при малых деформациях, на область конечных деформаций. На основании таких построений были исследованы новые модели пластичности при конечных деформациях (в рамках семейства коротационных мер) [55 - 58], а также модели тел с памятью формы при конечных деформациях (в рамках семейства голономных мер) [59, 60]. Заключение Представленные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях по нелинейной механике сплошных сред, а также в формулировках начально-краевых задач и построении методов их решения.

About the authors

G. L. Brovko

Lomonosov Moscow State University

Email: glb@mech.math.msu.su
Dr. Sc., Prof.

References

Supplementary files