Колебания систем с дискретным числом степеней свободы с сухим трением

Полный текст

Цель работы - разработка метода расчета вынужденных колебаний механических систем с дискретным числом степеней свободы с сухим трением. Приняты основные допущения: · вынужденные колебания полагаются малыми; · сухое трение предполагается небольшим. Разработан приближенный аналитический метод решения задач о вынужденных колебаниях систем с дискретным числом степеней свободы. Действие сил сухого трения заменяется эквивалентным вязким сопротивлением. Такая замена используется в полной мере после приведения исходной системы к нормальным координатам. После этого получаются дифференциальные уравнения, каждое из которых аналогично уравнению вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы, но для нормальной координаты. Далее для каждого уравнения в отдельности применяется подход, изложенный в [1]. Проиллюстрируем предлагаемый метод на примере колебательной системы с двумя степенями свободы (рисунок 1). Рисунок 1. Колебательная система с двумя степенями свободы Система представляет собой цепочку упруго-массовых элементов (рисунок 1). Здесь - массы двух одинаковых грузов, - коэффициент линейной жесткости невесомых пружин. На первый груз действует сила сухого трения и вынуждающая сила , изменяющаяся по гармоническому закону. Здесь - амплитуда возмущающего воздействия, - частота возмущающего воздействия, - время. На второй груз сила трения не действует. Введем обобщенные координаты и (рисунок 1). Изобразим отдельно грузы и действующие на них силы (рисунок 2). Запишем дифференциальные уравнения движения системы [2]: (1) где: , , . Рисунок 2. Грузы и действующие на них силы Перепишем уравнения (1) в следующем виде: (2) Решения соответствующих однородных уравнений системы (2) ищем в виде [2, 3]: Введем безразмерную частоту колебаний . Частотное уравнение системы (2) имеет вид [2, 3]: . Решая его, получим собственные частоты колебаний: . Вычислим коэффициенты формы колебаний [2, 3]: . Введем нормальные координаты и с учетом форм колебаний: . (3) Подставим соотношения (3) в дифференциальные уравнения движения системы (2): , (4) . (5) Складывая уравнения (4) и (5) и вычитая из уравнения (4) уравнение (5), получим дифференциальные уравнения колебаний системы в нормальных координатах: , (6) . (7) Рассмотрим уравнение (6), то есть ограничимся колебаниями системы только по первому тону с частотой . Ищем частное решение (вынужденные колебания) в следующем виде: . (8) Заменим силу сухого трения эквивалентным вязким сопротивлением. Для этого вычислим коэффициент эквивалентного вязкого сопротивления аналогично [1, 4]. Найдем работу силы трения за время периода вынужденных колебаний системы : . Найдем работу сил вязкого сопротивления с коэффициентом : Приравняв работу силы трения за время периода вынужденных колебаний системы работе сил вязкого сопротивления за то же время, получим коэффициент вязкого сопротивления: . (9) С учетом функции Рэлея дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (6) примет вид: . (10) В каноническом виде уравнение (10) будет следующим: . (11) Здесь - коэффициент затухания, - частота свободных колебаний системы 1-го тона без сил трения, - приведенная амплитуда внешнего воздействия. Частное решение (8) уравнения (11) (вынужденные колебания) имеет вид [2, 3]: . Выпишем амплитуду вынужденных колебаний: . С учетом (9), имеем соотношение с амплитудой слева и справа: . (12) Преобразовав соотношение (12), получим уравнение для амплитуды вынужденных колебаний : . (13) Сила сухого трения скольжения первого груза (см. рисунок 2), где - коэффициент трения 1-го рода [1]. Из квадратного уравнения (13) получим следующее выражение: . (14) Полученная функция (14) является приближенной амплитудно-частотной характеристикой системы для нормальной координаты . Заключение В работе аналитически получено приближенное выражение для амплитудно-частотной характеристики механической системы с дискретным числом степеней свободы с учетом сил сухого трения.

Об авторах

А. А Пожалостин

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Email: panalv@mail.ru
д.т.н. проф; 8 (499)-263-63-75

А. В Паншина

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Email: panalv@mail.ru
к.ф.-м.н. доц.; 8 (499)-263-63-75

В. В Кокушкин

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Email: panalv@mail.ru
д.т.н. проф; 8 (499)-263-63-75

Список литературы

Дополнительные файлы