Email this article Fluctuations in systems with a discrete number of degrees of freedom with dry friction
- Authors: Pozhalostin A.A.1, Panshina A.V.1, Kokushkin V.V.1
-
Affiliations:
- Bauman Moscow State Technical University
- Issue: Vol 9, No 1-4 (2015)
- Pages: 70-73
- Section: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67136
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67136
- ID: 67136
Cite item
Full Text
Abstract
The approximate analytical for solving problems of forced oscillations f mechanical systems with discrete degrees of freedom, taking into account dry friction forces. Dry friction is replaced by an equivalent viscous resistance. For this purpose, the method of own functions for systems with discrete degrees of freedom is used to allow replacing the original system with some equivalent system. Thus there is postulated the equality of frequencies of original and present systems. The proposed method is illustrated by the example of the oscillating system with two degrees of freedom.
Full Text
Цель работы - разработка метода расчета вынужденных колебаний механических систем с дискретным числом степеней свободы с сухим трением. Приняты основные допущения: · вынужденные колебания полагаются малыми; · сухое трение предполагается небольшим. Разработан приближенный аналитический метод решения задач о вынужденных колебаниях систем с дискретным числом степеней свободы. Действие сил сухого трения заменяется эквивалентным вязким сопротивлением. Такая замена используется в полной мере после приведения исходной системы к нормальным координатам. После этого получаются дифференциальные уравнения, каждое из которых аналогично уравнению вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы, но для нормальной координаты. Далее для каждого уравнения в отдельности применяется подход, изложенный в [1]. Проиллюстрируем предлагаемый метод на примере колебательной системы с двумя степенями свободы (рисунок 1). Рисунок 1. Колебательная система с двумя степенями свободы Система представляет собой цепочку упруго-массовых элементов (рисунок 1). Здесь - массы двух одинаковых грузов, - коэффициент линейной жесткости невесомых пружин. На первый груз действует сила сухого трения и вынуждающая сила , изменяющаяся по гармоническому закону. Здесь - амплитуда возмущающего воздействия, - частота возмущающего воздействия, - время. На второй груз сила трения не действует. Введем обобщенные координаты и (рисунок 1). Изобразим отдельно грузы и действующие на них силы (рисунок 2). Запишем дифференциальные уравнения движения системы [2]: (1) где: , , . Рисунок 2. Грузы и действующие на них силы Перепишем уравнения (1) в следующем виде: (2) Решения соответствующих однородных уравнений системы (2) ищем в виде [2, 3]: Введем безразмерную частоту колебаний . Частотное уравнение системы (2) имеет вид [2, 3]: . Решая его, получим собственные частоты колебаний: . Вычислим коэффициенты формы колебаний [2, 3]: . Введем нормальные координаты и с учетом форм колебаний: . (3) Подставим соотношения (3) в дифференциальные уравнения движения системы (2): , (4) . (5) Складывая уравнения (4) и (5) и вычитая из уравнения (4) уравнение (5), получим дифференциальные уравнения колебаний системы в нормальных координатах: , (6) . (7) Рассмотрим уравнение (6), то есть ограничимся колебаниями системы только по первому тону с частотой . Ищем частное решение (вынужденные колебания) в следующем виде: . (8) Заменим силу сухого трения эквивалентным вязким сопротивлением. Для этого вычислим коэффициент эквивалентного вязкого сопротивления аналогично [1, 4]. Найдем работу силы трения за время периода вынужденных колебаний системы : . Найдем работу сил вязкого сопротивления с коэффициентом : Приравняв работу силы трения за время периода вынужденных колебаний системы работе сил вязкого сопротивления за то же время, получим коэффициент вязкого сопротивления: . (9) С учетом функции Рэлея дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (6) примет вид: . (10) В каноническом виде уравнение (10) будет следующим: . (11) Здесь - коэффициент затухания, - частота свободных колебаний системы 1-го тона без сил трения, - приведенная амплитуда внешнего воздействия. Частное решение (8) уравнения (11) (вынужденные колебания) имеет вид [2, 3]: . Выпишем амплитуду вынужденных колебаний: . С учетом (9), имеем соотношение с амплитудой слева и справа: . (12) Преобразовав соотношение (12), получим уравнение для амплитуды вынужденных колебаний : . (13) Сила сухого трения скольжения первого груза (см. рисунок 2), где - коэффициент трения 1-го рода [1]. Из квадратного уравнения (13) получим следующее выражение: . (14) Полученная функция (14) является приближенной амплитудно-частотной характеристикой системы для нормальной координаты . Заключение В работе аналитически получено приближенное выражение для амплитудно-частотной характеристики механической системы с дискретным числом степеней свободы с учетом сил сухого трения.×
About the authors
A. A. Pozhalostin
Bauman Moscow State Technical University
Email: panalv@mail.ru
Dr. Eng., Prof.; +7 499 263-63-75
A. V. Panshina
Bauman Moscow State Technical University
Email: panalv@mail.ru
Ph. D.; +7 499 263-63-75
V. V. Kokushkin
Bauman Moscow State Technical University
Email: panalv@mail.ru
Dr. Eng., Prof.; +7 499 263-63-75
References
- Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Москва: КомКнига, 2006. 439 с.
- Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. Москва: Высшая школа, 1968. 621 с.
- Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. СПб.: Лань, 2005. 438 с.
- Пожалостин А.А., Кулешов Б.Г., Паншина А.В. Колебания упругих одномерных систем с трением//Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engiournal.ru/catalog/eng/teormech/1136.html
Supplementary files
