Элементы термомеханики пластичности при сложном нагружении
- Авторы: Молодцов И.Н1, Бабаева Д.О1
-
Учреждения:
- МГУ имени М.В.Ломоносова
- Выпуск: Том 9, № 2-4 (2015)
- Страницы: 95-101
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67158
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67158
- ID: 67158
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Помимо нахождения определяющих уравнений, адекватно описывающих процессы сложного нагружения, проблемой теории упругопластических процессов является установление критериев нагружения и разгрузки. В настоящей работе в уравнениях процесса совершается переход от эвклидовой метрики, естественной для исходного девиаторного пространства, к внутренним метрикам, вполне определенно связанным с самими процессами деформаций и нагружений. Указанный переход позволяет без дополнительных предположений ввести так называемые структурные параметры, характеризующие необратимое поведение материала и построить вариант термомеханики, предоставляя широкий спектр возможностей для определения всех термодинамических параметров модели и формулировки термодинамических неравенств.
Полный текст
Определяющие уравнения Рассматриваются процессы сложного упругопластического нагружения материалов. Для описания их свойств используются стандартные обозначения, принятые в теории упру- гопластических процессов А.А. Ильюшина [1]. Так и обозначают пары пятимерных векторов-девиаторов напряжений и деформаций, построенных на базе соответствующих тен- зоров. В [2] векторы напряжений и деформаций связываются между собой определяющими уравнениями d Q d (P Q)n d , n (N Q) n , d n , (1) ds ds ds ds 2 СП (n , n ) , 1 СП , n n СПn , где: P , N , Q - функционалы процесса деформаций, s - длина дуги траектории деформаций. Одной из основных целей работы является идентификация функционалов в двух- и трёхмерных экспериментах [4], [5]. Рассматриваются эксперименты по винтовым траекториям деформаций, в которых тонкостенные стальные трубки (сталь 45) нагружались осевой силой, крутящим моментом и внутренним давлением по специальным программам деформиро- вания, отвечающим винтовым траекториям деформаций с постоянной кривизной и кручени- ем. Поскольку в экспериментах [4] данные приведены в виде зависимости компонент соот- ветствующих тензоров от длины дуги траектории деформаций, построение векторов- девиаторов проводилось при условиях, данных в [4]. Уравнение (1) эквивалентно системе уравнений: d ds P cos1 , d d n d , n / n / Q n cos n (n , n / )n / , (2) ds ds ds 1 1 1 d n d , n / n / N cos n (n , n / )n / , ds ds 1 1 в каждое из которых входит лишь по одному функционалу процесса. Первое уравнение определяет скалярные свойства материала, второе и третье - проек- ции скорости изменения напряжений на плоскость векторов напряжений и деформаций и в соответствующее ортогональное дополнение. Для трехмерных процессов деформаций направляющие векторы напряжений и дефор- маций представляются в репере Френе разложениями: n cos1n1 sin1 cos2n2 sin2n3 , n cos1n1 sin 1 cos2n2 sin 2n3 . Тогда из уравнения (1) можно получить систему уравнений для углов 1 и 2 : d1 cos Q sin N1 sin , (3) ds 1 2 1 1 d2 cos1 sin N1 sin sin( ), (4) 2 1 2 1 2 2 ds 2 sin1 2 , sin cos cos sin cos( ) , N Q N . 1 1 1 1 2 2 1 Здесь 1 и 2 - кривизны траектории деформаций. Как видно из уравнения (4), именно функционал N1 регулирует скорость изменения вдоль траектории процесса деформаций угла 2 , определяющего положение вектора напряжений относительно соприкасающейся плоскости. Далее показано, что функционалы Q / и N1 / определяют две величины следовых реакций в смысле [3], которые, в свою очередь, порождают соответствующие принципы за- паздывания векторных свойств. Уравнения (3) и (4) определяют геометрический смысл основных функционалов Q и N1 не только на трехмерных процессах деформаций, но и на процессах произвольной размерности будем считать, что данная пара функционалов опреде- ляет векторные свойства материала. В этом случае основное уравнение (1) тождественно пе- реписывается в терминах этих функционалов в виде: Qn1 1 1 1 d (P Q) cos n N sin n (n , n )n . (5) ds В экспериментах Р.А. Васина и др. [4] изучались процессы с трехмерными траектория- ми деформаций в виде спиралей с постоянными кривизнами и кручениями ( m обозначает номер витка спирали), описываемые уравнениями: 1 10 2 20 c cos , a 2 3 (m 1) , c sin , c 1 , a 1 2 2 2 22 . (6) 1 2 2 2 Анализ приведенных там данных показывает, что в экспериментах для мягких сталей с точностью эксперимента уже на втором витке спирали прослеживается установление специ- ального периодического режима нагружения. Это означает, что в каждом из экспериментов траектория нагружения уже к концу первого витка с определенной точностью ложится на круговой цилиндр: 2 2 2 / 1 10 R cos( 0 ) , 3 30 R sin( 0 ) , 2 (s) 1 3 , (s) 0 G s, (7) ( 2G 0 10 3 c) (G G) S , с постоянными в рамках каждого эксперимента величинами R , 0 , 10 , 30 . Свойства главных функционалов Из второго уравнения системы (2) с учетом (6) и (7) следует представление через пара- метры процесса основного функционала Q : 1 2 2 2 Q R 1 0 sin2 c cos 30 sin 1 sin2 0 0 10 10 1 cos0 cos0 R R R cos0 sin sin2 30 0 1 10 10 0 sin (8) R cos0 R с коэффициентами, зависящими от геометрических параметров траекторий деформации 1 и 2 , скалярных свойств материала и характеристик (7) траектории нагружения. 2 2 Вполне пригодное приближение функционала задаётся формулой Q R cos0 1 2 . 1 Погрешность такого представления в большинстве экспериментов [4] не превосходит 10%. Второй определяющий функционал N1 вычисляется из уравнения (2) с учетом (6), (7): N sin sin2 sin2 ( ) 2 d 2 R 2 2 sin( ) 1 sin 1 1 1 2 2 d ds 1 2 10 0 1 2 2 2 0 СП d СП cos ds 1 R cos 2 d 2 cos d . 1 ds sin2 1 0 1 2 2 2 ds 1 ds Приближенный результат дается соотношением: 2 N1 1 ctg 0 1 c 1 c 1 2 2 R cos R cos 1 2 0 0 1 c 1 2 30 sin 1 cos . (9) 10 10 cos 0 R cos 0 R R В нулевом приближении N 2 2 0 1 1 2 tg . 1 В большинстве экспериментов [4] формулы для обоих функционалов (8) и (9) имеют погрешность порядка 10%, что сравнимо с точностью экспериментальных данных. Прямые вычисления подтверждают периодичность Q и N1 / . Другое свойство функционалов Q и N1 / заключается в том, что они ограничены и порождают в материале следовые реакции, что также согласуется с экспериментальными данными [4], [5] и приведёнными в следующем разделе результатами. Элементы термомеханики процессов сложного нагружения В классической теории пластичности для решения вопроса об условиях перехода от об- ласти активного нагружения к разгрузке обычно вводят специальную поверхность, разделя- ющую эти области. В данном рассмотрении ниже использован иной подход, не требующий введения ненаблюдаемых в экспериментах объектов. Уравнение (5) преобразуем при помощи подстановки M . Получим: d ds M P cos1 , dM M N1 sin1 0, ds Q d d n QM d n n , d . ds ds ds M ds M Подстановка означает переход от эвклидовой метрики, естественной для девиаторного пространства, к внутренней метрике процесса, естественной для самого процесса. Полученная система эквивалентна (5) и является трехчленной формулой для деформаций, перенор- мированных с помощью метрики M . Аналогичным образом можно преобразовать с помо- щью метрики и слагаемые с напряжениями. В результате получается уравнение процесса в специальных метриках вания: M , , соотношения для метрик, в которые входят два следа запазды- d Q M d , ds ds M dM M ds 1 0, d ds 2 0, (10) 1 N1 sin1 , 1 Q 1 Q cos N1 (n , n ) sin 1 d . 1 1 2 ds Величины следов 1,2 определяются с использованием приведенных выше аппроксимаций определяющих функционалов. В нулевом приближении следы постоянны и известны. Уравнения (10) и (2) созвучны, поскольку связывают между собой приращения векто- ров напряжений и деформаций и содержат один и тот же функционал. Уравнения (10) явля- ются канонической формой основных уравнений (5) и записаны с использованием специаль- ных метрик эвклидовых пространств векторов напряжений и деформаций. В исходном со- стоянии (ненапряженном и недеформированном) пятимерное девиаторное пространство бы- ло первоначально нормировано. В этом пространстве изображаются одновременно и процесс деформаций, и процесс нагружения. При необратимом деформировании метрика про- странств деформаций и/или напряжений изменяется. Это хорошо видно в экспериментах [7], [9], где материал в процессе необратимых деформаций упрочняется в направлении деформи- рования и разупрочняется в противоположном направлении, а поверхность текучести соот- ветствующим образом искажается. Поэтому введение в теорию упругопластических процес- сов изменяющихся в процессе сложного нагружения метрик основных девиаторных про- странств представляется естественным и существенно отличает данный подход от классиче- ского подхода [1]. С учетом изменения метрики, как это было сделано в [6], имеем: d M d dM . ds ds M M ds Это равенство является аддитивным и точным представлением скорости деформаций при произвольно изменяющейся в процессе деформаций метрике пространства. Второе слагаемое как раз связано с изменением метрики. Обозначим: d * d d dM M , P . (11) ds ds M ds M ds 1 Аналогично будем считать, что в процессе нагружения метрика пространства напряже- ний также может изменяться. d d d d * d , , d P d . ds ds ds ds ds ds ds 2 Механический смысл введенных новых векторных полей будет обсуждаться ниже. С учетом (10) получим: d * d d QM ds ds Интегрированием находим напряжения: . ds M * * s ε (s) M (s0 ) Q(s) (s) Q(s0 ) (s0 ) d (QM ). s0 (12) Аналогичным образом из (10) получаем представление напряжений: s (s) (s ) (s) Q(s) (s) Q(s ) (s ) (s) d QM . (13) 0 0 0 (s0 ) (s0 ) s0 M Если Q(s) (s) выразить из (12) и подставить в (13), можно получить другое представление напряжений (s) через * (s) и деформации (s): s s (s) * (s) Q(s ) (s ) (s ) s ( p) 1 (s) d QM Q d (14) 0 0 0 0 M ( p) ( p) 2 . 0 0 s s Эта формула может быть истолкована как аддитивное представление напряжений в виде суммы напряжений * (s) и некоторых дополнительных напряжений (s) * (s) . Как видно, эти дополнительные напряжения определяются историей изменения метрик про- странств напряжений и деформаций в процессе деформаций. Диссипация Используем полученные выше аддитивные представления приращений деформаций (11) и напряжений для преобразования элементарной работы A и отдельных ее частей. В данном разделе считаем величины P , P характеристиками необратимых изменений в материале, а величины, отмеченные звездочкой, относим к переменным состояния. Тогда: A d P *d * ( * )d * d du D. С учетом (14) для диссипации и внутренней энергии имеем представления: P D ( * )d * d , du * d * . (15) Сказанное выше означает, что необратимые деформации в материале обусловлены ис- ключительно изменением метрик пространств напряжений и деформаций. Аналогично запи- сывается выражение диссипации и в процессе нагружения: d (u ) * d * ( P * )d * d D, P D ( * )d * d . (16) Поскольку уравнения (2) были выведены в [2] из геометрических соображений, то воз- никает вопрос: не сводится ли предлагаемая теория каким-либо образом к теориям пластиче- ского течения, полученным из постулатов пластичности? В теориях пластического течения основным объектом является поверхность текучести, разделяющая области обратимых и не- обратимых деформаций. Уравнение этой поверхности в пространстве деформаций (нагруже- ния) в каждой точке траектории процесса считается априори известным и задается некоторой зависимостью типа F ( , P ,...) 0 . Принципы градиентальности имеют вполне понятную термомеханическую подоплеку, которая приводит для гладких поверхностей текучести к ор- тогональности вектора приращения пластической деформации к поверхности. В процессе деформаций это приводит к уравнению: d P d F ( , P ,...) . В рассматриваемом нами случае: N1 d P sin1ds. Q Это позволяет при F ( , ) f ( ) 0, (d )2 конкретизировать зависимость f ( ) P P P P в процессе деформаций: s N Q 1 f ( (s)) 1 sin ds. 0 (17) Таким образом, принятая выше схема аддитивного разделения приращений деформа- ций и сделанный выше выбор параметров состояния приводят к точному соответствию рас- сматриваемой теории и модели пластичности с изотропным упрочнением и трансляцией по- верхности текучести в пространстве деформаций. При вычислении диссипации исходим из определений величин и формулы (15): d dM , d * Md , d d * d , d * 1 d 2 2 ds . 2 P M M P 2 Преобразуем (15) с учетом (10): * * * * D ( )d ( , ) ds 1 d 2 2 ds 1 d ( , ) N sin ds 1 1 Q 1 2 2 Q Q Q 1 1 d 2 1 d *2 ds R 2 2 2 G . (18) Q 2 2 1 2 cos0 1 Полученное приближенное представление с учетом положительности функционала и экспериментальных данных является неотрицательным, что обеспечивает выполнение тер- модинамического неравенства и, следовательно, активность процессов с винтовыми траекто- риями деформаций вида (6) из [4]. Заметим, что в рассматриваемом случае функционал Q в силу первого соотношения (10) связывает переменные состояния законом гипоупругости, что оправдывает использование этих переменных в качестве параметров состояния. Однако в силу (9) этот функционал явно зависит от кривизны траектории деформации и, следователь- но, не является характеристикой свойств материала. В следующем разделе данное противо- речие устраняется. Исходной точкой здесь также является аддитивное представление приращения де- формаций: d d * * dM d 1 1 d * P ds d ** d , M G Q G 1 * d P 1 Q d Q ds, d ** d , (19) G G 1 G но иначе выбираются параметры состояния и характеристики необратимости. Соотношение (19) по сравнению с (11) выглядит значительно богаче. В нем, наряду с изотропным упрочнением, имеется дополнительное кинематическое упрочнение и, возмож- но, изменяющаяся в процессе, не обязательно сферическая геометрия поверхности текуче- сти. Однако вопрос о существовании предельной поверхности для соотношения (19) выходит за пределы данного рассмотрения. В соответствии с выбранными параметрами состояния и необратимости выполняем преобразования элементарной работы внутренних сил: P A * d ** ( * )d ** d * d * ( * )d * 1 1 ( , ) * d * d * ds du D, du , G G Q G 1 G * * D ( )d 1 1 d * ( , ) ds G Q G 1 1 1 R d 2 ds 2 2 2 G 1 d *2 . (20) Q 2 1 2 cos0 1 2G Оба соотношения (18) и (20) были получены приближенно с учетом только главных членов входящих в них определяющих функционалов. Более точные оценки возможны. Подобно тому как было получено соотношение (19) и в соответствии с теоремой изо- морфизма [1], аналогично поступаем с аддитивным представлением приращения напряже- ний: d d * d d * ds Gd * (Q G)d * P ds d ** d , 2 2 P d (Q G)d (Q G) ds ds, d ** Gd * . (21) 1 2 Уравнение (21) для диссипативных напряжений входит в общую постановку задачи, но также интересно из-за того, что данные напряжения входят в состав скалярных параметров (7) и подлежат определению. Вычислениями показана возможность использования соотно- шений (14) и (21) в качестве формул для определения диссипативных напряжений. Это в том числе означает пригодность рассмотренных подходов (18), (20) к оценке функции диссипа- ции и установления с их помощью критериев активного нагружения.×
Список литературы
- Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории // Изд-во АН СССР, М., 1963, 272 с.
- Молодцов И.Н. Процессы сложного нагружения в теории пластичности // Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. М., 2006, с. 204 - 210.
- Малый В.И. Исследование некоторых функционалов теории упругопластических процессов // Упругость и неупругость, Москва, 1978, вып.5, с. 107 - 116.
- Вавакин А.С., Васин Р.А., Викторов В.В., Широв Р.И. Экспериментальное исследование упругопластического деформирования стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям деформаций. Деп. в ВИНИТИ, 16.10.86, №7298-В86. 66 с.
- Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гараников В.В. Экспериментальная пластичность // Книга 1. Процессы сложного нагружения. Тверь: Тверской ГТУ, 2003, 170 с.
- Огибалов П.М., Тамбовцев Е.П., Молодцов И.Н. Динамическая калибровка диссипации в нелокальных композитах // Механика композитных материалов. Рига, 1986, № 2, с. 217 - 224.
- Ленский В.С. В сборнике «Упругость и неупругость». М., 1978, вып. 5.
- Бондарь В.С. Неупругость. Варианты теории. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. 144 с.
- Дж. Белл. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Том 2. М.: Наука, 1984, 431 с.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)