Устойчивость тонкостенных упругопластических конструкций при реализации процессов сложного комбинированного деформирования
- Авторы: Охлопков Н.Л1, Черемных С.В1
-
Учреждения:
- ТвГТУ
- Выпуск: Том 9, № 2-4 (2015)
- Страницы: 109-114
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67168
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67168
- ID: 67168
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассматривается задача бифуркации тонкостенной круговой цилиндрической оболочки с учетом сложного характера деформирования в момент потери устойчивости при сложном докритическом нагружении осевой сжимающей силой и крутящим моментом в девиаторной плоскости деформаций А.А. Ильюшина . Используется условие несжимаемости материала и условие однородности напряженного состояния в оболочке до момента потери устойчивости. Задача решается в геометрически линейной постановке.
Ключевые слова
Полный текст
Для решения задачи бифуркации оболочки при сложном комбинированном докритиче- ском нагружении в каждой точке траектории деформации необходимо знать значения ком- понент напряженного состояния. Таким образом, задача состоит из двух частей: построение образа процесса нагружения материала и собственно решение задачи бифуркации. Уравнения связи напряжений и деформаций в момент потери устойчивости оболочки и при построении образа процесса нагружения материала принимаем в соответствии с опреде- ляющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [1, 2]: Sij NЭij N S Sij , i, j 1,2,3, (1) где: d P ; cos ; Э e ; S - компоненты тензора-девиатора напряжений; dS 1 ij ij ij d Эij - компоненты тензора-девиатора деформаций. Здесь dS , N - определяющие функ- ции пластичности, 1 - угол сближения ( cos1 p1 ), S - длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает дифференцирование по обобщенному параметру времени d d dt dS dS . dt Для определяющих функций пластичности N и ложенные В.Г. Зубчаниновым [1]: d принимаем аппроксимации, предdS p p q N 2G 2G 2G 1 cos1 2 , (2) d 1 cos p 2Gk 2G 2Gk 1 dS 2 где: G , Gk , Gp - модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответственно. Уравнение для определения угла сближения 1 имеет вид: sin1 , (3) N 1 где: - модуль вектора напряжений, 1 - кривизна траектории. Уравнения (1) и (3) имеют вид уравнений задачи Коши, которую решаем методом Рун- ге-Кутта. За параметр обобщенного времени t на участках сложной траектории деформиро- вания принимаются различные монотонно возрастающие параметры процесса. Таким образом, в каждой точке траектории деформаций определяем компоненты напряженного состояния и далее решаем бифуркационную задачу. Цилиндрическую оболочку считаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. Решение задачи бифуркации сводим к решению задачи о собственных числах [1]. В результате окончательно получаем систему алгебраических уравнений: K*i g1E i1 2g1S* m 3K* 2 1 N2 N 4g1 2 ** 2 ** ** * * 1 , (4) e 2i S 2 ** N *K N * * m 1 1 где: 2 * 1 K * * r 2 2 * r, S S * r 2 S * 2S * r, * ij , S * Sij , r n , * 11 22 12 * 11 22 12 ij m ij N 3 D * g1 1 3 N *2 , 2 1 2 r 2 )2 K* , 1 21 r 2 )2 1, , (5) D 2 1 N * 1 m 1 * 2 3S 2 1 m 2G N * N z* dz* , m 2G ** S * z* m 1 dz* , z* z . где: i 3R / h 1 1 h - гибкость оболочки. Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн m, n изогнутого состояния вычислить критическую гибкость оболочки i в зависимости от значе- ния модуля вектора напряжений в момент потери устойчивости. m Интегралы ** и N m * в (5) определяются численно по методу Симпсона. В качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чи- стопластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. Так же расчеты выполнены на основе теории устойчивости А.А. Ильюшина, в которой используются определяющие соотношения теории квазипростых процессов [1]. Для определяющих функций пластичности используются аппроксимации: N 2G1 , P 2G1 , 0 1 / 2 , (6) N P 2G, / 2 1 где: - параметр пластичности А.А. Ильюшина, - параметр разупрочнения. Система алгебраических уравнений задачи о собственных числах принимает вид: * * * * *2 i2 K EN1 4 i 3 N1 Ф 2 K S 2 n2 2 1 1 g2 K 2 9 N1 Ф K 2 S 2 Eg1 * * 2 m * * 2 g1 m * * m 2 * g1 8 g1 * * . (7) C N1 2 3 N1 Ф K S 2 m 4 i * * Учитывается разгрузка материала в момент бифуркации. Расчеты сопоставлены с экспериментальными результатами, полученными на автома- тизированном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории кафедры «Сопротивление материалов, тео- рии упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета. Эксперименты реализованы на тонкостенных круговых цилиндрических оболочках, изготовленных из стали 45 из двух разных партий отгрузки материала. Диаграмма деформирования материала при простом нагружении показана кривой 1 и 2 на рисунке 1. Рисунок 1. Диаграмма деформирования образцов из стали 45 при простых процессах Работа выполняется с целью проверки влияния истории сложного докритического нагружения на критические параметры устойчивости оболочек. Ранее расчеты были выпол- нены для веера двузвенных прямолинейных ломаных траекторий в девиаторной плоскости деформаций А.А. Ильюшина Э1 Э3 . Дополнительно, в качестве примера для материала 2 из стали 45, рассмотрена сложная криволинейная траектория, представляющая собой растяжение до заданного уровня R на первом звене и дальнейший переход на траекторию деформирования постоянной кривизны радиуса R (рисунок 2). Рисунок 2. Траектории деформирования образцов из стали 45 R - радиус дуги окружности На рисунке 3 показана траектория нагружения оболочки, соответствующая реализован- ной траектории деформирования. Сплошная линия отражает решение задачи построения об- раза процесса нагружения. Момент потери устойчивости в эксперименте и расчетах указан на рисунке стрелками. Рисунок 3. Траектория нагружения Расчеты выполнены для процесса при R = 1.5 %. Как показывают эксперимент и расче- ты, при данных параметрах процесса потеря устойчивости оболочки реализуется на криво- линейной части траектории. На рисунке 4 представлены графики зависимости критических параметров напряжений от гибкости оболочки, построенные как огибающие кривых устой- чивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 4. Графики наименьшей гибкости оболочки Цифрами на рисунке обозначено: 1, 2 - расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина при чисто пластической бифуркации и с учетом разгрузки материала соответственно; 3 - расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для функции d , а для функции N соотношения dS N 2G(1 ) ; 4 - расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для определяющих функций пластичности со значениями материальных параметров, входящих в структуру аппроксима- ций равными р=q=1.0; 5 - то же, при р=q=0.5. Треугольником на рисунке отмечены экспери- ментальные результаты. На рассмотренном процессе реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например по теории устойчивости А.А. Ильюшина. Так же в качестве примера для материала 1 из стали 45 рассмотрены трехзвенные тра- ектории, представляющие собой: растяжение до заданного уровня R на первом звене; 1,25 витка траектории постоянной кривизны радиуса R на втором звене; сжатие до потери устой- чивости при поддержании постоянного уровня деформации кручения Э3 на третьем звене (рисунок 5). Рисунок 5. Траектории деформирования образцов из стали 45 Расчеты выполнены для нескольких процессов при R = 0.5, 1 и 1.5 %. При данных па- раметрах процесса потеря устойчивости оболочки на криволинейной части траектории не происходит. Показатели степеней p и q, входящие в состав аппроксимаций (2) определяющих функций пластичности при теоретическом построении образа процесса нагружения ма- териала принимались р=0.6 и q=1.35. На рисунках 6, 7 и 8 приведены графики критических параметров напряжений и де- формаций, построенные как огибающие кривых устойчивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 6. Критические параметры напряжений и деформаций (R=0,5%) Рисунок 7. Критические параметры напряжений и деформаций (R=1%) Рисунок 8. Критические параметры напряжений и деформаций (R=1%) Цифрами на рисунках обозначено: 1 - расчет, выполненный с учетом сложного харак- тера нагружения в момент потери устойчивости при показателях степеней р=0.6 и q=1.35 (соответствуют значениям, принятым при решении задачи построения образа процесса нагружения); 2 - расчет при показателях степеней р=1 и q=1; 3 - расчет при показателях сте- пеней р=0.55 и q=1,35; 4 - расчет при р=0.7 и q=1.35; 5 - расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина с учетом разгрузки материала в момент потери устойчивости. Треугольниками отмечены экспериментальные результаты. На рисунке 9 в девиаторной плоскости деформаций показаны зоны устойчивых состоя- ний оболочки. Цифры и условные обозначения соответствуют предыдущим рисункам. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что определяющие соотно- шения гипотезы компланарности и аппроксимации определяющих функций пластичности В.Г. Зубчанинова, учитывающие изменение угла сближения в процессе деформирования, позволяют получить достоверное решение задачи бифуркации круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом нагружении. Рисунок 9. Зоны устойчивых состояний в плоскости Э1 Э3 для оболочек из стали 45 На рассмотренных процессах реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет существенно уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например по теории устойчивости А.А. Ильюшина, которые дают завышенные значения критических напряжений и деформаций. Показатели степеней р и q в аппроксимациях определяющих функций пластичности при сложных докритических процессах не могут приниматься равными р=q=1 и зависят от реализуемой траектории. При этом влияние параметра р на расчетные значения критических напряжений и деформаций проявляется в большей степени, чем изменение параметра q. Расчеты выполнены также для ряда иных траекторий сложного докритического нагружения [3].×
Об авторах
Н. Л Охлопков
ТвГТУд.т.н. проф.
С. В Черемных
ТвГТУ
Email: stepan_1986@bk.ru
8(4822) 52-63-63
Список литературы
- Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 1. Устойчивость / В.Г. Зубчанинов. - М.: Физматлит, 2007. - 448 с.
- Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: Монография / В.Г. Зубчанинов. - Тверь: ТГТУ, 2002. - 300 с.
- Зубчанинов В.Г. Экспериментальная пластичность: Монография. Книга 1. Процессы сложного деформирования / В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков, В.В. Гараников. - Тверь: ТГТУ, 2003. - 172 с.