Stability of elastoplastic thin-walled structures in implementation of complex processes of combined deformation



Cite item

Abstract

In this article the problem of bifurcation of the thin-walled circular cylindrical shell under compound deformation in the moment of loss of stability is being considered. Undercritical loading is compound. It is full failed by means of axial compressing force and torque moment in the deviatoric plane A.A. Ilyushin. The condition of the incompressibility of material and the condition of the uniformity of the stressed state in the shell till the moment of loss of stability are used. The problem is solved in geometrically linear setting.

Full Text

Для решения задачи бифуркации оболочки при сложном комбинированном докритиче- ском нагружении в каждой точке траектории деформации необходимо знать значения ком- понент напряженного состояния. Таким образом, задача состоит из двух частей: построение образа процесса нагружения материала и собственно решение задачи бифуркации. Уравнения связи напряжений и деформаций в момент потери устойчивости оболочки и при построении образа процесса нагружения материала принимаем в соответствии с опреде- ляющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [1, 2]: Sij  NЭij     N S Sij ,  i, j  1,2,3, (1) где:    d  P ;   cos ; Э  e ; S - компоненты тензора-девиатора напряжений; dS 1 ij ij ij d Эij - компоненты тензора-девиатора деформаций. Здесь dS , N - определяющие функ-   ции пластичности, 1 - угол сближения ( cos1    p1 ), S - длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает дифференцирование по обобщенному параметру времени d  d dt dS dS . dt Для определяющих функций пластичности N и ложенные В.Г. Зубчаниновым [1]: d принимаем аппроксимации, предdS p p   q N  2G  2G  2G  1  cos1   2  , (2) d  1  cos  p  2Gk  2G  2Gk  1  dS  2  где: G , Gk , Gp - модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответственно. Уравнение для определения угла сближения 1 имеет вид:     sin1   , (3) N 1 где:  - модуль вектора напряжений, 1 - кривизна траектории. Уравнения (1) и (3) имеют вид уравнений задачи Коши, которую решаем методом Рун- ге-Кутта. За параметр обобщенного времени t на участках сложной траектории деформиро- вания принимаются различные монотонно возрастающие параметры процесса. Таким образом, в каждой точке траектории деформаций определяем компоненты напряженного состояния и далее решаем бифуркационную задачу. Цилиндрическую оболочку считаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. Решение задачи бифуркации сводим к решению задачи о собственных числах [1]. В результате окончательно получаем систему алгебраических уравнений:  K*i g1E  i1 2g1S*  m   3K* 2  1 N2 N  4g1  2 ** 2  ** ** * * 1 , (4) e   2i S 2   **  N *K  N * * m 1 1 где: 2 * 1 K   *   * r 2  2 * r, S  S * r 2  S *  2S * r,  *   ij , S *  Sij , r  n , * 11 22 12 * 11 22 12 ij  m ij   N 3  D  *  g1  1  3  N *2  , 2     1  2 r 2 )2  K* , 1   21  r 2 )2 1, , (5) D 2  1 N * 1  m 1 * 2 3S 2 1 m 2G  N *   N z*  dz* , m 2G  **   S * z* m 1 dz* , z*  z . где: i  3R / h 1 1 h - гибкость оболочки. Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн m, n изогнутого состояния вычислить критическую гибкость оболочки i в зависимости от значе- ния модуля вектора напряжений  в момент потери устойчивости.  m Интегралы ** и N m * в (5) определяются численно по методу Симпсона. В качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чи- стопластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. Так же расчеты выполнены на основе теории устойчивости А.А. Ильюшина, в которой используются определяющие соотношения теории квазипростых процессов [1]. Для определяющих функций пластичности используются аппроксимации: N  2G1   ,  P  2G1   , 0  1   / 2 , (6) N  P  2G,  / 2  1   где:  - параметр пластичности А.А. Ильюшина,  - параметр разупрочнения. Система алгебраических уравнений задачи о собственных числах принимает вид:  *  * *   * *2 i2    K  EN1 4   i 3 N1 Ф 2 K S  2  n2 2  1 1  g2 K 2  9 N1 Ф K 2 S 2  Eg1  *  * 2 m  * * 2 g1 m * * m 2   *  g1  8 g1 * * . (7) C  N1 2 3 N1 Ф K S 2 m 4 i * * Учитывается разгрузка материала в момент бифуркации. Расчеты сопоставлены с экспериментальными результатами, полученными на автома- тизированном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории кафедры «Сопротивление материалов, тео- рии упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета. Эксперименты реализованы на тонкостенных круговых цилиндрических оболочках, изготовленных из стали 45 из двух разных партий отгрузки материала. Диаграмма деформирования материала при простом нагружении показана кривой 1 и 2 на рисунке 1. Рисунок 1. Диаграмма деформирования образцов из стали 45 при простых процессах Работа выполняется с целью проверки влияния истории сложного докритического нагружения на критические параметры устойчивости оболочек. Ранее расчеты были выпол- нены для веера двузвенных прямолинейных ломаных траекторий в девиаторной плоскости деформаций А.А. Ильюшина Э1  Э3 . Дополнительно, в качестве примера для материала 2 из стали 45, рассмотрена сложная криволинейная траектория, представляющая собой растяжение до заданного уровня R на первом звене и дальнейший переход на траекторию деформирования постоянной кривизны радиуса R (рисунок 2). Рисунок 2. Траектории деформирования образцов из стали 45 R - радиус дуги окружности На рисунке 3 показана траектория нагружения оболочки, соответствующая реализован- ной траектории деформирования. Сплошная линия отражает решение задачи построения об- раза процесса нагружения. Момент потери устойчивости в эксперименте и расчетах указан на рисунке стрелками. Рисунок 3. Траектория нагружения Расчеты выполнены для процесса при R = 1.5 %. Как показывают эксперимент и расче- ты, при данных параметрах процесса потеря устойчивости оболочки реализуется на криво- линейной части траектории. На рисунке 4 представлены графики зависимости критических параметров напряжений от гибкости оболочки, построенные как огибающие кривых устой- чивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 4. Графики наименьшей гибкости оболочки Цифрами на рисунке обозначено: 1, 2 - расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина при чисто пластической бифуркации и с учетом разгрузки материала соответственно; 3 - расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для функции d , а для функции N соотношения dS N  2G(1  ) ; 4 - расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для определяющих функций пластичности со значениями материальных параметров, входящих в структуру аппроксима- ций равными р=q=1.0; 5 - то же, при р=q=0.5. Треугольником на рисунке отмечены экспери- ментальные результаты. На рассмотренном процессе реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например по теории устойчивости А.А. Ильюшина. Так же в качестве примера для материала 1 из стали 45 рассмотрены трехзвенные тра- ектории, представляющие собой: растяжение до заданного уровня R на первом звене; 1,25 витка траектории постоянной кривизны радиуса R на втором звене; сжатие до потери устой- чивости при поддержании постоянного уровня деформации кручения Э3 на третьем звене (рисунок 5). Рисунок 5. Траектории деформирования образцов из стали 45 Расчеты выполнены для нескольких процессов при R = 0.5, 1 и 1.5 %. При данных па- раметрах процесса потеря устойчивости оболочки на криволинейной части траектории не происходит. Показатели степеней p и q, входящие в состав аппроксимаций (2) определяющих функций пластичности при теоретическом построении образа процесса нагружения ма- териала принимались р=0.6 и q=1.35. На рисунках 6, 7 и 8 приведены графики критических параметров напряжений и де- формаций, построенные как огибающие кривых устойчивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 6. Критические параметры напряжений и деформаций (R=0,5%) Рисунок 7. Критические параметры напряжений и деформаций (R=1%) Рисунок 8. Критические параметры напряжений и деформаций (R=1%) Цифрами на рисунках обозначено: 1 - расчет, выполненный с учетом сложного харак- тера нагружения в момент потери устойчивости при показателях степеней р=0.6 и q=1.35 (соответствуют значениям, принятым при решении задачи построения образа процесса нагружения); 2 - расчет при показателях степеней р=1 и q=1; 3 - расчет при показателях сте- пеней р=0.55 и q=1,35; 4 - расчет при р=0.7 и q=1.35; 5 - расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина с учетом разгрузки материала в момент потери устойчивости. Треугольниками отмечены экспериментальные результаты. На рисунке 9 в девиаторной плоскости деформаций показаны зоны устойчивых состоя- ний оболочки. Цифры и условные обозначения соответствуют предыдущим рисункам. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что определяющие соотно- шения гипотезы компланарности и аппроксимации определяющих функций пластичности В.Г. Зубчанинова, учитывающие изменение угла сближения в процессе деформирования, позволяют получить достоверное решение задачи бифуркации круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом нагружении. Рисунок 9. Зоны устойчивых состояний в плоскости Э1  Э3 для оболочек из стали 45 На рассмотренных процессах реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет существенно уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например по теории устойчивости А.А. Ильюшина, которые дают завышенные значения критических напряжений и деформаций. Показатели степеней р и q в аппроксимациях определяющих функций пластичности при сложных докритических процессах не могут приниматься равными р=q=1 и зависят от реализуемой траектории. При этом влияние параметра р на расчетные значения критических напряжений и деформаций проявляется в большей степени, чем изменение параметра q. Расчеты выполнены также для ряда иных траекторий сложного докритического нагружения [3].
×

About the authors

N. L Okhlopkov

Tver State Technical University

Dr.Eng., Prof.

S. V Cheremnykh

Tver State Technical University

Email: stepan_1986@bk.ru
+7(4822) 52-63-63

References

  1. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 1. Устойчивость / В.Г. Зубчанинов. - М.: Физматлит, 2007. - 448 с.
  2. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: Монография / В.Г. Зубчанинов. - Тверь: ТГТУ, 2002. - 300 с.
  3. Зубчанинов В.Г. Экспериментальная пластичность: Монография. Книга 1. Процессы сложного деформирования / В.Г. Зубчанинов, Н.Л. Охлопков, В.В. Гараников. - Тверь: ТГТУ, 2003. - 172 с.

Copyright (c) 2015 Okhlopkov N.L., Cheremnykh S.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies