Stability of elastoplastic thin-walled structures in implementation of complex processes of combined deformation

Full Text

Для решения задачи бифуркации оболочки при сложном комбинированном докритиче- ском нагружении в каждой точке траектории деформации необходимо знать значения ком- понент напряженного состояния. Таким образом, задача состоит из двух частей: построение образа процесса нагружения материала и собственно решение задачи бифуркации. Уравнения связи напряжений и деформаций в момент потери устойчивости оболочки и при построении образа процесса нагружения материала принимаем в соответствии с опреде- ляющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [1, 2]: Sij  NЭij     N S Sij ,  i, j  1,2,3, (1) где:    d  P ;   cos ; Э  e ; S - компоненты тензора-девиатора напряжений; dS 1 ij ij ij d Эij - компоненты тензора-девиатора деформаций. Здесь dS , N - определяющие функ-   ции пластичности, 1 - угол сближения ( cos1    p1 ), S - длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает дифференцирование по обобщенному параметру времени d  d dt dS dS . dt Для определяющих функций пластичности N и ложенные В.Г. Зубчаниновым [1]: d принимаем аппроксимации, предdS p p   q N  2G  2G  2G  1  cos1   2  , (2) d  1  cos  p  2Gk  2G  2Gk  1  dS  2  где: G , Gk , Gp - модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответственно. Уравнение для определения угла сближения 1 имеет вид:     sin1   , (3) N 1 где:  - модуль вектора напряжений, 1 - кривизна траектории. Уравнения (1) и (3) имеют вид уравнений задачи Коши, которую решаем методом Рун- ге-Кутта. За параметр обобщенного времени t на участках сложной траектории деформиро- вания принимаются различные монотонно возрастающие параметры процесса. Таким образом, в каждой точке траектории деформаций определяем компоненты напряженного состояния и далее решаем бифуркационную задачу. Цилиндрическую оболочку считаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. Решение задачи бифуркации сводим к решению задачи о собственных числах [1]. В результате окончательно получаем систему алгебраических уравнений:  K*i g1E  i1 2g1S*  m   3K* 2  1 N2 N  4g1  2 ** 2  ** ** * * 1 , (4) e   2i S 2   **  N *K  N * * m 1 1 где: 2 * 1 K   *   * r 2  2 * r, S  S * r 2  S *  2S * r,  *   ij , S *  Sij , r  n , * 11 22 12 * 11 22 12 ij  m ij   N 3  D  *  g1  1  3  N *2  , 2     1  2 r 2 )2  K* , 1   21  r 2 )2 1, , (5) D 2  1 N * 1  m 1 * 2 3S 2 1 m 2G  N *   N z*  dz* , m 2G  **   S * z* m 1 dz* , z*  z . где: i  3R / h 1 1 h - гибкость оболочки. Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн m, n изогнутого состояния вычислить критическую гибкость оболочки i в зависимости от значе- ния модуля вектора напряжений  в момент потери устойчивости.  m Интегралы ** и N m * в (5) определяются численно по методу Симпсона. В качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чи- стопластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. Так же расчеты выполнены на основе теории устойчивости А.А. Ильюшина, в которой используются определяющие соотношения теории квазипростых процессов [1]. Для определяющих функций пластичности используются аппроксимации: N  2G1   ,  P  2G1   , 0  1   / 2 , (6) N  P  2G,  / 2  1   где:  - параметр пластичности А.А. Ильюшина,  - параметр разупрочнения. Система алгебраических уравнений задачи о собственных числах принимает вид:  *  * *   * *2 i2    K  EN1 4   i 3 N1 Ф 2 K S  2  n2 2  1 1  g2 K 2  9 N1 Ф K 2 S 2  Eg1  *  * 2 m  * * 2 g1 m * * m 2   *  g1  8 g1 * * . (7) C  N1 2 3 N1 Ф K S 2 m 4 i * * Учитывается разгрузка материала в момент бифуркации. Расчеты сопоставлены с экспериментальными результатами, полученными на автома- тизированном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории кафедры «Сопротивление материалов, тео- рии упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета. Эксперименты реализованы на тонкостенных круговых цилиндрических оболочках, изготовленных из стали 45 из двух разных партий отгрузки материала. Диаграмма деформирования материала при простом нагружении показана кривой 1 и 2 на рисунке 1. Рисунок 1. Диаграмма деформирования образцов из стали 45 при простых процессах Работа выполняется с целью проверки влияния истории сложного докритического нагружения на критические параметры устойчивости оболочек. Ранее расчеты были выпол- нены для веера двузвенных прямолинейных ломаных траекторий в девиаторной плоскости деформаций А.А. Ильюшина Э1  Э3 . Дополнительно, в качестве примера для материала 2 из стали 45, рассмотрена сложная криволинейная траектория, представляющая собой растяжение до заданного уровня R на первом звене и дальнейший переход на траекторию деформирования постоянной кривизны радиуса R (рисунок 2). Рисунок 2. Траектории деформирования образцов из стали 45 R - радиус дуги окружности На рисунке 3 показана траектория нагружения оболочки, соответствующая реализован- ной траектории деформирования. Сплошная линия отражает решение задачи построения об- раза процесса нагружения. Момент потери устойчивости в эксперименте и расчетах указан на рисунке стрелками. Рисунок 3. Траектория нагружения Расчеты выполнены для процесса при R = 1.5 %. Как показывают эксперимент и расче- ты, при данных параметрах процесса потеря устойчивости оболочки реализуется на криво- линейной части траектории. На рисунке 4 представлены графики зависимости критических параметров напряжений от гибкости оболочки, построенные как огибающие кривых устой- чивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 4. Графики наименьшей гибкости оболочки Цифрами на рисунке обозначено: 1, 2 - расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина при чисто пластической бифуркации и с учетом разгрузки материала соответственно; 3 - расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для функции d , а для функции N соотношения dS N  2G(1  ) ; 4 - расчет с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости при использовании для определяющих функций пластичности со значениями материальных параметров, входящих в структуру аппроксима- ций равными р=q=1.0; 5 - то же, при р=q=0.5. Треугольником на рисунке отмечены экспери- ментальные результаты. На рассмотренном процессе реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например по теории устойчивости А.А. Ильюшина. Так же в качестве примера для материала 1 из стали 45 рассмотрены трехзвенные тра- ектории, представляющие собой: растяжение до заданного уровня R на первом звене; 1,25 витка траектории постоянной кривизны радиуса R на втором звене; сжатие до потери устой- чивости при поддержании постоянного уровня деформации кручения Э3 на третьем звене (рисунок 5). Рисунок 5. Траектории деформирования образцов из стали 45 Расчеты выполнены для нескольких процессов при R = 0.5, 1 и 1.5 %. При данных па- раметрах процесса потеря устойчивости оболочки на криволинейной части траектории не происходит. Показатели степеней p и q, входящие в состав аппроксимаций (2) определяющих функций пластичности при теоретическом построении образа процесса нагружения ма- териала принимались р=0.6 и q=1.35. На рисунках 6, 7 и 8 приведены графики критических параметров напряжений и де- формаций, построенные как огибающие кривых устойчивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 6. Критические параметры напряжений и деформаций (R=0,5%) Рисунок 7. Критические параметры напряжений и деформаций (R=1%) Рисунок 8. Критические параметры напряжений и деформаций (R=1%) Цифрами на рисунках обозначено: 1 - расчет, выполненный с учетом сложного харак- тера нагружения в момент потери устойчивости при показателях степеней р=0.6 и q=1.35 (соответствуют значениям, принятым при решении задачи построения образа процесса нагружения); 2 - расчет при показателях степеней р=1 и q=1; 3 - расчет при показателях сте- пеней р=0.55 и q=1,35; 4 - расчет при р=0.7 и q=1.35; 5 - расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина с учетом разгрузки материала в момент потери устойчивости. Треугольниками отмечены экспериментальные результаты. На рисунке 9 в девиаторной плоскости деформаций показаны зоны устойчивых состоя- ний оболочки. Цифры и условные обозначения соответствуют предыдущим рисункам. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что определяющие соотно- шения гипотезы компланарности и аппроксимации определяющих функций пластичности В.Г. Зубчанинова, учитывающие изменение угла сближения в процессе деформирования, позволяют получить достоверное решение задачи бифуркации круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом нагружении. Рисунок 9. Зоны устойчивых состояний в плоскости Э1  Э3 для оболочек из стали 45 На рассмотренных процессах реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет существенно уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например по теории устойчивости А.А. Ильюшина, которые дают завышенные значения критических напряжений и деформаций. Показатели степеней р и q в аппроксимациях определяющих функций пластичности при сложных докритических процессах не могут приниматься равными р=q=1 и зависят от реализуемой траектории. При этом влияние параметра р на расчетные значения критических напряжений и деформаций проявляется в большей степени, чем изменение параметра q. Расчеты выполнены также для ряда иных траекторий сложного докритического нагружения [3].

About the authors

N. L Okhlopkov

Tver State Technical University

Dr.Eng., Prof.

S. V Cheremnykh

Tver State Technical University

Email: stepan_1986@bk.ru
+7(4822) 52-63-63

References

Supplementary files