Влияние параметров геометрически нелинейной эндохронной теории неупругости на описание процесса релаксации напряжений

Полный текст

В работе [1] были сформулированы принципы построения геометрически нелинейной теории неупругости эндохронного типа и предложены определяющие соотношения пластичности, учитывающие большие деформации и повороты. Впоследствии эта теория была обобщена для учета временных процессов, протекающих в неупругих материалах [2]. В работе [3] с использованием определяющих соотношений геометрически нелинейной эндохронной теории были представлены результаты решения ряда задач ползучести и релаксации. В предлагаемой вниманию читателя статье исследуется влияние параметра, входящего в тензор градиента деформаций, и коэффициента упрочнения на релаксацию напряжений в материале. Рассматривается один из тензорно-параметрических вариантов эндохронной теории неупругости для больших деформаций и поворотов, учитывающих временные эффекты [2]. В безындексной форме записи тензоров определяющие соотношения имеют вид [3]: , , (1) , , , (2) , , (3) , , , (4) , , (5) , . (6) Здесь и - девиатор и шаровая часть тензора деформаций, и - девиатор и шаровая составляющая тензора напряжений, - девиатор параметрического тензора, - аналог деформационного предела текучести, - аналог коэффициента упрочнения (разупрочнения), - параметр эндохронности ( ), - модуль сдвига, - модуль объёмного сжатия, верхний индекс - знак транспонирования, - время. Кроме того, - тензор спина, - ортогональный тензор поворота, - тензор градиента деформаций, - правый тензор удлинения в полярном разложении тензора градиента , - скорость градиента деформаций, - тензор скоростей деформаций. , , , (7) Частный вариант теории (1) - (7) для девиаторов при , и имеет вид: , , (8) . (9) Для исследования процесса релаксации напряжений был выбран градиент деформации в форме: . (10) У такого типа градиента деформации ортогональный тензор поворота и тензор спина имеют следующую структуру: , , . (11) В работе [3] авторы данной публикации анализировали вариант эндохронной теории ползучести для больших деформаций и поворотов с градиентом деформации типа (10) при . Предположим, что тензор скоростей деформации , девиаторы тензоров деформации и напряжений имеют вид: , , . (12) Используя (7) и (10), компоненты тензора скоростей деформации можно связать с компонентами тензора градиента деформации следующими дифференциальными уравнениями: , , (13а) , (13б) , . (13в) Подставляя (11) в выражения для объективных производных (5), используя затем соотношения (1), (2), (4) и вводя обозначения и , получим замкнутую систему дифференциальных определяющих соотношений: , , (14) , , (15) , , (16) , , (17) , , (18) , , (19) , , . (20) Исследование влияния параметров и на изменение напряжений во времени в процессе релаксации материала начинается с активного монотонного нагружения жестким сдвигом, когда , , , . Нагружение продолжается до некоторого значения , где - интенсивность деформаций. После чего деформации фиксируются и наблюдается процесс релаксации напряжений. В численных экспериментах в соотношениях (14) - (20) было принято, что и , то есть . Изменялся «аналог» коэффициента упрочнения (разупрочнения) и параметр , определяющий форму тензора градиента деформации . Рисунок 1. Релаксация осевого и сдвигового напряжения при Рисунок 2. Изменение напряжений в процессе релаксации при Рисунок3. Зависимость напряжений и от времени при и Рисунок 4. Изменение напряжений и во времени при Расчётами установлено, что параметр обладает несколькими достаточно узкими интервалами, внутри которых решение системы определяющих соотношений устойчиво, причём кривые «напряжение~время» абсолютно не зависят от величины параметра во всей области устойчивости решения. Приведённые примеры демонстрируют чёткую зависимость изменения напряжений во времени от коэффициента , позволяя получать широкий спектр форм кривых . Физически неясен рост напряжений во времени при постоянных деформациях (рисунок 3) и смена знака напряжений у «разупрочняющегося» материала (рисунок 4). Физически не реализуемая в экспериментах релаксация напряжений до нуля (рисунок 1) связана с особым случаем нулевого значения параметра упрочнения. Это вытекает из соотношений (14) - (20), которые в геометрически линейном варианте, когда , в одноосном случае с и в отсутствии упрочнения, то есть при преобразуются в уравнение: . (21) Очевидно, что при и происходит процесс «идеальной» релаксации напряжений по закону от до нуля при . И лишь когда , уравнение: , (22) при , и начальных условиях даёт решение: , (23) описывающее процесс релаксации напряжения от «начального» при до «остаточного» при . Замечание 1. В рамках геометрически нелинейной эндохронной теории неупругости (1) - (7), (10), (11) со значениями параметров и процесс релаксации напряжений в материале был рассмотрен в работе [3]. Замечание 2. Обратим внимание на то, что для градиента деформаций (10) значение - особый случай. При нём ортогональный тензор поворота (11) вырождается в единичную матрицу, тензор спина нулевой, тензор скоростей деформаций совпадает с производными деформаций . То есть, таким образом реализуется один из геометрически линейных вариантов определяющих соотношений теории неупругости, учитывающей временные эффекты. В этой ситуации градиент (10) должен быть выбран в иной форме. Результаты такого анализа авторы намерены представить в отдельной публикации.

Об авторах

Ю. И Кадашевич

Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров

Email: math.spbgturp@yandex.ru
д.ф.-м.н. проф; 8(812) 7868660

С. П Помыткин

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Email: kaf54@guap.ru
д.ф.-м-н. доц; 8(812) 7084372

Т. Б Помыткина

Санкт-Петербургский государственный университет

Email: t.pomytkina@spbu.ru
8(812) 4287109

Список литературы

Дополнительные файлы