Параметры подобия и моделирование флаттера цилиндрической оболочки

Аннотация

Исследуются параметры подобия в задаче флаттера цилиндрической оболочки. В качестве математической теории оболочек принята техническая теория в смешанной форме. Для избыточного давления принимается либо формула поршневой теории, либо формула линеаризованной теории потенциального обтекания. Физические условия моделирования получены из равенства параметров подобия модельного и натурного процессов.

Полный текст

Исследование сверхзвукового флаттера упругой круговой цилиндрической оболочки ведутся давно и многими авторами; достижения на различных этапах развития прослеживаются по обзору [1], монографиям [2, 3], статье [4]. Все работы посвящены методам расчета критических параметров, среди которых основным является критическая скорость потока; ни в одной из работ не ставилась задача о параметрах подобия и правилах физического моделирования, другими словами - о теории эксперимента. В последние годы опубликованы работы [5-8] о моделировании флаттера упругих и вязкоупругих пластин. В них получен принципиально новый результат: в некоторых случаях оказалось возможным отказаться от полного геометрического подобия натурной и модельной пластин, т.е. установлено, что масштабы моделирования размеров в плане и по толщине могут быть различными. В предлагаемой работе рассмотрена задача о флаттере упругой цилиндрической оболочки, обтекаемой внутренним или внешним сверхзвуковым потоком газа. В качестве математической теории оболочек принята техническая теория в смешанной форме [9]. Для избыточного давления использована либо линеаризованная теория потенциального обтекания (ЛПТ), либо поршневая теория (ПТ). Предложена упрощённая постановка. Определены безразмерные параметры подобия, их равенство в натурном и модельном процессах доставляет правила физического моделирования в рамках выбранной математической модели флаттера. Уравнение колебаний оболочки Оболочка в цилиндрической системе координат занимает область ; она обтекается сверхзвуковым потоком газа (внутренним или внешним) с невозмущенными параметрами , , , - соответственно давление, плотность, скорость звука, скорость потока. Уравнения технической теории в смешанной форме имеют вид: (1) Здесь , - функции прогибов и усилий, - цилиндрическая жесткость; , , - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки, - её толщина. Нормальное давление представляет собой сумму трех слагаемых: статического давления , силы инерции и избыточного давления . По теории ЛПТ для имеем . (2) Потенциал возмущенного потока подчиняется уравнению: (3) и граничному условию не проницания: , (4) здесь - число Маха. По формуле ПТ для полагаем: . (5) Здесь - показатель политропы газа. Приведем систему (1)-(5) к безразмерному виду. Координаты , отнесем к радиусу , прогиб - к толщине , время - к , , функцию усилий - к , оставим за безразмерными величинами прежние обозначения; в результате из (1) получим систему: (6) Здесь введены обозначения: (7) В случае, когда определяется по формуле ПТ (5), последнее слагаемое справа в первом уравнении (6) примет вид: (8) в котором обозначено: (9) Отнесем потенциал возмущения к , оставив для прежние обозначение, уравнение (3) запишем в безразмерном виде: (10) здесь обозначено: (11) Граничное условие (4) примет вид: (12) Для слагаемого с избыточным давлением в (6) получим в рамках ЛПТ: (13) Здесь введены дополнительные параметры: (14) Параметры подобия Представим себе два процесса - натурный и модельный; под модельным процессом будем подразумевать как правило, лабораторный или промышленный эксперимент. Запишем математическую модель флаттера (ПТ или ЛПТ) для натурного и модельного процессов; решение каждой задач зависит только от безразмерных коэффициентов, следовательно, если соответствующие коэффициенты равны, то решения тождественны (предполагается, что решения существуют и единственны, граничные условия принимаются однородными и не содержащими новых параметров). Это означает, что в соответствующие моменты времени во всех соответствующих точках натуры и модели все безразмерные величины, характеризующие процесс колебаний, равны между собой. Равенства коэффициентов называются условиями подобия, а следствия из них, при определенных дополнительных предположениях, - правилами моделирования или теорией эксперимента. Подчеркнем, что эти правила зависят от принятой математической модели явления. В дальнейшем всем параметрам модельного процесса присвоим индекс , а параметрам натурного процесса - индекс . 1. Модель ПТ. Уравнения (6)-(9) содержат следующие независимые параметры: Из равенств при с необходимостью следует , т.е. равенство , а также . Из условия получаем , а из равенства - соотношение: (15) Оставшиеся условия , приводят соответственно к равенствам (по умолчанию принимаем ): (16) Отношение скоростей звука по теории одномерного потока выражается через отношение давлений , , поэтому исключение из уравнений (15), (16) приводит к нетривиальному условию моделирования: (17) Значения коэффициентов Пуассона конструкционных материалов и сплавов различаются незначительно, поэтому разность не превышает нескольких процентов, поскольку . Правила моделирования, основанные на равенствах (15)-(17) следует признать приближенными; строгое выполнение всех условий приводит к тривиальному случаю: оболочки геометрически подобны, сделаны из одного и того же материала, параметры потоков тождественны. Эксперимент в этом случае, по существу, сводится к проверке математической модели. Более интересен случай, когда натурные условия трудно воспроизвести в модельном процессе. Тогда формулы типа (15)-(17) дадут возможность предсказать (хотя и приближенно) поведение оболочки в натуре по измеренным величинам в эксперименте. 2. Модель ЛПТ. Из системы (6) и соотношений (10)-(14) выделяются безразмерные параметры, среди которых первые пять () те же, что и в предыдущем пункте, остальные - новые: Анализ системы (), аналогичный проделанному выше, приводит к выводу о том, что условия подобия и правила моделирования остаются теми же, что и в предыдущем пункте. Нам представляется, что основная роль в этом выводе принадлежит сложной нелинейной системе (6) уравнений колебаний оболочки. Замечание. В граничные условия на торцах оболочки может входить коэффициент Пуассона; это, как отмечено выше, не скажется на результате. Простейший вариант моделирования В системе (1) сделаем максимальные упрощения. Во втором уравнении опустим квадратную скобку; в первом уравнении действие давления представим в форме осесимметричного безмоментного состояния [10], так что нелинейные слагаемые примут вид: Вместо системы (1) получим: . (18) Для избыточного давления примем формулу ПТ, поэтому будет иметь вид: . (19) Приведем уравнения (18), с учетом выражения (19), к безразмерному виду по правилам, изложенным выше; примем дополнительно , , где , - введенные безразмерные параметры. Система (18) преобразуется к виду: здесь введены обозначения: (20) Коэффициенты , определены в (9). Будем, как и ранее, полагать , ; после этого из набора коэффициентов (20) выделим четыре безразмерных параметра подобия: Запишем равенства и последовательно их проанализируем. 1. , следовательно , радиусы и толщины подобны. 2. , с учетом предыдущего имеем . 3. , получим равенство . 4. , получим равенство . Анализ этих соотношений приводит к следующим правилам моделирования. Как видно, параметр , определяющий длину оболочки , остается свободным, поэтому определим отношение . Тогда из второго соотношения получим: . (21) Размерная (физическая) частота связана с безразмерной соотношением . С учетом (21) отсюда следует: (22) Из третьего равенства получаем: . (23) Четвертое равенство, с учетом соотношения , приводит к правилу моделирования: (24) При организации эксперимента предполагается, что в натурном процессе известны параметры материала и потока. В эксперименте (на модели) находятся значения критических параметров - и , а затем эти значения пересчитываются для натурного объекта по предлагаемым соотношениям. Один из вариантов моделирования (организации эксперимента) может быть таким. Задаются , материал модели, предполагается также известными , , ; из (24) определяются параметры потока , , а из (23) - число и скорость потока . Из формулы (22) находится частота колебаний натурной оболочки по измеренной в эксперименте частоте . Заметим, что упрощенный (и приближенный!) вариант математической модели естественно доставляет более широкие возможности моделирования. Выводы Установлены критерии подобия натурного и модельного процессов в задаче о флаттере цилиндрической оболочки, предложены некоторые возможные параметры моделирования. Физические условия моделирования получены из равенства параметров подобия модельного и натурного процессов. Результаты работы могут оказаться полезными при организации экспериментальных исследований.