Scaling parameters and modeling flutter of a cylindrical shell

Abstract

The similarity parameters in the problem of flutter of a cylindrical shell were studied. As a mathematical theory of shells there was adopted a technical theory in mixed form. For a manometric pressure either formula of piston theory or formula of linearized potential flow theory is accepted. Physical conditions of modeling were derived from the equation of similarity parameters of the model and full-scale processes.

Full Text

Исследование сверхзвукового флаттера упругой круговой цилиндрической оболочки ведутся давно и многими авторами; достижения на различных этапах развития прослеживаются по обзору [1], монографиям [2, 3], статье [4]. Все работы посвящены методам расчета критических параметров, среди которых основным является критическая скорость потока; ни в одной из работ не ставилась задача о параметрах подобия и правилах физического моделирования, другими словами - о теории эксперимента. В последние годы опубликованы работы [5-8] о моделировании флаттера упругих и вязкоупругих пластин. В них получен принципиально новый результат: в некоторых случаях оказалось возможным отказаться от полного геометрического подобия натурной и модельной пластин, т.е. установлено, что масштабы моделирования размеров в плане и по толщине могут быть различными. В предлагаемой работе рассмотрена задача о флаттере упругой цилиндрической оболочки, обтекаемой внутренним или внешним сверхзвуковым потоком газа. В качестве математической теории оболочек принята техническая теория в смешанной форме [9]. Для избыточного давления использована либо линеаризованная теория потенциального обтекания (ЛПТ), либо поршневая теория (ПТ). Предложена упрощённая постановка. Определены безразмерные параметры подобия, их равенство в натурном и модельном процессах доставляет правила физического моделирования в рамках выбранной математической модели флаттера. Уравнение колебаний оболочки Оболочка в цилиндрической системе координат занимает область ; она обтекается сверхзвуковым потоком газа (внутренним или внешним) с невозмущенными параметрами , , , - соответственно давление, плотность, скорость звука, скорость потока. Уравнения технической теории в смешанной форме имеют вид: (1) Здесь , - функции прогибов и усилий, - цилиндрическая жесткость; , , - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки, - её толщина. Нормальное давление представляет собой сумму трех слагаемых: статического давления , силы инерции и избыточного давления . По теории ЛПТ для имеем . (2) Потенциал возмущенного потока подчиняется уравнению: (3) и граничному условию не проницания: , (4) здесь - число Маха. По формуле ПТ для полагаем: . (5) Здесь - показатель политропы газа. Приведем систему (1)-(5) к безразмерному виду. Координаты , отнесем к радиусу , прогиб - к толщине , время - к , , функцию усилий - к , оставим за безразмерными величинами прежние обозначения; в результате из (1) получим систему: (6) Здесь введены обозначения: (7) В случае, когда определяется по формуле ПТ (5), последнее слагаемое справа в первом уравнении (6) примет вид: (8) в котором обозначено: (9) Отнесем потенциал возмущения к , оставив для прежние обозначение, уравнение (3) запишем в безразмерном виде: (10) здесь обозначено: (11) Граничное условие (4) примет вид: (12) Для слагаемого с избыточным давлением в (6) получим в рамках ЛПТ: (13) Здесь введены дополнительные параметры: (14) Параметры подобия Представим себе два процесса - натурный и модельный; под модельным процессом будем подразумевать как правило, лабораторный или промышленный эксперимент. Запишем математическую модель флаттера (ПТ или ЛПТ) для натурного и модельного процессов; решение каждой задач зависит только от безразмерных коэффициентов, следовательно, если соответствующие коэффициенты равны, то решения тождественны (предполагается, что решения существуют и единственны, граничные условия принимаются однородными и не содержащими новых параметров). Это означает, что в соответствующие моменты времени во всех соответствующих точках натуры и модели все безразмерные величины, характеризующие процесс колебаний, равны между собой. Равенства коэффициентов называются условиями подобия, а следствия из них, при определенных дополнительных предположениях, - правилами моделирования или теорией эксперимента. Подчеркнем, что эти правила зависят от принятой математической модели явления. В дальнейшем всем параметрам модельного процесса присвоим индекс , а параметрам натурного процесса - индекс . 1. Модель ПТ. Уравнения (6)-(9) содержат следующие независимые параметры: Из равенств при с необходимостью следует , т.е. равенство , а также . Из условия получаем , а из равенства - соотношение: (15) Оставшиеся условия , приводят соответственно к равенствам (по умолчанию принимаем ): (16) Отношение скоростей звука по теории одномерного потока выражается через отношение давлений , , поэтому исключение из уравнений (15), (16) приводит к нетривиальному условию моделирования: (17) Значения коэффициентов Пуассона конструкционных материалов и сплавов различаются незначительно, поэтому разность не превышает нескольких процентов, поскольку . Правила моделирования, основанные на равенствах (15)-(17) следует признать приближенными; строгое выполнение всех условий приводит к тривиальному случаю: оболочки геометрически подобны, сделаны из одного и того же материала, параметры потоков тождественны. Эксперимент в этом случае, по существу, сводится к проверке математической модели. Более интересен случай, когда натурные условия трудно воспроизвести в модельном процессе. Тогда формулы типа (15)-(17) дадут возможность предсказать (хотя и приближенно) поведение оболочки в натуре по измеренным величинам в эксперименте. 2. Модель ЛПТ. Из системы (6) и соотношений (10)-(14) выделяются безразмерные параметры, среди которых первые пять () те же, что и в предыдущем пункте, остальные - новые: Анализ системы (), аналогичный проделанному выше, приводит к выводу о том, что условия подобия и правила моделирования остаются теми же, что и в предыдущем пункте. Нам представляется, что основная роль в этом выводе принадлежит сложной нелинейной системе (6) уравнений колебаний оболочки. Замечание. В граничные условия на торцах оболочки может входить коэффициент Пуассона; это, как отмечено выше, не скажется на результате. Простейший вариант моделирования В системе (1) сделаем максимальные упрощения. Во втором уравнении опустим квадратную скобку; в первом уравнении действие давления представим в форме осесимметричного безмоментного состояния [10], так что нелинейные слагаемые примут вид: Вместо системы (1) получим: . (18) Для избыточного давления примем формулу ПТ, поэтому будет иметь вид: . (19) Приведем уравнения (18), с учетом выражения (19), к безразмерному виду по правилам, изложенным выше; примем дополнительно , , где , - введенные безразмерные параметры. Система (18) преобразуется к виду: здесь введены обозначения: (20) Коэффициенты , определены в (9). Будем, как и ранее, полагать , ; после этого из набора коэффициентов (20) выделим четыре безразмерных параметра подобия: Запишем равенства и последовательно их проанализируем. 1. , следовательно , радиусы и толщины подобны. 2. , с учетом предыдущего имеем . 3. , получим равенство . 4. , получим равенство . Анализ этих соотношений приводит к следующим правилам моделирования. Как видно, параметр , определяющий длину оболочки , остается свободным, поэтому определим отношение . Тогда из второго соотношения получим: . (21) Размерная (физическая) частота связана с безразмерной соотношением . С учетом (21) отсюда следует: (22) Из третьего равенства получаем: . (23) Четвертое равенство, с учетом соотношения , приводит к правилу моделирования: (24) При организации эксперимента предполагается, что в натурном процессе известны параметры материала и потока. В эксперименте (на модели) находятся значения критических параметров - и , а затем эти значения пересчитываются для натурного объекта по предлагаемым соотношениям. Один из вариантов моделирования (организации эксперимента) может быть таким. Задаются , материал модели, предполагается также известными , , ; из (24) определяются параметры потока , , а из (23) - число и скорость потока . Из формулы (22) находится частота колебаний натурной оболочки по измеренной в эксперименте частоте . Заметим, что упрощенный (и приближенный!) вариант математической модели естественно доставляет более широкие возможности моделирования. Выводы Установлены критерии подобия натурного и модельного процессов в задаче о флаттере цилиндрической оболочки, предложены некоторые возможные параметры моделирования. Физические условия моделирования получены из равенства параметров подобия модельного и натурного процессов. Результаты работы могут оказаться полезными при организации экспериментальных исследований.