Линейная минимаксная фильтрация скалярного случайного процесса при наличии нечеткого возмущения с ограниченной дисперсией в полезной составляющей наблюдения

Полный текст

Введение Данная работа продолжает исследование моделей минимаксной линейной фильтрации в нечеткой случайной среде [1-5]. В [7] был разработан минимаксный фильтр в условиях четкой случайной среды, когда отсутствует достоверная априорная информация о статистических свойствах возмущений. В данной работе обобщается ранее полученный результат на случай присутствия нечеткой помехи, заданной на некотором r-уровневым случайном отрезке множеств нечетких случайных величин. Применяется новый подход (называемый возможностным) который использует аппарат теории нечетких случайных мер и интегралов [3, 8]. Поставленная задача сводится к некоторой эквивалентной задаче линейной минимаксной фильтрации в условиях четко заданной помехи с ограниченной дисперсией с дополнительным ограничением на область сосредоточения ее частот в форме решения проблемы моментов Маркова. Базовые понятия Следуя [1-5] введем необходимые понятия. Пусть - вeроятностное пространство. - множество всех нечетких величин, чьи функции распределения удовлетворяют условиям квазивогнутости и полунепрерывности сверху. - эвклидово пространство с размерностью 1. Если , то - замкнутый случайный интервал. Определение 1. Измеримое отображение : называется случайной нечеткой скалярной ( вещестенной или комплекснозначной) функцией определяемой на пространства элементарных событий в , зависящее от параметра , который интерпретируем как время или частота, такое, что при любом фиксированном , если для - случайный интервал, а именно две случайные величины определенные на . Обозначим через множество нечетких случайных величин. Определение 2. Множеством - уровня нечетких случайных величин называется множество Определение 3. Совокупность нечетких случайных величин при , нечетким случайным процессом с временным интервалом T. Аналогичное определение можно дать нечеткому случайному процессу с дискретным временным интервалом T. Определение 4. Носителем нечеткого случайного процесса называется множество Определение 5. Ковариация случайных нечетких величин , определяется как здесь: - левые и правые границы r-уровневых множеств соответствующих нечетких случайных величин в данный фиксированный момент времени . Определение 6. Математическим ожиданием случайных нечетких величин будет определяться как нечеткая величина такая, что . Определенная таким образом ковариация является четкой величиной. Альтернативный подход к определению моментов предлагается в [4, 5], если ввести меру возможности для нечеткого случайного процесса, однозначно определяемую через распределение возможности. В дальнейшем ограничимся случаем рассмотрения предлагаемого подхода, когда задан случайный интервал области изменения нечеткого случайного процесса с заданным временным интервалом , который, вообще говоря, может быть также нечетким. Ограничимся рассмотрением нечетких случайных процессов вида [6, 11]: , где: , - нечеткая случайная функция от - четкая случайная функция от времени . Постановка задачи Рассмотрим задачу фильтрации непосредственно полезной составляющей , если имеются измерения полезного сигнала в смеси с белым шумом известной интенсивности , . Предполагается, что процесс имеет вид: , (1) где: - известный случайный процесс с заданной спектральной плотностью , а о спектральной плотности процесса известна лишь система моментных неравенств которой она должна удовлетворять, иными словами спектральную плотность из (1) можно представить в виде: , где: (2) - заданный вектор ограничений; - положительный ортант пространства ; - заданные неотрицательные четные по вектор-функции частоты; - заданное подмножество оси частот положительной меры (возможно и бесконечной) > 0. Ниже рассматривается нечеткий аналог минимаксного подхода отыскания седловой точки при ограничениях, наложенных на физическую реализуемость искомого фильтра в нижней полуплоскости у игры фильтрации, - множество интегрируемых по Лебегу вместе с квадратом модуля функций, заданных на измеримом подмножестве действительной прямой. Пространством стратегий первого игрока, стремящегося максимизировать функциональный выигрыш , является множество допустимых спектральных нечетких плотностей , а пространством стратегий второго игрока, стремящегося минимизировать , является множество допустимых ЧХ (частотных характеристик) линейных фильтров - . Если в игре существует седловая точка , то , (3) а - минимаксным фильтром. Отметим, что в большинстве минимаксных задач оценивания (по крайней мере во всех интересных с технической точки зрения задачах) седловые точки существуют. Ниже рассматривается задача фильтрации процесса , являющегося линейным преобразованием процесса s(t) с известной ЧХ . (4) Таким образом может представлять собой различные производные процесса , сам процесс , всевозможные конечные линейные комбинации этих процессов. В предположении, что у игры существует седловая точка имеем с одной стороны - фильтр Винера [7]: , (5) , где: - аналитическая в нижней полуплоскости аддитивная составляющая. Через - обозначена факторизация функции где и аналитические в нижней полуплоскости а и аналитические в верхней полуплоскости и, кроме того, , где * - означает операцию комплексного сопряжения. С другой стороны, является решением проблемы моментов почти всюду по - нечеткая случайная плотность соответсвующая нечеткой спектральной мере , (6) почти всюду по - Априори не всегда известны параметры ограничений . Ниже будет попутно рассмотрен алгоритм практического выбора оценки неизвестного параметра . Алгоритм отыскания наихудшей спектральной плотности в условиях присутствия нечеткого возмущения в полезной составляющей Пусть - стационарный скалярный нечеткий случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией , которая является непрерывной на отрезке, удовлетворяет условиям Дирихле, то есть может быть представима в виде ряда Фурье: , (7) где: - коэффициенты ряда Фурье для ковариационной функции ( вообще говоря нечеткие). Согласно теореме [6], рассматриваемый случайный процесс представим суммой ряда Фурье : , , где: (8) При этом амплитуды гармоник и ( являются некоррелированными нечеткими случайными величинами, имеют нулевое математическое ожидание и дисперсии:: (9) Если воспользоваться формулами Эйлера и ввести нечеткие случайные величины, то нетрудно показать [6], что интенсивность , определенная как нечеткая полу сумма квадратов амплитуд гармоник и в пределе, равна нечеткой спектральной плотности , , , то есть реализуется переход от дискретного спектра к непрерывному. Следует заметить, что так определенная нечеткая случайная мера - обладает свойством супер аддитивной [8] нечеткой меры. Полученный результат является нечетким аналогом “средней энергии” для обычного стационарного скалярного случайного процесса. При этом если исходный процесс является вещественным, то: (10) и мы можем в качестве первого приближения взять эту величину как приближенную верхнюю оценку параметров в моментных ограничениях (3.2). В итоге имеем экстремальную задачу в форме моментов Маркова [10, 11] при линейных ограничениях на нечеткую спектральную плотность . В предположении, что выполнены условия 1-4 теоремы П.42 [7] , в этом случае множество решений есть непустой выпуклый компакт и можно показать аналогично [7] , что необходимыми и достаточными условиями оптимальности нечеткой меры в задаче (3.6) является существование такого вектора что (11) сосредоточена на множестве ; при . Здесь < , > - скалярное произведение в евклидовом пространстве , и - измеримые относительно меры Лебега функции. Пример Пусть полезная составляющая подчиняется уравнению: где: - нечеткое возмущение c нулевым средним и ограниченной дисперсией Очевидно, что условия 1-4 выполнены. Требуется оценить c учетом области сосредоточения возмущения - . В этом случае и система соотношений необходимых и достаточных условий оптимальности наименее благоприятной нечеткой спектральной плотности процесса - на области сосредоточения - сводится к нелинейному уравнению: , где: . То есть . Из выражения для , где: , следует, что , а спектр наихудшего нечеткого удовлетворяет уравнению , а ЧХ фильтра, как это следует из выражения для оптимального фильтра (3.5) имеет вид: Заключение В работе специфицирован линейный минимаксный метод для решения эквивалентного аналога задачи минимаксной линейной фильтрации в условиях присутствия нечетких случайных данных, когда отсутствует достоверная априорная информация о статистических свойствах возмущений в данных скалярного измеряемого сигнала. В плане дальнейших исследований предполагается его специфицировать и применить для решения нечеткой задачи интерполяции, фильтрации и экстраполяции произвольно измеряемого сигнала.

Об авторах

И. Г Сидоров

Университет машиностроения

Email: igor8i@nm.ru
к.т.н.; 8 (495) 223-05-23

Список литературы

Дополнительные файлы