Linear minimax filtering of scalar random process at presence of fuzzy disturbance with limited variance in net component of observation

Full Text

Введение Данная работа продолжает исследование моделей минимаксной линейной фильтрации в нечеткой случайной среде [1-5]. В [7] был разработан минимаксный фильтр в условиях четкой случайной среды, когда отсутствует достоверная априорная информация о статистических свойствах возмущений. В данной работе обобщается ранее полученный результат на случай присутствия нечеткой помехи, заданной на некотором r-уровневым случайном отрезке множеств нечетких случайных величин. Применяется новый подход (называемый возможностным) который использует аппарат теории нечетких случайных мер и интегралов [3, 8]. Поставленная задача сводится к некоторой эквивалентной задаче линейной минимаксной фильтрации в условиях четко заданной помехи с ограниченной дисперсией с дополнительным ограничением на область сосредоточения ее частот в форме решения проблемы моментов Маркова. Базовые понятия Следуя [1-5] введем необходимые понятия. Пусть - вeроятностное пространство. - множество всех нечетких величин, чьи функции распределения удовлетворяют условиям квазивогнутости и полунепрерывности сверху. - эвклидово пространство с размерностью 1. Если , то - замкнутый случайный интервал. Определение 1. Измеримое отображение : называется случайной нечеткой скалярной ( вещестенной или комплекснозначной) функцией определяемой на пространства элементарных событий в , зависящее от параметра , который интерпретируем как время или частота, такое, что при любом фиксированном , если для - случайный интервал, а именно две случайные величины определенные на . Обозначим через множество нечетких случайных величин. Определение 2. Множеством - уровня нечетких случайных величин называется множество Определение 3. Совокупность нечетких случайных величин при , нечетким случайным процессом с временным интервалом T. Аналогичное определение можно дать нечеткому случайному процессу с дискретным временным интервалом T. Определение 4. Носителем нечеткого случайного процесса называется множество Определение 5. Ковариация случайных нечетких величин , определяется как здесь: - левые и правые границы r-уровневых множеств соответствующих нечетких случайных величин в данный фиксированный момент времени . Определение 6. Математическим ожиданием случайных нечетких величин будет определяться как нечеткая величина такая, что . Определенная таким образом ковариация является четкой величиной. Альтернативный подход к определению моментов предлагается в [4, 5], если ввести меру возможности для нечеткого случайного процесса, однозначно определяемую через распределение возможности. В дальнейшем ограничимся случаем рассмотрения предлагаемого подхода, когда задан случайный интервал области изменения нечеткого случайного процесса с заданным временным интервалом , который, вообще говоря, может быть также нечетким. Ограничимся рассмотрением нечетких случайных процессов вида [6, 11]: , где: , - нечеткая случайная функция от - четкая случайная функция от времени . Постановка задачи Рассмотрим задачу фильтрации непосредственно полезной составляющей , если имеются измерения полезного сигнала в смеси с белым шумом известной интенсивности , . Предполагается, что процесс имеет вид: , (1) где: - известный случайный процесс с заданной спектральной плотностью , а о спектральной плотности процесса известна лишь система моментных неравенств которой она должна удовлетворять, иными словами спектральную плотность из (1) можно представить в виде: , где: (2) - заданный вектор ограничений; - положительный ортант пространства ; - заданные неотрицательные четные по вектор-функции частоты; - заданное подмножество оси частот положительной меры (возможно и бесконечной) > 0. Ниже рассматривается нечеткий аналог минимаксного подхода отыскания седловой точки при ограничениях, наложенных на физическую реализуемость искомого фильтра в нижней полуплоскости у игры фильтрации, - множество интегрируемых по Лебегу вместе с квадратом модуля функций, заданных на измеримом подмножестве действительной прямой. Пространством стратегий первого игрока, стремящегося максимизировать функциональный выигрыш , является множество допустимых спектральных нечетких плотностей , а пространством стратегий второго игрока, стремящегося минимизировать , является множество допустимых ЧХ (частотных характеристик) линейных фильтров - . Если в игре существует седловая точка , то , (3) а - минимаксным фильтром. Отметим, что в большинстве минимаксных задач оценивания (по крайней мере во всех интересных с технической точки зрения задачах) седловые точки существуют. Ниже рассматривается задача фильтрации процесса , являющегося линейным преобразованием процесса s(t) с известной ЧХ . (4) Таким образом может представлять собой различные производные процесса , сам процесс , всевозможные конечные линейные комбинации этих процессов. В предположении, что у игры существует седловая точка имеем с одной стороны - фильтр Винера [7]: , (5) , где: - аналитическая в нижней полуплоскости аддитивная составляющая. Через - обозначена факторизация функции где и аналитические в нижней полуплоскости а и аналитические в верхней полуплоскости и, кроме того, , где * - означает операцию комплексного сопряжения. С другой стороны, является решением проблемы моментов почти всюду по - нечеткая случайная плотность соответсвующая нечеткой спектральной мере , (6) почти всюду по - Априори не всегда известны параметры ограничений . Ниже будет попутно рассмотрен алгоритм практического выбора оценки неизвестного параметра . Алгоритм отыскания наихудшей спектральной плотности в условиях присутствия нечеткого возмущения в полезной составляющей Пусть - стационарный скалярный нечеткий случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией , которая является непрерывной на отрезке, удовлетворяет условиям Дирихле, то есть может быть представима в виде ряда Фурье: , (7) где: - коэффициенты ряда Фурье для ковариационной функции ( вообще говоря нечеткие). Согласно теореме [6], рассматриваемый случайный процесс представим суммой ряда Фурье : , , где: (8) При этом амплитуды гармоник и ( являются некоррелированными нечеткими случайными величинами, имеют нулевое математическое ожидание и дисперсии:: (9) Если воспользоваться формулами Эйлера и ввести нечеткие случайные величины, то нетрудно показать [6], что интенсивность , определенная как нечеткая полу сумма квадратов амплитуд гармоник и в пределе, равна нечеткой спектральной плотности , , , то есть реализуется переход от дискретного спектра к непрерывному. Следует заметить, что так определенная нечеткая случайная мера - обладает свойством супер аддитивной [8] нечеткой меры. Полученный результат является нечетким аналогом “средней энергии” для обычного стационарного скалярного случайного процесса. При этом если исходный процесс является вещественным, то: (10) и мы можем в качестве первого приближения взять эту величину как приближенную верхнюю оценку параметров в моментных ограничениях (3.2). В итоге имеем экстремальную задачу в форме моментов Маркова [10, 11] при линейных ограничениях на нечеткую спектральную плотность . В предположении, что выполнены условия 1-4 теоремы П.42 [7] , в этом случае множество решений есть непустой выпуклый компакт и можно показать аналогично [7] , что необходимыми и достаточными условиями оптимальности нечеткой меры в задаче (3.6) является существование такого вектора что (11) сосредоточена на множестве ; при . Здесь < , > - скалярное произведение в евклидовом пространстве , и - измеримые относительно меры Лебега функции. Пример Пусть полезная составляющая подчиняется уравнению: где: - нечеткое возмущение c нулевым средним и ограниченной дисперсией Очевидно, что условия 1-4 выполнены. Требуется оценить c учетом области сосредоточения возмущения - . В этом случае и система соотношений необходимых и достаточных условий оптимальности наименее благоприятной нечеткой спектральной плотности процесса - на области сосредоточения - сводится к нелинейному уравнению: , где: . То есть . Из выражения для , где: , следует, что , а спектр наихудшего нечеткого удовлетворяет уравнению , а ЧХ фильтра, как это следует из выражения для оптимального фильтра (3.5) имеет вид: Заключение В работе специфицирован линейный минимаксный метод для решения эквивалентного аналога задачи минимаксной линейной фильтрации в условиях присутствия нечетких случайных данных, когда отсутствует достоверная априорная информация о статистических свойствах возмущений в данных скалярного измеряемого сигнала. В плане дальнейших исследований предполагается его специфицировать и применить для решения нечеткой задачи интерполяции, фильтрации и экстраполяции произвольно измеряемого сигнала.

About the authors

I. G Sidorov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: igor8i@nm.ru
Ph.D.; +7 495 223-05-23

References

Supplementary files