Уравнения процесса нагружения пологих цилиндрических оболочек при двустороннем сжатии

Аннотация

Получены уравнения процесса нагружения прямоугольных в плане пологих оболочек при двустороннем сжатии при их расчете вариационными методами. Задача решена с учетом геометрической нелинейности.

Полный текст

Введение В работе рассматривается пологая цилиндрическая панель (рисунок 1), находящаяся под действием равномерно распределенных нагрузок px и py, приложенных с эксцентриситетом zp. Панель имеет в плане прямоугольную форму с размерами a и b. Задача решается в перемещениях с учетом геометрической нелинейности. Целью работы является получение уравнений процесса нагружения панели. Рисунок 1. Расчетная схема панели Постановка задачи Определение перемещений производим на основании предложенной методики [2]. Требуется найти функции, соответствующие общему решению бигармонического уравнения для функции перемещений . (1) В этом уравнении: , ; a, b – размеры оболочки в плане; , – кривизны оболочки; буквы после запятой указывают, по какой координате производится дифференцирование функции. Кроме того, введены безразмерные координаты: , , , . При двухстороннем сжатии панели общее решение этого уравнения можно записать в виде . (2) Здесь – частное решение уравнения (1); , – постоянные коэффициенты, подлежащие определению. При двухстороннем сжатии панели двоякой кривизны выражение для прогиба примем в виде: . (3) В этом выражении ; ; , , , , . Функция соответствует выполнению граничных условий , , т.е. (рисунок 2а) сжатию панели на поперечных краях равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью и изгибу моментами и , которые могут быть разными и по величине, и по направлению. Здесь – координата приложения нагрузки . а) б) Рисунок 2. Нагрузка на поперечных (а) и на продольных (б) краях с эксцентриситетом и ее эквивалент Функция соответствует выполнению граничных условий , , т.е. (рис. 2б) сжатию панели на продольных краях равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью и изгибу моментами с интенсивностью , одинаковыми и по величине, и по направлению. ; ; ; ; ; . Таким образом, и – это средние значения продольных усилий в процессе нагружения, – цилиндрическая жесткость. Теперь нужно найти частное решение неоднородного бигармонического уравнения: . При принятом выражении для прогиба частное решение содержит более двухсот слагаемых и будет иметь чрезвычайно громоздкий вид. Учитывая, что нам нужно знать структуру функций, входящих в выражения для касательных перемещений только для определения этих перемещений, используем своеобразный «принцип суперпозиции». Вводим в рассмотрение функции: ; ; ; . (4) При принятом выражении для прогиба (3): . Функции и содержат две пары слагаемых: первая пара слагаемых в процессе нагружения меняется не только количественно, но и качественно (за счет изменения параметров и ); вторая пара слагаемых меняется только количественно (кривизны и в процессе нагружения не меняется). При введенных функциях (4): . Выражение для прогиба содержит четыре слагаемых, поэтому, как и для линейной правой части, определяем функцию перемещений от каждого слагаемого в отдельности, снабжаем все полученные слагаемые неопределенным коэффициентом и складываем их, в результате получим необходимую функцию перемещений. Для упрощения дальнейших выкладок вводим такие обозначения: , , , , ; , , , . Рассмотрим случай , т.е. . Это случай, когда на поперечных краях действуют моменты, одинаковые по величине и по направлению. Считаем справедливыми условия , , при малых и (). Тогда получим: ; . В этом случае удобно ввести такие функции: ; ; ; . Можно записать: ; . Имеет смысл ввести функции: ; ;; . В случае симметричной поперечной деформации (один член ряда) выражение для прогиба берем в виде: . Вводим обозначения: , , . Уравнение (1) примет вид: . (5) Вводим величину: , или . Общее решение уравнения (5) при двухстороннем сжатии панели записывается в виде (2). Использование точного решения уравнения (5) приводит к чрезвычайно громоздким уравнениям вычислительного процесса. Поэтому, следуя общей методологии, снабжаем каждое слагаемое точного решения неопределенным коэффициентом; при исследовании процесса нагружения введенные коэффициенты определяются на основании вариационного уравнения Лагранжа. На основании этого общее решение уравнения (5) запишем в виде: Введение множителя приводит к тому, что коэффициенты и являются безразмерными. Заменим неопределенными коэффициентами множители во вторых производных, которые сложным образом зависят от параметра , поскольку именно от вторых производных зависят деформации и перемещения. Пусть: ; . Тогда согласно [2] ; ; ; ; ; ; ; ; . (6) Рассмотрим случай, когда перемещения краев панели симметричны относительно осей ее симметрии, т.е. ; . В этом случае принимаем: ; ; ; . Деформации определяются так: ; ; . (7) Таким образом, линейные деформации остаются такими же, как и в исходном случае; меняются только угловые деформации. ; . (8) В результате получаем: ; . Таково симметричное перемещение в направлении оси x (в продольном направлении) и симметричное перемещение в направлении оси y (в поперечном направлении). Из (7) с учетом (8) следует: ; ; . Таким образом, деформации остаются без изменения. Введем обозначения: ; ; ; ; . (9) Взаимное удаление точек, расположенных на продольных и поперечных краях, будет таким ; (10) (11) Взаимное удаление угловых точек, расположенных на краях панели, определяется так ; (12) (13) Известно, что вариационные методы позволяют эффективно получать приближенные решения дифференциальных уравнений с точностью, достаточной для инженерных расчетов. [1] Систему разрешающих уравнений получим на основании вариационного уравнения Лагранжа: , (14) где: – работа внутренних сил на возможных перемещениях; (15) – работа внешних сил на возможных перемещениях. В (15) стоят минусы потому, что нагрузка сжимающая. По закону Гука внутренние усилия связаны с деформациями и кривизнами следующим образом. Нормальные и сдвигающие силы: ; ; . (16) Изгибающие и крутящие моменты определяются по формулам: ; ; . (17) В этих уравнениях: – жесткость оболочки на растяжение-сжатие; Е – модуль продольной упругости; h – толщина оболочки. Вводим полусуммы и полуразности деформаций и кривизн: ; ; ; . Отсюда следует: ; ; ; . (18) Подставив (18) в (16) и (17), и приняв ; ; ; ; получим: ; ; ; . Взаимные удаления точек, расположенных на краях панели, определяются по формулам (10), (11). Для деформаций , получаем выражения: ; . Где функция: ; ; ; ; . (19) Для деформации сдвига получаем: . Выражения для кривизн используем в виде: ; ; . Вводим обозначения: ; . (20) Результаты С учетом всего изложенного выражения для и подставляем в вариационное уравнение Лагранжа (14) и приравниваем выражения при вариациях одинаковых коэффициентов. В результате получаем интегральные условия минимума полной потенциальной энергии деформации панели ; ; (21) . (22) Уравнение (22) будет служить для определения параметра . . (23) Уравнение (23) будет служить для определения параметра . . (24) Из уравнения (24) будет определяться параметр . В результате имеем пять уравнений, а неизвестных у нас семь: , , , , , , . В качестве двух дополнительных уравнений принимаем взаимное удаление угловых точек и , расположенных на краях оболочки и определяемых по формулам (12), (13). Пусть , , т.е. угловые точки сближаются. Тогда получим: ; (25) . (26) Из этих уравнений будем определять и . Параметр , характеризующий сближение угловых точек, будем принимать за параметр прослеживания процесса нагружения панели. Складывая и вычитая уравнения (21), получим ; . (27) Эти уравнения будем использовать для определения и . Параметры , определяются по формулам (20); параметры , , , – по формулам (9); параметры , , , – по формулам (19). Заключение Система уравнений (22)-(27) является существенно нелинейной. Объясняется это не только тем, что неизвестные коэффициенты входят в них в виде различных степеней и произведений. Если оболочка работает за пределом упругости, то функциями координат ее точек становятся пластические модули и коэффициент Пуассона. Кроме того, процесс нагружения зависит от параметра , от которого существенно нелинейно зависят коэффициенты уравнений. Полученная система уравнений решается по шагам с использованием в пределах каждого шага метода итераций для уточнения решения. При этом в начале каждого шага и каждой итерации коэффициенты системы уравнений берутся из предыдущего шага или предыдущей итерации, это позволяет при записи системы уравнений в приращениях считать эти коэффициенты постоянными.