The equations of the loading process of shallow cylindrical shells under bilateral compression

Abstract

The equations of the loading process in terms of rectangular shallow shells with bilateral compression when calculating the variational methods are derived. The problem is solved in view of geometrical non-linearity.

Full Text

Введение В работе рассматривается пологая цилиндрическая панель (рисунок 1), находящаяся под действием равномерно распределенных нагрузок px и py, приложенных с эксцентриситетом zp. Панель имеет в плане прямоугольную форму с размерами a и b. Задача решается в перемещениях с учетом геометрической нелинейности. Целью работы является получение уравнений процесса нагружения панели. Рисунок 1. Расчетная схема панели Постановка задачи Определение перемещений производим на основании предложенной методики [2]. Требуется найти функции, соответствующие общему решению бигармонического уравнения для функции перемещений . (1) В этом уравнении: , ; a, b – размеры оболочки в плане; , – кривизны оболочки; буквы после запятой указывают, по какой координате производится дифференцирование функции. Кроме того, введены безразмерные координаты: , , , . При двухстороннем сжатии панели общее решение этого уравнения можно записать в виде . (2) Здесь – частное решение уравнения (1); , – постоянные коэффициенты, подлежащие определению. При двухстороннем сжатии панели двоякой кривизны выражение для прогиба примем в виде: . (3) В этом выражении ; ; , , , , . Функция соответствует выполнению граничных условий , , т.е. (рисунок 2а) сжатию панели на поперечных краях равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью и изгибу моментами и , которые могут быть разными и по величине, и по направлению. Здесь – координата приложения нагрузки . а) б) Рисунок 2. Нагрузка на поперечных (а) и на продольных (б) краях с эксцентриситетом и ее эквивалент Функция соответствует выполнению граничных условий , , т.е. (рис. 2б) сжатию панели на продольных краях равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью и изгибу моментами с интенсивностью , одинаковыми и по величине, и по направлению. ; ; ; ; ; . Таким образом, и – это средние значения продольных усилий в процессе нагружения, – цилиндрическая жесткость. Теперь нужно найти частное решение неоднородного бигармонического уравнения: . При принятом выражении для прогиба частное решение содержит более двухсот слагаемых и будет иметь чрезвычайно громоздкий вид. Учитывая, что нам нужно знать структуру функций, входящих в выражения для касательных перемещений только для определения этих перемещений, используем своеобразный «принцип суперпозиции». Вводим в рассмотрение функции: ; ; ; . (4) При принятом выражении для прогиба (3): . Функции и содержат две пары слагаемых: первая пара слагаемых в процессе нагружения меняется не только количественно, но и качественно (за счет изменения параметров и ); вторая пара слагаемых меняется только количественно (кривизны и в процессе нагружения не меняется). При введенных функциях (4): . Выражение для прогиба содержит четыре слагаемых, поэтому, как и для линейной правой части, определяем функцию перемещений от каждого слагаемого в отдельности, снабжаем все полученные слагаемые неопределенным коэффициентом и складываем их, в результате получим необходимую функцию перемещений. Для упрощения дальнейших выкладок вводим такие обозначения: , , , , ; , , , . Рассмотрим случай , т.е. . Это случай, когда на поперечных краях действуют моменты, одинаковые по величине и по направлению. Считаем справедливыми условия , , при малых и (). Тогда получим: ; . В этом случае удобно ввести такие функции: ; ; ; . Можно записать: ; . Имеет смысл ввести функции: ; ;; . В случае симметричной поперечной деформации (один член ряда) выражение для прогиба берем в виде: . Вводим обозначения: , , . Уравнение (1) примет вид: . (5) Вводим величину: , или . Общее решение уравнения (5) при двухстороннем сжатии панели записывается в виде (2). Использование точного решения уравнения (5) приводит к чрезвычайно громоздким уравнениям вычислительного процесса. Поэтому, следуя общей методологии, снабжаем каждое слагаемое точного решения неопределенным коэффициентом; при исследовании процесса нагружения введенные коэффициенты определяются на основании вариационного уравнения Лагранжа. На основании этого общее решение уравнения (5) запишем в виде: Введение множителя приводит к тому, что коэффициенты и являются безразмерными. Заменим неопределенными коэффициентами множители во вторых производных, которые сложным образом зависят от параметра , поскольку именно от вторых производных зависят деформации и перемещения. Пусть: ; . Тогда согласно [2] ; ; ; ; ; ; ; ; . (6) Рассмотрим случай, когда перемещения краев панели симметричны относительно осей ее симметрии, т.е. ; . В этом случае принимаем: ; ; ; . Деформации определяются так: ; ; . (7) Таким образом, линейные деформации остаются такими же, как и в исходном случае; меняются только угловые деформации. ; . (8) В результате получаем: ; . Таково симметричное перемещение в направлении оси x (в продольном направлении) и симметричное перемещение в направлении оси y (в поперечном направлении). Из (7) с учетом (8) следует: ; ; . Таким образом, деформации остаются без изменения. Введем обозначения: ; ; ; ; . (9) Взаимное удаление точек, расположенных на продольных и поперечных краях, будет таким ; (10) (11) Взаимное удаление угловых точек, расположенных на краях панели, определяется так ; (12) (13) Известно, что вариационные методы позволяют эффективно получать приближенные решения дифференциальных уравнений с точностью, достаточной для инженерных расчетов. [1] Систему разрешающих уравнений получим на основании вариационного уравнения Лагранжа: , (14) где: – работа внутренних сил на возможных перемещениях; (15) – работа внешних сил на возможных перемещениях. В (15) стоят минусы потому, что нагрузка сжимающая. По закону Гука внутренние усилия связаны с деформациями и кривизнами следующим образом. Нормальные и сдвигающие силы: ; ; . (16) Изгибающие и крутящие моменты определяются по формулам: ; ; . (17) В этих уравнениях: – жесткость оболочки на растяжение-сжатие; Е – модуль продольной упругости; h – толщина оболочки. Вводим полусуммы и полуразности деформаций и кривизн: ; ; ; . Отсюда следует: ; ; ; . (18) Подставив (18) в (16) и (17), и приняв ; ; ; ; получим: ; ; ; . Взаимные удаления точек, расположенных на краях панели, определяются по формулам (10), (11). Для деформаций , получаем выражения: ; . Где функция: ; ; ; ; . (19) Для деформации сдвига получаем: . Выражения для кривизн используем в виде: ; ; . Вводим обозначения: ; . (20) Результаты С учетом всего изложенного выражения для и подставляем в вариационное уравнение Лагранжа (14) и приравниваем выражения при вариациях одинаковых коэффициентов. В результате получаем интегральные условия минимума полной потенциальной энергии деформации панели ; ; (21) . (22) Уравнение (22) будет служить для определения параметра . . (23) Уравнение (23) будет служить для определения параметра . . (24) Из уравнения (24) будет определяться параметр . В результате имеем пять уравнений, а неизвестных у нас семь: , , , , , , . В качестве двух дополнительных уравнений принимаем взаимное удаление угловых точек и , расположенных на краях оболочки и определяемых по формулам (12), (13). Пусть , , т.е. угловые точки сближаются. Тогда получим: ; (25) . (26) Из этих уравнений будем определять и . Параметр , характеризующий сближение угловых точек, будем принимать за параметр прослеживания процесса нагружения панели. Складывая и вычитая уравнения (21), получим ; . (27) Эти уравнения будем использовать для определения и . Параметры , определяются по формулам (20); параметры , , , – по формулам (9); параметры , , , – по формулам (19). Заключение Система уравнений (22)-(27) является существенно нелинейной. Объясняется это не только тем, что неизвестные коэффициенты входят в них в виде различных степеней и произведений. Если оболочка работает за пределом упругости, то функциями координат ее точек становятся пластические модули и коэффициент Пуассона. Кроме того, процесс нагружения зависит от параметра , от которого существенно нелинейно зависят коэффициенты уравнений. Полученная система уравнений решается по шагам с использованием в пределах каждого шага метода итераций для уточнения решения. При этом в начале каждого шага и каждой итерации коэффициенты системы уравнений берутся из предыдущего шага или предыдущей итерации, это позволяет при записи системы уравнений в приращениях считать эти коэффициенты постоянными.