Решение задачи бифуркации цилиндрической оболочки с учетом сложного характера деформирования в момент потери устойчивости при сложном докритическом нагружении

Полный текст

Решение задачи строится на основе теории неупругих систем В.Г. Зубчанинова. Используется условие несжимаемости материала и условие однородности напряженного состояния в оболочке до момента потери устойчивости. Задача решается в геометрически линейной постановке. Для решения задачи бифуркации оболочки при сложном комбинированном докритическом нагружении в каждой точке траектории деформации необходимо знать значения компонент напряженного состояния. Таким образом, задача состоит из двух частей: построение образа процесса нагружения материала и собственно решение задачи бифуркации. Уравнения связи напряжений и деформаций в момент потери устойчивости оболочки и при построении образа процесса нагружения материала принимаем в соответствии с определяющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [2] , (1) где: ; ; ; - компоненты тензора-девиатора напряжений; - компоненты тензора-девиатора деформаций. Здесь , - определяющие функции пластичности, - угол сближения (), длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает диффиринцирование по обобщенному параметру времени . Для определяющих функций пластичности и принимаем аппроксимации, предложенные В.Г.Зубчаниновым [1]. , (2) где: , , - модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответственно. Для определения угла сближения имеем: , (3) где: - модуль вектора напряжений, - кривизна траектории. Уравнения (1) и (3) имеют вид уравнений задачи Коши, которую решаем методом Рунге-Кутта. Зависимость полагаем универсальной для простого нагружения. За параметр обобщенного времени t на участках сложной траектории деформирования принимаются различные, монотонно возрастающие параметры процесса. Таким образом, в каждой точке траектории деформаций определяем компоненты напряженного состояния и далее решаем бифуркационную задачу. Цилиндрическую оболочку считаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. Решение задачи бифуркации сводим к решению задачи о собственных числах [1]. В результате окончательно получаем систему алгебраических уравнений: , (4) где: , (5) где - гибкость оболочки. Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн m, n изогнутого состояния вычислить критическую гибкость оболочки i в зависимости от значения модуля вектора напряжений в момент потери устойчивости. Эксперименты показывают [1], что в момент потери устойчивости пластин и оболочек происходит излом траекторий деформирования, т.е. процесс потери устойчивости реализуется в условиях сложного нагружения материала. Для определяющих функций пластичности и принимаем аппроксимации В.Г. Зубчанинова (2) [1]. В большинстве выполненных ранее решений сложное нагружение оболочки в момент потери устойчивости учитывалось в упрощенной постановке. Полагалось, что в зоне пластической догрузки , в зоне упругой разгрузки и искалась координата границы раздела данных зон. В предлагаемом варианте решения задачи функции пластичности и изменяются непрерывно, в зависимости от и . Координату границы раздела зон определять нет необходимости, интегралы и в (5) определяются численно по методу Симпсона. При этом оболочка по толщине разбивается на 20 слоев (дальнейшее увеличение числа слоев, как показывают расчеты, не приводит к существенному уточнению решения). В качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чистопластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. В этом случае , тогда интегралы , (5) принимают значения [1] (6) где - параметр пластичности А.А.Ильюшина, - параметр разупрочнения материала. При известных с учетом (6) можно вычислить критическую гибкость оболочки в нулевом приближении . (7) Затем в нулевом приближении находим и определяем параметры деформаций , , , из уравнений [1] . (8) Далее в первом приближении вычисляем для каждого сечения оболочки параметр излома траектории , скорость деформаций (9) где: (10) (11) Далее численно определяем значения интегралов и , вычисляем , и рассчитываем невязку по параметру : . В случае, если на данном шаге больше некоторого малого наперед заданного , методом половинного деления вводим корректуру в . Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока невязка будет меньше . Расчеты выполнены также на основе теории устойчивости А.А.Ильюшина, в которой используются определяющие соотношения теории квазипростых процессов [1] Расчеты сопоставлены с экспериментальными результатами, полученными на автоматизированном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории кафедры «Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета [3]. Эксперименты реализованы на тонкостенных круговых цилиндрических оболочках, изготовленных из стали 45. В качестве примера рассмотрены трехзвенные траектории, представляющие собой: растяжение до заданного уровня R на первом звене; 1,25 витка траектории постоянной кривизны радиуса R на втором звене; сжатие до потери устойчивости при поддержании постоянного уровня деформации кручения Э3 на третьем звене (рисунок 1). Расчеты выполнены для нескольких процессов при R = 0.5, 1 и 1.5 %. При данных параметрах процесса потеря устойчивости оболочки на криволинейной части траектории не происходит. Показатели степеней p и q, входящие в состав аппроксимаций [2], определяющих функций пластичности при теоретическом построении образа процесса нагружения материала, принимались р=0.6 и q=1.35. Рисунок 1. Траектории деформирования образцов из стали 45: R – радиус дуги окружности На рисунках 2-7 приведены графики критических параметров напряжений и деформаций, построенные как огибающие кривых устойчивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 2. Критические параметры напряжений (R=0,5%) Рисунок 3. Критические параметры деформаций (R=0,5%) Рисунок 4. Критические параметры напряжений (R=1%) Рисунок 5. Критические параметры деформаций (R=1%) Рисунок 6. Критические параметры напряжений (R=1,5%) Рисунок 7. Критические параметры деформаций (R=1,5%) Цифрами на рисунках обозначено: 1 – расчет, выполненный с учетом сложного характера нагружения в момент потери устойчивости при показателях степеней р=0.6 и q=1.35 ( соответствуют значениям, принятым при решении задачи построения образа процесса нагружения); 2 – расчет при показателях степеней р=1 и q=1; 3 – расчет при показателях степеней р=0.55 и q=1,35; 4 – расчет при р=0.7 и q=1.35; 5 - расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина с учетом разгрузки материала в момент потери устойчивости. Треугольниками отмечены экспериментальные результаты. На рисунке 8 в девиаторной плоскости деформаций показаны зоны устойчивых состояний оболочки. Цифры и условные обозначения соответствуют предыдущим рисункам. Рисунок 8. Зоны устойчивых состояний в плоскости для оболочек из стали 45 Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что определяющие соотношения гипотезы компланарности и аппроксимации определяющих функций пластичности В.Г.Зубчанинова, учитывающие изменение угла сближения в процессе деформирования (2), позволяют получить достоверное решение задачи бифуркации круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом нагружении. На рассмотренных процессах реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет существенно уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например, по теории устойчивости А.А. Ильюшина, которые дают завышенные значения критических напряжений и деформаций. Показатели степеней р и q в аппроксимациях определяющих функций пластичности (2) при сложных докритических процессах не могут приниматься равными р=q=1, как например в [4], и зависят от реализуемой траектории. При этом влияние параметра р на расчетные значения критических напряжений и деформаций проявляется в большей степени, чем изменение параметра q. На рассматриваемых траекториях для параметров р и q аппроксимаций (2) в решении задачи устойчивости можно принимать значения, полученные при решении задачи построения образа процесса нагружения материала. Расчеты выполнены также для ряда иных траекторий сложного докритического нагружения [3].

Об авторах

Н. Л Охлопков

ТвГТУ

д.т.н. проф.; 8(4822) 52-63-63

С. А Соколов

ТвГТУ

Email: stepan_1986@bk.ru
к.т.н. доц.; 8(4822) 52-63-63

С. В Черемных

ТвГТУ

Email: stepan_1986@bk.ru
8(4822) 52-63-63

М. Ю Александров

ООО "Стандарт проект"

к.т.н. доц.; 8(4822) 52-63-63

Список литературы

Дополнительные файлы