Solution of the problem of bifurcation of a cylindrical shell considering the complex nature of deformation at the time of loss of stability under complex loading

Full Text

Решение задачи строится на основе теории неупругих систем В.Г. Зубчанинова. Используется условие несжимаемости материала и условие однородности напряженного состояния в оболочке до момента потери устойчивости. Задача решается в геометрически линейной постановке. Для решения задачи бифуркации оболочки при сложном комбинированном докритическом нагружении в каждой точке траектории деформации необходимо знать значения компонент напряженного состояния. Таким образом, задача состоит из двух частей: построение образа процесса нагружения материала и собственно решение задачи бифуркации. Уравнения связи напряжений и деформаций в момент потери устойчивости оболочки и при построении образа процесса нагружения материала принимаем в соответствии с определяющими соотношениями гипотезы компланарности, которые в скоростях принимают вид [2] , (1) где: ; ; ; - компоненты тензора-девиатора напряжений; - компоненты тензора-девиатора деформаций. Здесь , - определяющие функции пластичности, - угол сближения (), длина дуги траектории деформации. Символ с точкой наверху означает диффиринцирование по обобщенному параметру времени . Для определяющих функций пластичности и принимаем аппроксимации, предложенные В.Г.Зубчаниновым [1]. , (2) где: , , - модуль сдвига, касательный и секущий модули сдвига материала соответственно. Для определения угла сближения имеем: , (3) где: - модуль вектора напряжений, - кривизна траектории. Уравнения (1) и (3) имеют вид уравнений задачи Коши, которую решаем методом Рунге-Кутта. Зависимость полагаем универсальной для простого нагружения. За параметр обобщенного времени t на участках сложной траектории деформирования принимаются различные, монотонно возрастающие параметры процесса. Таким образом, в каждой точке траектории деформаций определяем компоненты напряженного состояния и далее решаем бифуркационную задачу. Цилиндрическую оболочку считаем «длинной», шарнирно подкрепленной по торцам. Решение задачи бифуркации сводим к решению задачи о собственных числах [1]. В результате окончательно получаем систему алгебраических уравнений: , (4) где: , (5) где - гибкость оболочки. Решение бифуркационной задачи позволяет для заданной комбинации полуволн m, n изогнутого состояния вычислить критическую гибкость оболочки i в зависимости от значения модуля вектора напряжений в момент потери устойчивости. Эксперименты показывают [1], что в момент потери устойчивости пластин и оболочек происходит излом траекторий деформирования, т.е. процесс потери устойчивости реализуется в условиях сложного нагружения материала. Для определяющих функций пластичности и принимаем аппроксимации В.Г. Зубчанинова (2) [1]. В большинстве выполненных ранее решений сложное нагружение оболочки в момент потери устойчивости учитывалось в упрощенной постановке. Полагалось, что в зоне пластической догрузки , в зоне упругой разгрузки и искалась координата границы раздела данных зон. В предлагаемом варианте решения задачи функции пластичности и изменяются непрерывно, в зависимости от и . Координату границы раздела зон определять нет необходимости, интегралы и в (5) определяются численно по методу Симпсона. При этом оболочка по толщине разбивается на 20 слоев (дальнейшее увеличение числа слоев, как показывают расчеты, не приводит к существенному уточнению решения). В качестве нулевого приближения на каждом этапе нагружения оболочки используется решение при чистопластической бифуркации, когда излом траектории не учитывается. В этом случае , тогда интегралы , (5) принимают значения [1] (6) где - параметр пластичности А.А.Ильюшина, - параметр разупрочнения материала. При известных с учетом (6) можно вычислить критическую гибкость оболочки в нулевом приближении . (7) Затем в нулевом приближении находим и определяем параметры деформаций , , , из уравнений [1] . (8) Далее в первом приближении вычисляем для каждого сечения оболочки параметр излома траектории , скорость деформаций (9) где: (10) (11) Далее численно определяем значения интегралов и , вычисляем , и рассчитываем невязку по параметру : . В случае, если на данном шаге больше некоторого малого наперед заданного , методом половинного деления вводим корректуру в . Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока невязка будет меньше . Расчеты выполнены также на основе теории устойчивости А.А.Ильюшина, в которой используются определяющие соотношения теории квазипростых процессов [1] Расчеты сопоставлены с экспериментальными результатами, полученными на автоматизированном комплексе СН-ЭВМ в лаборатории кафедры «Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета [3]. Эксперименты реализованы на тонкостенных круговых цилиндрических оболочках, изготовленных из стали 45. В качестве примера рассмотрены трехзвенные траектории, представляющие собой: растяжение до заданного уровня R на первом звене; 1,25 витка траектории постоянной кривизны радиуса R на втором звене; сжатие до потери устойчивости при поддержании постоянного уровня деформации кручения Э3 на третьем звене (рисунок 1). Расчеты выполнены для нескольких процессов при R = 0.5, 1 и 1.5 %. При данных параметрах процесса потеря устойчивости оболочки на криволинейной части траектории не происходит. Показатели степеней p и q, входящие в состав аппроксимаций [2], определяющих функций пластичности при теоретическом построении образа процесса нагружения материала, принимались р=0.6 и q=1.35. Рисунок 1. Траектории деформирования образцов из стали 45: R – радиус дуги окружности На рисунках 2-7 приведены графики критических параметров напряжений и деформаций, построенные как огибающие кривых устойчивости, вычисленных при различных комбинациях параметров волнообразования m, n. Рисунок 2. Критические параметры напряжений (R=0,5%) Рисунок 3. Критические параметры деформаций (R=0,5%) Рисунок 4. Критические параметры напряжений (R=1%) Рисунок 5. Критические параметры деформаций (R=1%) Рисунок 6. Критические параметры напряжений (R=1,5%) Рисунок 7. Критические параметры деформаций (R=1,5%) Цифрами на рисунках обозначено: 1 – расчет, выполненный с учетом сложного характера нагружения в момент потери устойчивости при показателях степеней р=0.6 и q=1.35 ( соответствуют значениям, принятым при решении задачи построения образа процесса нагружения); 2 – расчет при показателях степеней р=1 и q=1; 3 – расчет при показателях степеней р=0.55 и q=1,35; 4 – расчет при р=0.7 и q=1.35; 5 - расчет по теории устойчивости А.А. Ильюшина с учетом разгрузки материала в момент потери устойчивости. Треугольниками отмечены экспериментальные результаты. На рисунке 8 в девиаторной плоскости деформаций показаны зоны устойчивых состояний оболочки. Цифры и условные обозначения соответствуют предыдущим рисункам. Рисунок 8. Зоны устойчивых состояний в плоскости для оболочек из стали 45 Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что определяющие соотношения гипотезы компланарности и аппроксимации определяющих функций пластичности В.Г.Зубчанинова, учитывающие изменение угла сближения в процессе деформирования (2), позволяют получить достоверное решение задачи бифуркации круговой цилиндрической оболочки при сложном докритическом нагружении. На рассмотренных процессах реальный учет сложного характера нагружения оболочки в момент потери устойчивости позволяет существенно уточнить решение в сопоставлении с расчетами, например, по теории устойчивости А.А. Ильюшина, которые дают завышенные значения критических напряжений и деформаций. Показатели степеней р и q в аппроксимациях определяющих функций пластичности (2) при сложных докритических процессах не могут приниматься равными р=q=1, как например в [4], и зависят от реализуемой траектории. При этом влияние параметра р на расчетные значения критических напряжений и деформаций проявляется в большей степени, чем изменение параметра q. На рассматриваемых траекториях для параметров р и q аппроксимаций (2) в решении задачи устойчивости можно принимать значения, полученные при решении задачи построения образа процесса нагружения материала. Расчеты выполнены также для ряда иных траекторий сложного докритического нагружения [3].

About the authors

N. L Okhlopkov

Tver State Technical University

Dr.Eng., Prof.; +7 (4822) 52-63-63

S. A Sokolov

Tver State Technical University

Email: stepan_1986@bk.ru
Ph.D.; +7 (4822) 52-63-63

S. V Cheremnykh

Tver State Technical University

Email: stepan_1986@bk.ru
+7 (4822) 52-63-63

M. Y Aleksandrov

“Standart proyekt” JSC

Ph.D.; +7 (4822) 52-63-63

References

Supplementary files