Еще о наилучших приближениях аналогами «своих» и «не своих» гиперболических крестов к

Аннотация

В статье изучаются наилучшие приближения классов периодических функций многих действительных переменных с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности аналогами «своих» и «не своих» гиперболических крестов. Мажоранта содержит степенные множители в разных степенях и логарифмические множители в разных степенях.

Полный текст

§1. Определения. Ранее полученные результаты. Будем рассматривать функции от вещественных переменных , имеющие период по каждой переменной. Смешанный модуль непрерывности порядка от функции определим следующим образом: , где , разность означает взятие разности порядка с шагом по переменной , норма равна: . Введем функцию для следующей формулой: (1) Здесь произвольные действительные числа, логарифмы берутся (как и всюду ниже) по основанию 2, а также при полагаем . Рассмотрим классы функций где запись означает, что норма конечна и задается равенством (1). Мы будем рассматривать случай . Через будем обозначать количество элементов множества А. Мы будем рассматривать порядковые неравенства и порядковые равенства. Запись означает, что , где С не зависит от N. Запись означает, что и . Рассмотрим множества, порожденные поверхностями уровня функции из (1). Обозначим ж(N)=, где: То есть: ж(N)= Сж(N) ж(N). ж(N) Положим , где . Также рассмотрим множества , то есть: . Можно легко показать, что . Откуда следует, что . Также нам понадобятся множества В работе [1] доказано, что . Отметим, что функция из (1) удовлетворяет условиям (S) и (см. [1]). Поэтому для рассматриваемых здесь классов верна теорема о представлении (см. [2]). Теорема А. Для того, чтобы из принадлежала классу необходимо и достаточно при , чтобы для всех векторов с натуральными компонентами, и при , где: , - коэффициенты Фурье функции , обозначает свертку с ядром , порожденным ядрами Валле –Пуссена порядка , кроме того, считаем . Мы будем рассматривать наилучшие приближения функций в норме тригонометрическими полиномами со спектром из . Также обозначим . Из теоремы 1 работы [1] вытекает Теорема Б. При , где . При изучении приближений функций из классов С.М. Никольского , которые совпадают с при , выяснилось (см. [3, 4]), что вместо тригонометрических полиномов со спектром из множеств , порожденных поверхностями уровня функции , лучше брать множества . Дело в том, что множества шире, чем , но , а наилучшие приближения по порядку лучше, чем . Этот эффект позволяет улучшить оценки поперечников. Множества и называются «своими» и «не своими» гиперболическими крестами соответственно. Эффект «не своих» гиперболических крестов для из (1) при условии рассмотрен автором ранее (см. [5]). В данной работе мы изучим этот эффект в случае различных . Автором доказана (см. [5]) Теорема В. Пусть задано равенством (1), причем , . Тогда количество элементов множества по порядку равно , где: равно при ; , при ; при , . Если в случае некоторые больше , то возникает эффект «не своих» гиперболических крестов. В случае роль «не своих» гиперболических крестов играют множества , где: ж`(N)= причем . В случае берем . Автором доказана (см. [5]) Теорема Г. Пусть Тогда , где по порядку равно: 1) если ; 2) если ; 3) если ; 4) если ; 5) если ; 6) , если . Замечание. Как отмечено в [5], при верна оценка сверху . Как видно из теоремы Г, определенные различия в показателях логарифмических множителей порождают эффект «не своих» гиперболических крестов. Сформулируем лемму, доказанную в [5]. Эта лемма использовалась при доказательстве теоремы Г, и она нам также понадобится при доказательстве новых теорем. Лемма А. Для суммы верны следующие порядковые равенства (считаем ): если то ≍ ; если то ≍ ; если то ≍ ; если то ≍ ; если то ≍ ; если то ≍ . §2. Новые результаты Рассмотрим теперь мажоранту смешанных модулей непрерывности порядка l из (1) с различными . Будем считать, что - произвольные действительные числа при . В этом случае теорема Б дает следующую оценку: , определенные выше, - аналоги «своих» гиперболических крестов. Аналогами «не своих» гиперболических крестов будут множества ж``(N) , где: ж``(N)=, причем в случае берем , любые при . Теорема 1. Пусть задается (1), причем . Тогда количество элементов множества по порядку равно: , где функция см. в формулировке теоремы В с заменой d на . Доказательство: Будем оценивать , где . Понятно, что это даст доказываемое порядковое равенство. Введем следующие множества: . Получим оценку сверху: (по теореме В с заменой d на ) , т.к. . Получаем оценку снизу. Рассмотрим множество . Очевидно, . Поэтому . Итак, . Учитывая теорему В, получаем теорему 1. Далее оценим . Теорема 2. Если функция задается равенством (1), то верно следующее порядковое равенство: , функцию см. в теореме Г с заменой d на и на . Доказательство Сначала получим оценки сверху. Через обозначим сумму Фурье функции , соответствующую множеству . Из многомерной теоремы Литтлвуда-Пэли (см.[4], Теорема А) следует, что для из будет ж``(N) . Используя теорему А и лемму Б из [5], получаем: . Здесь ж``ж``(N). Имеем: , где . Для будет . Следовательно, Для фиксированных обозначим через , а также положим Тогда, применив лемму А, получим: . (2) Здесь мы использовали тот факт, что в наших условиях возрастает с ростом N и то, что . Оценки сверху доказаны. Получим оценку снизу. Пусть сначала . Рассмотрим функцию . Здесь , . Как известно, . Поэтому в силу теоремы А при некотором . Как следует из [1], . И далее, аналогично соотношению (2) получаем: . Получили оценку снизу при . Теперь получим оценки снизу при . Рассмотрим функцию , где , а сумма берется по всем векторам с натуральными компонентами. Тогда по теореме Литтлвуда-Пэли имеем: . Теорема 2 доказана. Итак, мы видим, что при по порядку меньше, чем при из (1), хотя . Замечание. При верны оценки сверху: