Best approximation by analogues of “own” and “alien” hyperbolic crosses

Abstract

The author studies the best approximation of classes of periodic functions of several real variables with a given majorant of the mixed moduli of continuity by analogues of “own” and “alien” hyperbolic crosses. The majorant has the power factors in different degrees and logarithmic factors in different degrees.

Full Text

§1. Определения. Ранее полученные результаты. Будем рассматривать функции от вещественных переменных , имеющие период по каждой переменной. Смешанный модуль непрерывности порядка от функции определим следующим образом: , где , разность означает взятие разности порядка с шагом по переменной , норма равна: . Введем функцию для следующей формулой: (1) Здесь произвольные действительные числа, логарифмы берутся (как и всюду ниже) по основанию 2, а также при полагаем . Рассмотрим классы функций где запись означает, что норма конечна и задается равенством (1). Мы будем рассматривать случай . Через будем обозначать количество элементов множества А. Мы будем рассматривать порядковые неравенства и порядковые равенства. Запись означает, что , где С не зависит от N. Запись означает, что и . Рассмотрим множества, порожденные поверхностями уровня функции из (1). Обозначим ж(N)=, где: То есть: ж(N)= Сж(N) ж(N). ж(N) Положим , где . Также рассмотрим множества , то есть: . Можно легко показать, что . Откуда следует, что . Также нам понадобятся множества В работе [1] доказано, что . Отметим, что функция из (1) удовлетворяет условиям (S) и (см. [1]). Поэтому для рассматриваемых здесь классов верна теорема о представлении (см. [2]). Теорема А. Для того, чтобы из принадлежала классу необходимо и достаточно при , чтобы для всех векторов с натуральными компонентами, и при , где: , - коэффициенты Фурье функции , обозначает свертку с ядром , порожденным ядрами Валле –Пуссена порядка , кроме того, считаем . Мы будем рассматривать наилучшие приближения функций в норме тригонометрическими полиномами со спектром из . Также обозначим . Из теоремы 1 работы [1] вытекает Теорема Б. При , где . При изучении приближений функций из классов С.М. Никольского , которые совпадают с при , выяснилось (см. [3, 4]), что вместо тригонометрических полиномов со спектром из множеств , порожденных поверхностями уровня функции , лучше брать множества . Дело в том, что множества шире, чем , но , а наилучшие приближения по порядку лучше, чем . Этот эффект позволяет улучшить оценки поперечников. Множества и называются «своими» и «не своими» гиперболическими крестами соответственно. Эффект «не своих» гиперболических крестов для из (1) при условии рассмотрен автором ранее (см. [5]). В данной работе мы изучим этот эффект в случае различных . Автором доказана (см. [5]) Теорема В. Пусть задано равенством (1), причем , . Тогда количество элементов множества по порядку равно , где: равно при ; , при ; при , . Если в случае некоторые больше , то возникает эффект «не своих» гиперболических крестов. В случае роль «не своих» гиперболических крестов играют множества , где: ж`(N)= причем . В случае берем . Автором доказана (см. [5]) Теорема Г. Пусть Тогда , где по порядку равно: 1) если ; 2) если ; 3) если ; 4) если ; 5) если ; 6) , если . Замечание. Как отмечено в [5], при верна оценка сверху . Как видно из теоремы Г, определенные различия в показателях логарифмических множителей порождают эффект «не своих» гиперболических крестов. Сформулируем лемму, доказанную в [5]. Эта лемма использовалась при доказательстве теоремы Г, и она нам также понадобится при доказательстве новых теорем. Лемма А. Для суммы верны следующие порядковые равенства (считаем ): если то ≍ ; если то ≍ ; если то ≍ ; если то ≍ ; если то ≍ ; если то ≍ . §2. Новые результаты Рассмотрим теперь мажоранту смешанных модулей непрерывности порядка l из (1) с различными . Будем считать, что - произвольные действительные числа при . В этом случае теорема Б дает следующую оценку: , определенные выше, - аналоги «своих» гиперболических крестов. Аналогами «не своих» гиперболических крестов будут множества ж``(N) , где: ж``(N)=, причем в случае берем , любые при . Теорема 1. Пусть задается (1), причем . Тогда количество элементов множества по порядку равно: , где функция см. в формулировке теоремы В с заменой d на . Доказательство: Будем оценивать , где . Понятно, что это даст доказываемое порядковое равенство. Введем следующие множества: . Получим оценку сверху: (по теореме В с заменой d на ) , т.к. . Получаем оценку снизу. Рассмотрим множество . Очевидно, . Поэтому . Итак, . Учитывая теорему В, получаем теорему 1. Далее оценим . Теорема 2. Если функция задается равенством (1), то верно следующее порядковое равенство: , функцию см. в теореме Г с заменой d на и на . Доказательство Сначала получим оценки сверху. Через обозначим сумму Фурье функции , соответствующую множеству . Из многомерной теоремы Литтлвуда-Пэли (см.[4], Теорема А) следует, что для из будет ж``(N) . Используя теорему А и лемму Б из [5], получаем: . Здесь ж``ж``(N). Имеем: , где . Для будет . Следовательно, Для фиксированных обозначим через , а также положим Тогда, применив лемму А, получим: . (2) Здесь мы использовали тот факт, что в наших условиях возрастает с ростом N и то, что . Оценки сверху доказаны. Получим оценку снизу. Пусть сначала . Рассмотрим функцию . Здесь , . Как известно, . Поэтому в силу теоремы А при некотором . Как следует из [1], . И далее, аналогично соотношению (2) получаем: . Получили оценку снизу при . Теперь получим оценки снизу при . Рассмотрим функцию , где , а сумма берется по всем векторам с натуральными компонентами. Тогда по теореме Литтлвуда-Пэли имеем: . Теорема 2 доказана. Итак, мы видим, что при по порядку меньше, чем при из (1), хотя . Замечание. При верны оценки сверху: