Вариант связи между напряжениями и деформациями в теории пологих оболочек

Аннотация

Получены уравнения связи между напряжениями, деформациями и внутренними усилиями для прямоугольных в плане пологих оболочек, удобные для численного расчета процесса их нагружения. Задача решается с учетом геометрической и физической нелинейностей.

Полный текст

Введение В работе дается единая форма связи между напряжениями и деформациями для трех рассматриваемых случаев материала оболочки. Материал оболочки будем считать: упругим, нелинейно-упругим, упруго-пластическим. Рассматривается квазипростое нагружение оболочки. В соответствии с теорией квазипростых процессов принимаем [3-5]: 1. Закон упругого изменения объема. , ; (1) где: – средняя деформация; – среднее напряжение; K – модуль объемной деформации Бриджмена; E – модуль упругости; – коэффициент Пуассона. Используется правило суммирования по повторяющемуся индексу. 2. Закон упругопластического формоизменения. , (2) где: , – компоненты девиаторов напряжений и деформаций. Для упругих панелей: ; если материал панели нелинейно-упругий [4], то: ; в теории квазипростых процессов: , , , , , – пластические характеристики материала; q – экспериментально определяемый параметр [3, 4]. 3. Закон упругопластического упрочнения. Модуль тензора-девиатора напряжений есть универсальная функция модуля тензора-девиатора деформаций: , определяемая из опытов на простое растяжение [3]. Связь между напряжениями и деформациями Запишем общую зависимость (2) в обратной форме: , или в развернутом виде (в технических обозначениях): (3) Вследствие гипотезы прямых нормалей , а поэтому: Вследствие гипотезы о ненадавливании слоев: (4) Таким образом, можно считать, что в оболочке возникает плоское напряженное состояние. На основании (4) запишем: . (5) Из выражения (3) с учетом (1) получим: ; ; . (6) В частном случае нелинейно-упругого тела: ; ; (7) ; . (8) В результате получим: ; . Это совпадает с имеющимися результатами. Для упругой оболочки . Предположим, что: ; (9) где: – безразмерная величина: для упругой оболочки ; для оболочки из нелинейно-упругого материала: ; при квазипростом нагружении: . При условии (9) имеем: ; . При ; . Это совпадает с (8) при . При , . Это совпадает с (8) т.к. из (1) и (7) , . Последнее выражение служит для определения пластического коэффициента Пуассона . В дальнейшем в практических расчетах будем принимать следующие выражения для функционалов : для упругих оболочек ; для оболочек из нелинейно-упругого материала: ; (10) при квазипростом нагружении: . (11) Для вычисления этих функционалов необходимо знать диаграмму зависимости . Замечательным свойством последнего функционала является то, что он справедлив и при разгрузке. При условии (9) имеем: ; ; (12) где введено обозначение . На основании (12) вместо (6) получим: ; . (13) Для несжимаемого материала , , ; . Это согласуется с известными результатами. На основании вышеизложенного связь между напряжениями и деформациями для упруго-пластических панелей можно записать в виде (в технических обозначениях): (14) В этих выражениях: определяется по формуле (5), определяется по формуле (13), параметры пластичности определяются по формулам (10), (11). Исключим из первых двух выражений (14) и : Решение этой системы: (15) С учетом (13), решение (15) запишется так: Складывая и вычитая эти выражения, а также введя полусуммы и полуразности напряжений и деформаций: ; ; ; ; (16) получим связь между напряжениями и деформациями в виде: где: . (17) Внутренние усилия в оболочке Внутренние усилия в оболочке определяются следующим образом: ; . Но ; ; ; . Отсюда следует, что ; ; ; ; (18) где: ; ; ; . (19) Вводим безразмерную координату (h – толщина оболочки): , , , . В силу гипотезы прямых нормалей: , (20) где: – деформации растяжения-сжатия и сдвига срединной поверхности оболочки; – кривизны изгиба и кручения этой поверхности. На основании (20) можем записать: (21) где: , , , . (22) Вводим обозначения: ; . Тогда на основании (16), (19) и (21) получим: ; ; ; ; ; . Определив , , , , из (18) можно найти сами усилия. Для оболочки из несжимаемого материала , ; тогда из (17) следует: , . Для упругой оболочки ; значит: , , , , , , . Таким образом, в этом случае: ; ; ; ; ; . Для определения параметров пластичности и используем диаграмму зависимости . Поэтому нужна формула для вычисления модуля Э девиатора деформаций. В общем случае имеем [5]: . Для пологих оболочек: ; . Учитывая зависимости (22), окончательно получаем: . Заключение Полученные зависимости между напряжениями, деформациями и внутренними усилиями удобны тем, что являются едиными при использовании в расчётах линейной и нелинейной теории упругости и частного варианта теории пластичности.