A variant of link between stress and deformation in the theory of depressed shells

Abstract

The authors obtained equations of relation between stresses, deformations and internal forces for rectangular depressed shells, convenient for numerical calculation of the loading process. The problem is solved considering geometrical and physical nonlinearities.

Full Text

Введение В работе дается единая форма связи между напряжениями и деформациями для трех рассматриваемых случаев материала оболочки. Материал оболочки будем считать: упругим, нелинейно-упругим, упруго-пластическим. Рассматривается квазипростое нагружение оболочки. В соответствии с теорией квазипростых процессов принимаем [3-5]: 1. Закон упругого изменения объема. , ; (1) где: – средняя деформация; – среднее напряжение; K – модуль объемной деформации Бриджмена; E – модуль упругости; – коэффициент Пуассона. Используется правило суммирования по повторяющемуся индексу. 2. Закон упругопластического формоизменения. , (2) где: , – компоненты девиаторов напряжений и деформаций. Для упругих панелей: ; если материал панели нелинейно-упругий [4], то: ; в теории квазипростых процессов: , , , , , – пластические характеристики материала; q – экспериментально определяемый параметр [3, 4]. 3. Закон упругопластического упрочнения. Модуль тензора-девиатора напряжений есть универсальная функция модуля тензора-девиатора деформаций: , определяемая из опытов на простое растяжение [3]. Связь между напряжениями и деформациями Запишем общую зависимость (2) в обратной форме: , или в развернутом виде (в технических обозначениях): (3) Вследствие гипотезы прямых нормалей , а поэтому: Вследствие гипотезы о ненадавливании слоев: (4) Таким образом, можно считать, что в оболочке возникает плоское напряженное состояние. На основании (4) запишем: . (5) Из выражения (3) с учетом (1) получим: ; ; . (6) В частном случае нелинейно-упругого тела: ; ; (7) ; . (8) В результате получим: ; . Это совпадает с имеющимися результатами. Для упругой оболочки . Предположим, что: ; (9) где: – безразмерная величина: для упругой оболочки ; для оболочки из нелинейно-упругого материала: ; при квазипростом нагружении: . При условии (9) имеем: ; . При ; . Это совпадает с (8) при . При , . Это совпадает с (8) т.к. из (1) и (7) , . Последнее выражение служит для определения пластического коэффициента Пуассона . В дальнейшем в практических расчетах будем принимать следующие выражения для функционалов : для упругих оболочек ; для оболочек из нелинейно-упругого материала: ; (10) при квазипростом нагружении: . (11) Для вычисления этих функционалов необходимо знать диаграмму зависимости . Замечательным свойством последнего функционала является то, что он справедлив и при разгрузке. При условии (9) имеем: ; ; (12) где введено обозначение . На основании (12) вместо (6) получим: ; . (13) Для несжимаемого материала , , ; . Это согласуется с известными результатами. На основании вышеизложенного связь между напряжениями и деформациями для упруго-пластических панелей можно записать в виде (в технических обозначениях): (14) В этих выражениях: определяется по формуле (5), определяется по формуле (13), параметры пластичности определяются по формулам (10), (11). Исключим из первых двух выражений (14) и : Решение этой системы: (15) С учетом (13), решение (15) запишется так: Складывая и вычитая эти выражения, а также введя полусуммы и полуразности напряжений и деформаций: ; ; ; ; (16) получим связь между напряжениями и деформациями в виде: где: . (17) Внутренние усилия в оболочке Внутренние усилия в оболочке определяются следующим образом: ; . Но ; ; ; . Отсюда следует, что ; ; ; ; (18) где: ; ; ; . (19) Вводим безразмерную координату (h – толщина оболочки): , , , . В силу гипотезы прямых нормалей: , (20) где: – деформации растяжения-сжатия и сдвига срединной поверхности оболочки; – кривизны изгиба и кручения этой поверхности. На основании (20) можем записать: (21) где: , , , . (22) Вводим обозначения: ; . Тогда на основании (16), (19) и (21) получим: ; ; ; ; ; . Определив , , , , из (18) можно найти сами усилия. Для оболочки из несжимаемого материала , ; тогда из (17) следует: , . Для упругой оболочки ; значит: , , , , , , . Таким образом, в этом случае: ; ; ; ; ; . Для определения параметров пластичности и используем диаграмму зависимости . Поэтому нужна формула для вычисления модуля Э девиатора деформаций. В общем случае имеем [5]: . Для пологих оболочек: ; . Учитывая зависимости (22), окончательно получаем: . Заключение Полученные зависимости между напряжениями, деформациями и внутренними усилиями удобны тем, что являются едиными при использовании в расчётах линейной и нелинейной теории упругости и частного варианта теории пластичности.