Флаттер упругой полосы при продольном обтекании в точной постановке

Аннотация

Данная статья является логическим продолжением статей [1] и [2]. В первой из статей [1] приведена постановка задачи о флаттере полосы при продольном обтекании в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения, во второй [2] - показано асимптотическое сходство точной и поршневой теории при больших сверхзвуковых скоростях. В данной статье решается задача о флаттере полосы при продольном обтекании в рамках точной теории для умеренных и малых сверхзвуковых скоростях - в режимах обтекания, где правомерность использования поршневой теории не является доказанной.

Полный текст

Рассматривается полоса, занимающая в пространстве область , , . Со стороны полоса обдувается потоком газа с невозмущенным вектором скорости . Уравнение колебаний полосы постоянной толщины записывается в виде: . (1) Подставляем в уравнение следующие соотношения, соответствующие режиму критического обтекания для точной постановки (см. [1]): . Уравнение колебаний полосы, полученное в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения, принимает вид: . (2) Здесь под и обозначены безразмерные параметры и ; ,,,. Рассматривается случай шарнирного опирания полосы: . Решение ищется приближенно методом Бубнова-Галеркина. Система базисных функций для , удовлетворяющая граничным условиям, - система функций . Основной сложностью задачи в данной постановке является вычисление интегралов вида: . Данные интегралы рассчитываются численно, функция Бесселя аппроксимируется кусочно-линейной функцией. Также стоит отметить, что значения интегралов зависят от параметра волнообразования , поскольку параметр , входящий в подынтегральные выражения, задается соотношением . В первом приближении имеем . После подстановки прогиба в данном виде в уравнение колебаний получаем: . (3) Из условия нетривиальной неразрешимости уравнения получаем следующее соотношение, связывающее скорость набегающего потока , параметр волнообразования и частоту колебаний : . (4) К данному соотношению добавляется условие (см. [2]). Дальнейший анализ проводится по следующей итерационной схеме: 1. Для расчетов используются безразмерные коэффициенты , , получается из условия равенства критической скорости флаттера для шарнирного закрепления в рамках классической теории некоторому наперед заданному числу . 2. Из решения задачи о продольном обтекании полосы в рамках классической поршневой теории вычисляем критический параметр волнообразования 3. Выбираем значение параметра волнообразования из интервала . 4. Для выбранных , и вычисляется параметр . Особо подчеркнем, что параметры , фиксируются только для вычисления интегралов. фиксируется как для вычисления интегралов, так и вне интегральных выражений. 5. Вычисляем интеграл при значении параметра из предыдущего пункта. 6. После подстановки параметров из предыдущего пункта в уравнение колебаний и вычисления интегралов - уравнение колебаний, спроецированное на , связывает только скорость потока и параметр волнообразования . Критическая скорость для данной частоты колебаний находится как , значение критического параметра волнообразования для данной частоты колебаний равно . 7. Возвращаемся в пункт 3 и подставляем новое значение из интервала . Последовательно пробегаем все значения из данного интервала, критическая скорость данной итерации рассчитывается как . 8. Подставляем значения скорости флаттера и параметра волнообразования и , найденные в пункте 7, в пункты 2-3, вычисляем интегралы при новых значениях и и повторяем пункты 4-7 для новой итерации. 9. Данный итерационный процесс заканчивается, когда выполнено два условия и , где - наперед заданное малое число. Ниже приводится сравнительный анализ решений, полученных для розничных значений параметра в рамках классической поршневой теории и в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения: 28.23 1.03 1.01 25.93 1.1 1.075 25.93 1.5 1.455 14.26 2 1.915 Как видно из полученных решений, применение поршневой и точной теорий дает очень схожие результаты не только для больших сверхзвуковых скоростей, но и для низких сверхзвуковых скоростей. Результаты отличаются лишь на 2-3% - отсюда следует правомерность использования классической теории для задачи о продольном обтекании в случае низких сверхзвуковых скоростей потока.