Flutter of elastic strip at longitudinal flow in a precise statement

Abstract

This article is a logical continuation of the articles [1] and [2]. In the first article [1] there is shown the statement of the problem on flatter of strip at longitudinal flow in the linearized theory of supersonic potential flow. In the second article [2] there is shown an asymptotic similarity of accurate and piston theory at high supersonic speeds. Particularly in this paper the problem of flatter strip at longitudinal flow is solved based on the accurate theory for moderate and low supersonic speeds. It is solved at the flow modes, when the validity of using a piston theory is not proven.

Full Text

Рассматривается полоса, занимающая в пространстве область , , . Со стороны полоса обдувается потоком газа с невозмущенным вектором скорости . Уравнение колебаний полосы постоянной толщины записывается в виде: . (1) Подставляем в уравнение следующие соотношения, соответствующие режиму критического обтекания для точной постановки (см. [1]): . Уравнение колебаний полосы, полученное в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения, принимает вид: . (2) Здесь под и обозначены безразмерные параметры и ; ,,,. Рассматривается случай шарнирного опирания полосы: . Решение ищется приближенно методом Бубнова-Галеркина. Система базисных функций для , удовлетворяющая граничным условиям, - система функций . Основной сложностью задачи в данной постановке является вычисление интегралов вида: . Данные интегралы рассчитываются численно, функция Бесселя аппроксимируется кусочно-линейной функцией. Также стоит отметить, что значения интегралов зависят от параметра волнообразования , поскольку параметр , входящий в подынтегральные выражения, задается соотношением . В первом приближении имеем . После подстановки прогиба в данном виде в уравнение колебаний получаем: . (3) Из условия нетривиальной неразрешимости уравнения получаем следующее соотношение, связывающее скорость набегающего потока , параметр волнообразования и частоту колебаний : . (4) К данному соотношению добавляется условие (см. [2]). Дальнейший анализ проводится по следующей итерационной схеме: 1. Для расчетов используются безразмерные коэффициенты , , получается из условия равенства критической скорости флаттера для шарнирного закрепления в рамках классической теории некоторому наперед заданному числу . 2. Из решения задачи о продольном обтекании полосы в рамках классической поршневой теории вычисляем критический параметр волнообразования 3. Выбираем значение параметра волнообразования из интервала . 4. Для выбранных , и вычисляется параметр . Особо подчеркнем, что параметры , фиксируются только для вычисления интегралов. фиксируется как для вычисления интегралов, так и вне интегральных выражений. 5. Вычисляем интеграл при значении параметра из предыдущего пункта. 6. После подстановки параметров из предыдущего пункта в уравнение колебаний и вычисления интегралов - уравнение колебаний, спроецированное на , связывает только скорость потока и параметр волнообразования . Критическая скорость для данной частоты колебаний находится как , значение критического параметра волнообразования для данной частоты колебаний равно . 7. Возвращаемся в пункт 3 и подставляем новое значение из интервала . Последовательно пробегаем все значения из данного интервала, критическая скорость данной итерации рассчитывается как . 8. Подставляем значения скорости флаттера и параметра волнообразования и , найденные в пункте 7, в пункты 2-3, вычисляем интегралы при новых значениях и и повторяем пункты 4-7 для новой итерации. 9. Данный итерационный процесс заканчивается, когда выполнено два условия и , где - наперед заданное малое число. Ниже приводится сравнительный анализ решений, полученных для розничных значений параметра в рамках классической поршневой теории и в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения: 28.23 1.03 1.01 25.93 1.1 1.075 25.93 1.5 1.455 14.26 2 1.915 Как видно из полученных решений, применение поршневой и точной теорий дает очень схожие результаты не только для больших сверхзвуковых скоростей, но и для низких сверхзвуковых скоростей. Результаты отличаются лишь на 2-3% - отсюда следует правомерность использования классической теории для задачи о продольном обтекании в случае низких сверхзвуковых скоростей потока.