Течение жидкости в цилиндрическом пористом каркасе с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора

Аннотация

В статье приводятся постановка и численное решение задачи о стационарном протекании сжимаемой жидкости сквозь твердый деформируемый пористый цилиндрический слой из несжимаемого материала с учетом интерактивных сил типа Дарси и фронтального напора.

Полный текст

Введение В развитие классических моделей [1-3] предложена модель [4], учитывающая материальные межфазные взаимодействия [5] и различные режимы движения жидкости и каркаса [6]. На основании модели [4] в работе [7] была получена модель, учитывающая произвольные движения жидкости и малые перемещения точек твердого каркаса. Постановка задачи Рассмотрим плоскую осесимметричную задачу о стационарном течении сжимаемой жидкости в цилиндрическом пористом слое (с внутренним радиусом и внешним радиусом ) при отсутствии внешних массовых сил. Жидкость поступает из внутреннего полого цилиндра в пористый слой и вытекает наружу; при этом будем считать, что мы умеем регулировать входную скорость жидкости . Будем считать, что внутренний цилиндр закреплен от перемещений. Введем стандартную цилиндрическую систему координат и будем считать, что в силу симметрии задачи все функции будут зависеть только от радиуса (единственными нетривиальными компонентами вектора перемещений и вектора скорости будут компоненты и соответственно). Для описания движения воспользуемся моделью [7]. Примем ряд упрощений: отсутствие эффективных вязкостей жидкой фазы (); малость перемещений и градиентов перемещений каркаса; пористость будем считать постоянной. Также будем считать, что из интерактивных сил [6, 7] действуют только сила типа Дарси и сила фронтального напора, взятые, соответственно, в виде , и в виде (где — известные константы, — скорость жидкости). Связь между истинным давлением в порах и истинной плотностью жидкости примем линейной. С учетом этих предположений большинство скалярных уравнений модели [7] выполнится тождественно (). Остальные уравнения для рассматриваемого стационарного движения жидкости примут вид: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) где неизвестными функциями являются: компоненты эффективных тензоров напряжений каркаса и жидкости ,,,,,; ненулевая компонента вектора скорости жидкости , ненулевая компонента вектора перемещения точек каркаса , истинное давление в порах , истинная плотность жидкости . Коэффициенты сил Дарси и силы фронтального напора , эффективные характеристики упругого каркаса , пористость , характеристики связи давления и истинной плотности жидкости считаются известными константами. Таким образом, получаем систему из десяти уравнений на десять неизвестных. Примем следующие граничные условия: (9) Первое граничное условие означает закрепление внутренней (входной) границы каркаса, второе — увеличение входной скорости обратно пропорционально пористости каркаса; третье и четвертое — силовые условия на внешней (выходной) границе. Выражая уравнения системы (1) - (8) через переменные и приходим к системе двух дифференциальных уравнений на три неизвестные ,, : (10) (11) Константа характеризует расход жидкости: (12) Для приведения системы (10) - (11) к безразмерному виду возьмем следующие величины: (13) Безразмерные аналоги соответствующих размерных величин будем помечать знаком тильда. После приведения к безразмерному виду система (10) - (11) примет вид: (14) (15) Граничные условия примут вид: (16) Третье граничное условие (16) получено из третьего граничного условия в (9) и уравнения (4). Четвертое граничное условие из (16) (при заданном втором условии) регулирует величину расхода жидкости. В ряде практических задач требуется обеспечить заданный расход жидкости. В этом случае вместо граничных условий (16) следует использовать условия: (17) Тем самым выходное давление в четвертом граничном условии (16) определится из решения задачи. Решение задачи Для численного решения системы (14)-(15) возьмем следующие размерные величины, качественно соответствующие протеканию воды сквозь песчаный каркас [8]: (18) Для коэффициентов интерактивных сил возьмем последовательно две пары значений: Вязкость воды при нормальных условиях имеет порядок . За характерный размер пор возьмем величину [2, 10]. Тогда для числа Рейнольдса получим оценку порядка . Согласно таблице влияния интерактивных сил [6] основной “силовой” вклад будут вносить силы типа Дарси и фронтального напора. При помощи программного пакета Maple для параметров (18) численно решим систему (14)-(15) с условиями (17) (задав значение ). Графики основных величин (для двух пар значений ) : скорости жидкости , перемещения точек каркаса , истинного давления в порах , истинного значения плотности жидкости в зависимости от представлены на рисунках 1 а)-г) (пунктирной линией построен график для случая (10, 100), а сплошной — для случая (10, 1) ). График 1а показывает, что скорость течения жидкости на границе проникновения в пористый каркас выше скорости на выходе (в силу постоянства расхода и увеличения площади поверхности цилиндра при увеличении радиуса). График 1б показывает, что перемещения точек каркаса возрастают от входа к выходу (в силу наличия интерактивных сил), причем увеличение коэффициента силы Дарси влечет увеличение перепада. Также на рисунке видно, что в точке графики имеют нулевую производную по , что согласуется с третьим граничным условием в (17). Рисунок 1. График (а) скорости течения жидкости; (б) перемещения точек каркаса; (в) истинного давления в порах; (г) истинной плотности жидкости Истинное давление и истинная плотность жидкости на входе выше своих выходных значений (рисунки 1в и 1г, соответственно), причем увеличение коэффициента силы Дарси также влечет увеличение перепада величин. Заключение Полученные численные решения согласуются с механическим смыслом параметров, входящих в задачу. Как видно из входных и выходных значений всех величин, увеличение коэффициента Дарси вызывает увеличение перепада значений от входа к выходу, что соответствует его механическому смыслу (этот коэффициент характеризует “фильтрационные” свойства интерактивных сил). Литература