Fluid flow in a cylindrical porous frame with regard to the Darcy type interactive forces and frontal pres

Abstract

The article provides the formulation and numerical solution of the stationary flow of compressible fluid through solid deformable porous cylindrical layer of incompressible material with regard to the Darcy type interactive forces and frontal pressure.

Full Text

Введение В развитие классических моделей [1-3] предложена модель [4], учитывающая материальные межфазные взаимодействия [5] и различные режимы движения жидкости и каркаса [6]. На основании модели [4] в работе [7] была получена модель, учитывающая произвольные движения жидкости и малые перемещения точек твердого каркаса. Постановка задачи Рассмотрим плоскую осесимметричную задачу о стационарном течении сжимаемой жидкости в цилиндрическом пористом слое (с внутренним радиусом и внешним радиусом ) при отсутствии внешних массовых сил. Жидкость поступает из внутреннего полого цилиндра в пористый слой и вытекает наружу; при этом будем считать, что мы умеем регулировать входную скорость жидкости . Будем считать, что внутренний цилиндр закреплен от перемещений. Введем стандартную цилиндрическую систему координат и будем считать, что в силу симметрии задачи все функции будут зависеть только от радиуса (единственными нетривиальными компонентами вектора перемещений и вектора скорости будут компоненты и соответственно). Для описания движения воспользуемся моделью [7]. Примем ряд упрощений: отсутствие эффективных вязкостей жидкой фазы (); малость перемещений и градиентов перемещений каркаса; пористость будем считать постоянной. Также будем считать, что из интерактивных сил [6, 7] действуют только сила типа Дарси и сила фронтального напора, взятые, соответственно, в виде , и в виде (где — известные константы, — скорость жидкости). Связь между истинным давлением в порах и истинной плотностью жидкости примем линейной. С учетом этих предположений большинство скалярных уравнений модели [7] выполнится тождественно (). Остальные уравнения для рассматриваемого стационарного движения жидкости примут вид: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) где неизвестными функциями являются: компоненты эффективных тензоров напряжений каркаса и жидкости ,,,,,; ненулевая компонента вектора скорости жидкости , ненулевая компонента вектора перемещения точек каркаса , истинное давление в порах , истинная плотность жидкости . Коэффициенты сил Дарси и силы фронтального напора , эффективные характеристики упругого каркаса , пористость , характеристики связи давления и истинной плотности жидкости считаются известными константами. Таким образом, получаем систему из десяти уравнений на десять неизвестных. Примем следующие граничные условия: (9) Первое граничное условие означает закрепление внутренней (входной) границы каркаса, второе — увеличение входной скорости обратно пропорционально пористости каркаса; третье и четвертое — силовые условия на внешней (выходной) границе. Выражая уравнения системы (1) - (8) через переменные и приходим к системе двух дифференциальных уравнений на три неизвестные ,, : (10) (11) Константа характеризует расход жидкости: (12) Для приведения системы (10) - (11) к безразмерному виду возьмем следующие величины: (13) Безразмерные аналоги соответствующих размерных величин будем помечать знаком тильда. После приведения к безразмерному виду система (10) - (11) примет вид: (14) (15) Граничные условия примут вид: (16) Третье граничное условие (16) получено из третьего граничного условия в (9) и уравнения (4). Четвертое граничное условие из (16) (при заданном втором условии) регулирует величину расхода жидкости. В ряде практических задач требуется обеспечить заданный расход жидкости. В этом случае вместо граничных условий (16) следует использовать условия: (17) Тем самым выходное давление в четвертом граничном условии (16) определится из решения задачи. Решение задачи Для численного решения системы (14)-(15) возьмем следующие размерные величины, качественно соответствующие протеканию воды сквозь песчаный каркас [8]: (18) Для коэффициентов интерактивных сил возьмем последовательно две пары значений: Вязкость воды при нормальных условиях имеет порядок . За характерный размер пор возьмем величину [2, 10]. Тогда для числа Рейнольдса получим оценку порядка . Согласно таблице влияния интерактивных сил [6] основной “силовой” вклад будут вносить силы типа Дарси и фронтального напора. При помощи программного пакета Maple для параметров (18) численно решим систему (14)-(15) с условиями (17) (задав значение ). Графики основных величин (для двух пар значений ) : скорости жидкости , перемещения точек каркаса , истинного давления в порах , истинного значения плотности жидкости в зависимости от представлены на рисунках 1 а)-г) (пунктирной линией построен график для случая (10, 100), а сплошной — для случая (10, 1) ). График 1а показывает, что скорость течения жидкости на границе проникновения в пористый каркас выше скорости на выходе (в силу постоянства расхода и увеличения площади поверхности цилиндра при увеличении радиуса). График 1б показывает, что перемещения точек каркаса возрастают от входа к выходу (в силу наличия интерактивных сил), причем увеличение коэффициента силы Дарси влечет увеличение перепада. Также на рисунке видно, что в точке графики имеют нулевую производную по , что согласуется с третьим граничным условием в (17). Рисунок 1. График (а) скорости течения жидкости; (б) перемещения точек каркаса; (в) истинного давления в порах; (г) истинной плотности жидкости Истинное давление и истинная плотность жидкости на входе выше своих выходных значений (рисунки 1в и 1г, соответственно), причем увеличение коэффициента силы Дарси также влечет увеличение перепада величин. Заключение Полученные численные решения согласуются с механическим смыслом параметров, входящих в задачу. Как видно из входных и выходных значений всех величин, увеличение коэффициента Дарси вызывает увеличение перепада значений от входа к выходу, что соответствует его механическому смыслу (этот коэффициент характеризует “фильтрационные” свойства интерактивных сил). Литература