Кинематический расчет шестизвенного рычажного механизма аналитическим методом

Аннотация

В статье рассмотрена возможность аналитического расчета кинематических параметров многозвенных рычажных механизмов 2-го класса 2-го порядка с использованиемначал аналитической геометрии на плоскости и дифференциального исчисления. Выведены аналитические зависимости для определения линейных и угловых скоростей и ускорений точек и звеньев кулисно-рычажного 6-тизвенного механизма. Приведены примеры графиков, полученных с использованием расчетной математической программыMathCad 14.

Полный текст

Современный уровень развития машиностроения требует высокой точности выполнения расчетов. В настоящее время в кинематическом расчете применяют, как правило, графические методы, которые, наряду с наглядностью, доступностью, простотой, имеют существенный недостаток: они становятся затруднительными, если требуется провести большой объем однообразных построений, а вследствие неизбежных погрешностей точность их результатов может оказаться недостаточной для практического применения. В настоящей работе приведены аналитические зависимости для кинематического расчета шестизвенного кулисно-рычажного механизма 2-го класса с использованием начал аналитической геометрии на плоскости и дифференциального исчисления, показан порядок и последовательность выполнения расчетов. При этом приводятся лишь функции положения точек звеньев. Передаточные же функции легко найти с помощью современных прикладных расчетных программ для ЭВМ, например, MathCad. Ранее в работах [1, 2] были выведены аналогичные аналитические зависимости для расчета механических параметров рычажных механизмов насоса и пресса, использованные студентами при выполнении курсовых работ с применением расчетных математических программ MathCad. Рассмотрим схему шестизвенного рычажного механизма, имеющего два выходных звена: ползун 4 и шток 6 (рисунок 1). Рисунок 1 – Схема механизма Выходные звенья нагружены внешними силами полезного (технологического) сопротивления, значения которых могут быть заданы таблицами или графиками и , где – угол поворота кривошипа (обобщенная независимая координата). Ползун 4 образует поступательную кинематическую пару С с горизонтальной неподвижной направляющей, а шток 6 – поступательную пару Е с вертикально расположенной неподвижной направляющей. Направляющие являются частями неподвижного корпуса (стойки) технического устройства. Они показаны штриховкой и обозначены цифрой 0. Ось направляющей ползуна 4 проходит через центр шарнира А кривошипа 2 (входного звена механизма), ось штока 6 смещена на величину L. Свяжем со схемой механизма прямоугольную систему координат XOY так, чтобы ее начало находилось в центре шарнира A. Введем обозначения: AB = r, BC = l, расстояние до центра масс S3 шатуна BS3 = b, смещение направляющей штока 6 – L. Остальные обозначения показаны на схеме механизма. Определяем координаты точек B и C: , , (1) , . (2) Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, имеет вид [3]: При это выражение преобразуется в общее уравнение прямой ВС . (3) Уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно оси Y на расстоянии L от начала координат: X=L. (4) Найдем координаты точки D пересечения этой прямой с прямой ВС. Решаем совместно уравнения (3) и (4). Для определения координат точки (центра масс шатуна ВС) делим отрезок BC в заданном соотношении [3]. Обозначим = , тогда [3] (5) Отсюда: (6) (7) Положение шатуна ВС определяется углом β. Из прямоугольного треугольника ВВ'С имеем: , . (8) Переходим к определению линейных и угловых скоростей и ускорений точек и звеньев механизма. Для этого необходимо продифференцировать по обобщенной координате φ (углу поворота кривошипа) функции положения (координаты точек и угол β), затем первую производную умножить на угловую скорость кривошипа , а вторую производную – на . Тогда скорость точки С ползуна 4 (9) а ускорение (10) Проекции скорости центра масс S3 шатуна: . , , (11) а проекции ускорения: . (12) Скорость точки D штока 6: , (13) ускорение точки D: (14) Определив первую и вторую производные угла β по углу φ, находим угловую скорость и угловое ускорение шатуна 3: , . (15) Рисунок 2 – График скорости точки D штока 6 Рисунок 3 – График ускорения точки D штока 6 а б Рисунок 4 – График угловой скорости (а) и углового ускорения (б) шатуна 3 Вычисления удобно производить с использованием расчетных математических программ для ЭВМ MathCad. Результаты расчета выводятся в виде таблиц или графиков. Примеры графиков представлены на рисунках 2, 3, 4 и 5. Проверка результатов, проведенная с помощью графических методов подтвердила правильность выведенных зависимостей. Характеры изменения графиков полностью совпадают.