Kinematic calculation ofsix-memberedlinkage using theanalytical method

Abstract

In this article the possibility of analytical calculation of kinematic parameters of thehinged laddermechanisms of the 2-nd class and 2-nd order with the use of analytical geometrybasis in the plane and differential calculus is considered.Derived analytical dependences for determination of the linear and angular velocities and accelerations points and links of six-linkedlever mechanism.Examples of graphs, obtained with the use of the calculation of the mathematical programs MathCad 14 are introduced.

Full Text

Современный уровень развития машиностроения требует высокой точности выполнения расчетов. В настоящее время в кинематическом расчете применяют, как правило, графические методы, которые, наряду с наглядностью, доступностью, простотой, имеют существенный недостаток: они становятся затруднительными, если требуется провести большой объем однообразных построений, а вследствие неизбежных погрешностей точность их результатов может оказаться недостаточной для практического применения. В настоящей работе приведены аналитические зависимости для кинематического расчета шестизвенного кулисно-рычажного механизма 2-го класса с использованием начал аналитической геометрии на плоскости и дифференциального исчисления, показан порядок и последовательность выполнения расчетов. При этом приводятся лишь функции положения точек звеньев. Передаточные же функции легко найти с помощью современных прикладных расчетных программ для ЭВМ, например, MathCad. Ранее в работах [1, 2] были выведены аналогичные аналитические зависимости для расчета механических параметров рычажных механизмов насоса и пресса, использованные студентами при выполнении курсовых работ с применением расчетных математических программ MathCad. Рассмотрим схему шестизвенного рычажного механизма, имеющего два выходных звена: ползун 4 и шток 6 (рисунок 1). Рисунок 1 – Схема механизма Выходные звенья нагружены внешними силами полезного (технологического) сопротивления, значения которых могут быть заданы таблицами или графиками и , где – угол поворота кривошипа (обобщенная независимая координата). Ползун 4 образует поступательную кинематическую пару С с горизонтальной неподвижной направляющей, а шток 6 – поступательную пару Е с вертикально расположенной неподвижной направляющей. Направляющие являются частями неподвижного корпуса (стойки) технического устройства. Они показаны штриховкой и обозначены цифрой 0. Ось направляющей ползуна 4 проходит через центр шарнира А кривошипа 2 (входного звена механизма), ось штока 6 смещена на величину L. Свяжем со схемой механизма прямоугольную систему координат XOY так, чтобы ее начало находилось в центре шарнира A. Введем обозначения: AB = r, BC = l, расстояние до центра масс S3 шатуна BS3 = b, смещение направляющей штока 6 – L. Остальные обозначения показаны на схеме механизма. Определяем координаты точек B и C: , , (1) , . (2) Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, имеет вид [3]: При это выражение преобразуется в общее уравнение прямой ВС . (3) Уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно оси Y на расстоянии L от начала координат: X=L. (4) Найдем координаты точки D пересечения этой прямой с прямой ВС. Решаем совместно уравнения (3) и (4). Для определения координат точки (центра масс шатуна ВС) делим отрезок BC в заданном соотношении [3]. Обозначим = , тогда [3] (5) Отсюда: (6) (7) Положение шатуна ВС определяется углом β. Из прямоугольного треугольника ВВ'С имеем: , . (8) Переходим к определению линейных и угловых скоростей и ускорений точек и звеньев механизма. Для этого необходимо продифференцировать по обобщенной координате φ (углу поворота кривошипа) функции положения (координаты точек и угол β), затем первую производную умножить на угловую скорость кривошипа , а вторую производную – на . Тогда скорость точки С ползуна 4 (9) а ускорение (10) Проекции скорости центра масс S3 шатуна: . , , (11) а проекции ускорения: . (12) Скорость точки D штока 6: , (13) ускорение точки D: (14) Определив первую и вторую производные угла β по углу φ, находим угловую скорость и угловое ускорение шатуна 3: , . (15) Рисунок 2 – График скорости точки D штока 6 Рисунок 3 – График ускорения точки D штока 6 а б Рисунок 4 – График угловой скорости (а) и углового ускорения (б) шатуна 3 Вычисления удобно производить с использованием расчетных математических программ для ЭВМ MathCad. Результаты расчета выводятся в виде таблиц или графиков. Примеры графиков представлены на рисунках 2, 3, 4 и 5. Проверка результатов, проведенная с помощью графических методов подтвердила правильность выведенных зависимостей. Характеры изменения графиков полностью совпадают.