Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при поперечном сжатии

Полный текст

Решению задач статики плоской теории упругости о концентрации напряжений в однородных телах, имеющих всевозможного рода вырезы, отверстия и включения, посвящена обширная литература (см. [1]). На этом фоне в значительной мере не исследованными представляются вопросы концентрации напряжений в таких неоднородных объектах, как тела слоистой структуры, имеющие отверстия и включения. Из решенных здесь отметим, в частности, задачи о концентрации напряжений в двухслойных упругих средах с дефектами типа щелей и включений на межслойной границе [2, 3]. Укажем, кроме того, на работы авторов [4, 5], где с использованием вариационно-разностной процедуры [6] выполнены решения задач о концентрации напряжений применительно к случаю ослабленной круговым отверстием двухслойной упругой полуплоскости в ситуациях продольного растяжения и поперечного сжатия, а также – на работу [7], где аналогичным образом осуществлено решение применительно к случаю продольно растягиваемой трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными во втором слое круговыми отверстиями. В настоящей статье та же трехслойная плоскость, что и в работе [7], рассматривается в ситуации поперечного сжатия. Численное решение соответствующей задачи осуществляется с применением вариационно-разностной модели, описанной в работе [7]. При численном моделировании вместо бесконечно протяженного объекта, каким является упомянутая поперечно сжимаемая (равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью ) трехслойная плоскость, рассматриваем конечную прямоугольную область с размерами, многократно превышающими радиус отверстия. Соответствующая расчетная схема представлена на рисунке 1. При этом имеется в виду, что , (при расчетах принято ). Продольные сжимающие нагрузки с интенсивностями и предполагаются равномерно распределенными по торцам соответствующих слоев. Считаем, что материалы первого и третьего слоев одинаковы и что отверстия расположены симметрично по отношению к срединной линии второго слоя. Считаем также, что в рамках принятой схемы нагружения в каждом из слоев рассматриваемой трехслойной плоскости на бесконечности реализуется состояние однородной деформации. При этом полагаем, что продольные деформации на бесконечности стеснены настолько, что можно принять . С учетом симметрии принятой расчетной схемы трехслойной плоскости относительно срединной линии второго слоя расчет нагрузок, обеспечивающих указанное однородное деформированное состояние в слоях на бесконечности, выполним, рассматривая вспомогательную расчетную схему в виде соответствующего двухслойного пакета (рисунок 2) в ситуации поперечно-продольного сжатия нагрузками , и Рисунок 1 – Схема поперечно сжимаемой трехслойной плоскости, ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями Рисунок 2 – Двухслойный пакет в ситуации поперечно-продольного сжатия Введем обозначения , для модулей Юнга и коэффициентов Пуассона материалов первого и второго слоя. С учетом этого физические соотношения плоской задачи теории упругости, связывающие напряжения с деформациями в каждом из этих слоев, запишем в виде: , , (1) Коэффициенты , , линейных зависимостей (1) выражаются через упругие постоянные и согласно следующей схеме: 1) 2) в случае плоского напряженного состояния , ; 3) в случае плоского деформированного состояния , , где: . В соответствии с принятыми условиями нагружения и деформирования рассматриваемого двухслойного пакета должно быть: (2) , (3) (4) (5) Считая заданной величину , с использованием равенств (1), (3), (5), получаем: (6) (7) Настройка дискретной модели, описанной в работе [7], на интересующий нас случай поперечного сжатия ослабленной двумя круговыми отверстиями трехслойной плоскости осуществляется путем включения в программу расчета нагрузки , а также нагрузок и , вычисляемых по формулам (6). Как и в [7], все расчеты приводим в предположении, что , и что исследуемая трехслойная среда находится в состоянии плоской деформации. Тестирование окончательно сформированной вычислительной модели осуществляем следующим образом. Полагаем (на программном уровне), что параметры упругости слоев рассматриваемой прямоугольной области имеют одинаковые значения и что . Тем самым приходим к случаю сжимаемой в вертикальном направлении (нагрузкой ) однородной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными отверстиями. Результаты численного моделирования для данного (тестового) случая в виде зависимости окружного напряжения на кромке отверстия от угла представлены (сплошной линией) на рисунке 3. Здесь же для сравнения представлены (точками) результаты приближенного аналитического решения А.С. Космодамианского [1]. Убедившись на основе выполненного сравнения в способности сформированной модели давать надежные результаты применительно к рассматриваемого типа задачам о концентрации напряжений, приступаем к исследованию (с использованием этой модели) заявленного случая поперечного сжатия трехслойной плоскости с двумя отверстиями. На рисунке 4 представлены полученные численным моделированием результаты в виде кривых распределения напряжений по контуру отверстия в зависимости от значений упругих постоянных слоев. Пунктиром выделена зависимость, относящаяся к случаю однородной плоскости ( , ). Кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7 получены при задании значений параметров в виде (10; 0,45; 0,1), (2; 0,45; 0,1), (0,1; 0,45; 0,1), (0,1; 0,1; 0,45), (2; 0,1; 0,45), (10; 0,1; 0,45), соответственно. Рисунок 3 – Результаты численного моделирования в сравнении с аналитическим решением А.С. Космодамианского Рисунок 4 – Распределение напряжений по контуру отверстия в зависимости от значений упругих постоянных слоев При анализе результатов, представленных на рисунке 4, обнаруживается эффект перехода (при значениях , приближающихся к ) положения максимума (по абсолютной величине) напряжений на контуре отверстия из зоны в точку с угловой координатой при одновременном увеличении значения этого максимума (см. кривые 3, 4, 5). Подобный эффект существенным образом ограничивает возможности по снижению уровня напряжений на кромке отверстия в данной ситуации. Наиболее оптимальными при этом оказываются варианты 3 и 5. Следует отметить, что при выборе этих вариантов сдвиговые напряжения на межслойной границе (вблизи отверстия), как показывают расчеты, соответственно уменьшаются в раза и увеличиваются в раза по сравнению с однородным случаем. Что касается точек рассматриваемой трехслойной области, достаточно удаленных от отверстий (на расстоянии более ), то получаемые численным моделированием значения напряжений и деформаций в этих точках оказываются в хорошем согласовании со значениями, получаемыми по формулам (2)-(7). Это подтверждает приемлемость принятой при моделировании расчетной схемы, в соответствии с которой исходная бесконечно протяженная область заменяется конечной прямоугольной областью с размерами . В качестве общего вывода по выполненному исследованию отметим, что проведенный анализ позволил дать оценку влияния слоистой структуры поперечно сжимаемой плоскости на характер распределения напряжений вокруг имеющихся в ней двух одинаковых отверстий. Более того, установлена возможность снижения уровня указанных напряжений при надлежащем выборе характеристик слоев.

Об авторах

В. Л Михайлова

Университет машиностроения (МАМИ)

к.т.н. доц.

Л. Г Сухомлинов

Университет машиностроения (МАМИ)

д.т.н. проф.

В. А Мазин

Университет машиностроения (МАМИ)

Список литературы

Дополнительные файлы