Обобщенный метод дополнительных деформаций в задаче о кручении стержня

Аннотация

На примере решения задачи о кручении стержня в упругопластической постановке методом граничных элементов показана эффективность обобщенного метода дополнительных деформаций. Проведено исследование скорости сходимости в зависимости от приведенного модуля сдвига и угла закрутки. Продемонстрировано существование оптимального приведенного модуля сдвига, при котором скорость сходимости метода максимальна.

Полный текст

При решении задач теории пластичности применяют итерационные методы: переменных параметров упругости, дополнительных деформаций, упругих решений, метод Ньютона и другие [1, 2, 3, 4]. Линеаризация на основе метода переменных параметров упругости и метода Ньютона приводит к необходимости изменения оператора задачи (пересчёта матрицы жёсткости при решении методом конечных элементов). В отличие от них методы дополнительных деформаций и упругих решений не требуют изменения оператора задачи, и приводят только к пересчёту объёмных сил на каждой итерации. Для решения нелинейных задач методом конечных элементов традиционно используют метод переменных параметров упругости и метод Ньютона (или их модификации), так как они обеспечивают более высокий порядок сходимости по сравнению с остальными методами. Однако в задачах, которые сводятся к граничным интегральным уравнениям, непосредственно применить методы, изменяющие оператор, не удаётся (в общем случае аналитически построить соответствующее фундаментальное решение затруднительно, либо невозможно), поэтому используют методы, переводящие нелинейность в объёмные силы. Основной проблемой является низкая скорость сходимости таких методов. На примере задачи кручения стержня рассмотрим основанный на изменении оператора задачи [1] способ, позволяющий увеличить скорость сходимости. Как известно [5], задача о кручении стержня постоянного сечения приводит к интегрированию уравнений: (1) где: , ‑ сдвиговые напряжения в сечении стержня, ‑ угол поворота на единицу длины, ‑ модуль сдвига. Первое уравнение в (1) – уравнение равновесия, второе – следствие уравнения совместности деформаций, которое получено из условия, что каждое сечение стержня поворачивается вокруг оси стержня как жёсткое целое, а перемещение точек сечения в направлении, перпендикулярном оси стержня, не зависит от осевой координаты : . (2) Будем искать решение в виде: (3) где: ‑ неизвестная функция, называемая функцией напряжения. Подстановка (3) в первое уравнение (1) даёт тождественный ноль, а во второе – приводит к уравнению Пуассона: . (4) На границе односвязной области функция напряжения должна удовлетворять однородному граничному условию: . (5) Согласно деформационной теории пластичности, зависимости между деформациями и напряжениями имеют вид: , (6) где: ‑ безразмерный коэффициент, называемый параметром пластичности [2], . (7) Зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций (8) называется обобщенной кривой деформирования, и определяется экспериментально. Запишем выражения (6) в виде , (9) где: слагаемое представляет собой напряжение в чисто упругом теле при заданных полных деформациях , а ‑ напряжение сжатия, которое необходимо приложить в каждой точке такого тела, чтобы получить напряжение, соответствующее упругопластическому состоянию. Если известны напряжения , можно используя кривую деформирования (8) рассчитать (7) параметр пластичности , вычислить , и найти дополнительные (пластические) деформации , которые необходимо приложить в упругом теле, чтобы получить напряжения, соответствующие упругопластическому деформированию (рисунок 1а): . (10) Для решения задачи упругопластического деформирования стержня методом дополнительных деформаций, модифицируем второе уравнение (1) с учётом начальных деформаций : . (11) Итерационный процесс расчёта начинается с нулевых дополнительных деформаций , где ‑ номер итерации. Решаем упругую задачу, по расчетным напряжениям находим по зависимости (10) дополнительные пластические деформации для следующего шага: . (12) В качестве критерия остановки итераций примем: , (13) где: задаёт точность вычислений, а интегрирование ведётся по поперечному сечению стержня . В работе [1] предложено на этапе решения упругой задачи вместо реального модуля сдвига использовать фиктивный модуль: , (14) где: ‑ некоторый параметр. Как доказано в [1], параметр должен лежать в интервале , и существует значение , при котором достигается максимальная для данного метода скорость сходимости. Расчётные формулы принимают вид: , . (15) На рисунке 1б показана итерация метода дополнительных деформаций с использованием фиктивного модуля . Рисунок 1 – а) расчет по методу дополнительных деформаций; б) расчет по методу обобщенных дополнительных деформаций Для решения задачи (15), (5) используем метод граничных элементов [6]. Соответствующее граничное интегральное уравнение имеет вид , (16) где: ‑ фундаментальное решение уравнения Лапласа, точка лежит на границе области сечения стержня , а обозначает правую часть исходного уравнения (15). Для дискретизации границы применим элементы с постоянными значениями неизвестных на них, а для интегрирования по области используем сетку треугольников. Далее используем стандартные процедуры метода граничных элементов, подробно описанные в работах [6, 7]. Рассмотрим задачу кручения стержня, поперечное сечение которого представлено на рисунке 2а, где: мм, , мм. Рисунок 2 – а) геометрия области; б) диаграмма деформирования материала Диаграмма деформирования для материала приведена на рис. 2б), предел текучести материала МПа, предел прочности ‑ МПа, модуль сдвига ‑ Па. Расчет ведётся до достижения точности . При небольших значениях угла закручивания стержень деформируется упруго. Угол, при котором в стержне возникают пластические деформации, обозначим . Для области, изображенной на рисунке 2а, . Результаты расчета МГЭ напряженного состояния в рассматриваемом сечении в момент возникновения в нем пластических деформаций отображены на рисунках 3 и 4. Рисунок 3 – Распределение значений функции напряжений Рисунок 4 – Распределение абсолютных значений напряжений и в упругой области , , С момента появления в теле пластических деформаций значения напряжений продолжают увеличиваться, пока не достигнут величины предела прочности материала . Угол закручивания , при котором напряжения в теле достигают предела прочности, назовем предельным углом закручивания. Для рассматриваемой области . Результаты расчета МГЭ при закрутке на предельный угол отображены на рисунке 5. Рисунок 5 – Распределение абсолютных значений напряжений и в упругопластической области, в предельный момент напряженно-деформированного состояния , , . Число итераций в зависимости от параметра пластичности для различных значений угла , лежащих в диапазоне от до , приведено в таблице 1 (угол соответствует моменту возникновения в сечении стержня пластических деформаций, угол ‑ моменту, когда пластические зоны, возникающие на противоположных сторонах сечения, сливаются между собой). В таблице 1 для каждого угла закрутки отмечены значения параметра , при которых достигается минимальное число итераций . Таблица 1 Число итераций в зависимости от параметра пластичности и угла закрутки Рисунок 6 – Зависимость среднего числа итераций от параметра пластичности На рисунке 6 приведены графики зависимости отношения числа итераций к минимальному числу итераций от параметра . Для малых углов закрутки и, как следствие, небольших пластических деформаций ( ), использование оптимального может давать более чем двукратное снижение числа итераций. При больших углах закрутки использование оптимального уменьшает количество итераций на 20-40%. Авторы выражают благодарность инженеру А. Румянцеву за проведенные расчеты. Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 12-01-00109) и гранта поддержки Фундаментальных Научных Школ Российской Федерации СС-4140.2008.8.