Mathematical model creation for the lithium-ion battery and its comparing with analogs

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В автомобильной промышленности в настоящее время наблюдается существенное изменение структуры рынка в связи с изменением стратегий европейских регуляторов, стремящихся сократить выбросы парниковых газов на континенте. Уже к 2035 году по решению Еврокомиссии на территории Евросоюза будут запрещены к выпуску автомобили, работающие на традиционных видах ископаемого топлива. Таким образом, из всех возможных альтернатив электромобили видятся как наиболее конкурентная альтернатива для выхода из сложившейся ситуации [1−4].

Использование электромобилей способно полностью устранить парниковый эффект, их энергоэффективность превосходит аналоги на ДВС, а относительно простое устройство трансмиссии позволяет быстрее налаживать их массовое производство.

Однако повсеместное внедрение электромобилей осложнено проблемами, связанными с аккумулятором. Производителям необходимо решать задачи прогнозирования времени автономности автомобиля, решать проблемы с зарядкой, изучать влияние условий эксплуатаций на срок службы батарей, снижать их стоимость [5, 6].

Характеристики реального автомобиля могу быть серьезно улучшены за счет соответствующей электроники и программного обеспечения. По этой причине становится актуальной задача создания цифровой модели всего электромобиля и ее дальнейшая валидация.

Основная цель данной статьи – исследовать существующие имитационные модели работы аккумулятора, сравнить их результаты с экспериментальными данными и повысить точность благодаря использованию динамической модели, учитывающей процессы гистерезиса.

ЭЛЕКТРОТЕРМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯЧЕЙКИ АККУМУЛЯТОРНОЙ БАТАРЕИ В AMESIM

В качестве базовой модели для дальнейшего сравнения используется расширенная динамическая модель эквивалентной схемы (рис. 1), представленная в библиотеке Electric Storage Simcenter Amesim.

 

Рис. 1. Модель динамической эквивалентной схемы аккумуляторного элемента.

Fig. 1. Model of the dynamic equivalent circiut of an accumulator cell.

 

Данная модель включает дополнительные RC-цепи для правильного определения динамических характеристик батареи, связанных с явлениями диффузии (C_diff, R_diff) и переноса заряда (C_ct, R_ct). Эта модель может использоваться для моделирования динамического поведения и тепловых переходных процессов в батарее. Данное представление может быть очень простым, учитывающим только две основные характеристики:

• напряжение холостого хода (OCV), которое определяет напряжение батареи в состоянии покоя;
• омическое сопротивление R, определяющее мгновенное падание напряжения от тока заряда или разряда.

Также оно позволяет активировать моделирование различных сложных явлений, таких как:

• КПД Фарадея, который учитывает потери, возникающие во время зарядки. Данный коэффициент описывает эффективность, с которой происходит передача зарядов при электрохимической реакции;
• моделирование гистерезиса, которое учитывает изменение напряжения холостого хода, связанное с историей заряда и разряда;
• коэффициент энтропии, который моделирует изменение напряжения холостого хода из-за изменения температуры и обратимого теплового потока, связанного с этим явлением;
• диффузию и передачу заряда, которые моделируются переходным процессом падения напряжения с использованием RC-цепей;
• температурный разгон, который представляет собой экзотермические реакции в ячейке во время нагрева;
• старение, которое оценивает календарное и циклическое старение по емкости и сопротивлению батареи.

Основные уравнения, описывающие модель аккумуляторной батареи выглядят следующим образом.

Уровень заряда:

$\frac{dSOC}{dt}=100\frac{I}{Q\text{'}}{\eta }_{farad}$,

где I – ток, А; Q – емкость батареи, Ач; ${\eta }_{farad}$– кулоновская эффективность.

Для каждой цепи C_diff, R_diff c номером i падение диффузионного напряжения $\Delta U_{diff}\left(i\right)$:

$\frac{d\left[\Delta U_{diff}\left(i\right)\right]}{dt}=\frac{-I-\frac{\Delta U_{diff}\left(i\right)}{R_{diff}\left(i\right)}}{C_{diff}\left(i\right)}$.

Для модели с переносом заряда падение напряжения:

$\frac{d\left(\Delta U_{ct}\right)}{dt}=\frac{-I-\frac{\Delta U_{ct}}{R_{ct}}}{C_{ct}}$.

Падение напряжения на омическом сопротивлении:

$\Delta U_{ohm}=-I{R}_{ohm}$.

Большинство параметров, необходимых для расчета, можно задать в виде таблиц, выражений или фиксированных значений.

В данном исследовании моделируется процесс работы литий-никель-марганец-кобальт-оксидного аккумулятора без учета эффектов гистерезиса. Основные характеристики аккумулятора представлены на рис. 2.

 

Рис. 2. Геометрические, термические и энергетические параметры ячейки.

Fig. 2. Geometric, thermal and power parameters of the cell.

 

На основании экспериментальных данных составлена модель виртуального испытательного стенда (рис. 3). На данном стенде батарея получает нагрузку в виде управляющего током сигнала, который соответствует значениям, полученным во время реального эксперимента. Результаты, полученные на виртуальной тестовой модели, сравниваются с результатами эксперимента.

 

Рис. 3. Виртуальный испытательный стенд.

Fig. 3. Virtual test stand.

 

ЭЛЕКТРОТЕРМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АККУМУЛЯТОРНОГО ЭЛЕМЕНТА С УЧЕТОМ ЭФФЕКТА ГИСТЕРЕЗИСА В СРЕДЕ MATLAB

Для наблюдения эффекта гистерезиса необходимо подать на ячейку постоянный ток, после чего замерить напряжение на клеммах. Далее кратковременно нагрузить ячейку током другого направления. Если это был достаточно короткий импульс, то уровень заряда изменился ничтожно мало, то есть можно считать, что SOC остался таким же, как и до импульса. Если вновь измерить напряжение на клеммах аккумулятора, то оно будет значительно отличаться от предыдущего значения. Это и есть эффект гистерезиса: напряжение на ячейке зависит от последнего значения силы и направления тока через ячейку [7–9].

На рис. 4 представлен график зависимости SOC от напряжения на клеммах ячейки в опыте, порядок проведения которого описан ниже:

• ячейка заряжена на 100% SOC;
• ячейку разряжают очень маленьким током (порядка C/30) до 0% SOC;
• ячейку заряжают очень маленьким током (порядка C/30) до 95% SOC;
• ячейку разряжают очень маленьким током (порядка C/30) до 5% SOC;
• ячейку заряжают очень маленьким током (порядка C/30) до 90% SOC

и т. д.

 

Рис. 4. Гистерезис литий-ионной ячейки.

Fig. 4. Hysteresis of the lithium-ion cell.

 

Так как ток разрядки и зарядки очень мал, можно пренебречь диффузией и считать, что напряжение на клеммах отличается от OCV только на величину гистерезиса. Для лучшего понимания выделим из графика гистерезис. Результат показан на рис. 5. Можно заметить, что при разрядке гистерезис отрицательный, а при зарядке положительный. Также видно, что в моменты переключения между зарядкой и разрядкой гистерезис быстро начинает убывать или расти к своему основному значению в данном режиме и чем текущее значение ближе к основному, тем медленнее оно меняется.

 

Рис. 5. Гистерезис литий-ионной ячейки, выделенный из общего графика.

Fig. 5. Lithium-ion cell hysteresis selected from the overall diagram.

 

Это явление можно примерно описать следующим дифференциальным уравнением:

$\frac{dh(z,t)}{dz}=\gamma \mathrm{sgn}\left(\dot{z}\right)\cdot \left(M(z,\dot{z})-h(z,t)\right)$,

где h – гистерезис, λ – коэффициент скорости роста и убывания, M – коэффициент пропорциональности между скоростью изменения гистерезиса и расстоянием от основного значения [10].

Умножим обе части на $\frac{dz}{dt}$:

$\frac{dh(z,t)}{dz}\cdot \frac{dz}{dt}=\gamma \mathrm{sgn}\left(\dot{z}\right)\cdot \left(M(z,\dot{z})-h(z,t)\right)\cdot \frac{dz}{dt}$.

Вспомним, что $\dot{z}\left(t\right)=\frac{-i\left(t\right)}{Q}\cdot \eta \left(t\right)$, и преобразуем выражение:

$\dot{h}\left(t\right)=-\left|\frac{\eta \left(t\right)i\left(t\right)\gamma }{Q}\right|h\left(t\right)+\left|\frac{\eta \left(t\right)i\left(t\right)\gamma }{Q}\right|M(z,\dot{z})$.

С помощью метода преобразования дифференциального уравнения в дискретное получим:

$h[k+1]=\exp \left(-\left|\frac{\eta \left(t\right)i\left(t\right)\gamma }{Q}\right|\right)h\left[k\right]+\left(1-\exp \left(-\left|\frac{\eta \left(t\right)i\left(t\right)\gamma }{Q}\right|\right)\right)M\mathrm{sgn}\left(i\left[k\right]\right)$.

Далее для удобства поделим обе части на M, а выражения h[k]/M и h[k+1]/M заменим на h[k] и h[k+1], как было до этого. Теперь h лежит в пределах от 0 до 1. Полное значение гистерезиса обозначим как:

$v_h\left[k\right]=M\cdot h\left[k\right]$,

где h можно найти по формуле:

$h[k+1]=\exp \left(-\left|\frac{\eta \left(t\right)i\left(t\right)\gamma }{Q}\right|\right)h\left[k\right]+\left(1-\exp \left(-\left|\frac{\eta \left(t\right)i\left(t\right)\gamma }{Q}\right|\right)\right)\mathrm{sgn}\left(i\left[k\right]\right)$.

На рис. 6 представлен график гистерезиса реальной ячейки (синий) и описанной модели (оранжевый). Значения меняются плавно во всем диапазоне и во все моменты времени. Поэтому данный гистерезис будем называть динамическим. Видно, что у математической модели вертикальные линии имеют наклон, в отличие от тех же линий на графике реальной ячейки. Очевидно, что необходимо добавить некоторую константу, на которую значение гистерезиса будет меняться сразу после изменения режима работы (зарядки и разрядки). Это даст более точное приближение к реальной ячейке [11].

 

Рис. 6. Сравнение гистерезиса реальной ячейки и созданной модели.

Fig. 6. Hysteresis comparison of a real cell and a created model cell.

 

Данную константу назовем мгновенным гистерезисом. Определим его следующим образом:

$h_i\left[k\right]=M_{0}s\left[k\right]$,

где $s\left[k\right]$ – знак тока (зарядка или разрядка) или предыдущее значение в случае отсутствия тока:

$s\left[k\right]=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{sgn}\left(i\left[k\right]\right),\left|i\left[k\right]\right|>0\\ s[k-1],i\left[k\right]=0\end{array}\right.$.

Таким образом, суммарный гистерезис равен:

$v\left[k\right]=M\cdot h\left[k\right]+M_{0}s\left[k\right]$.

График этой зависимости вместе с графиком реальной ячейки представлен на рис. 7.

 

Рис. 7. Улучшенная модель гистерезиса.

Fig. 7. Advanced hysteresis model.

 

Данное математическое описание явления гистерезиса можно добавить к общей математической эквивалентной модели, представленной на рис. 8.

 

Рис. 8. Итоговая эквивалентная модель литий-ионной ячейки.

Fig. 8. The final equivalent model of a lithium-ion cell.

 

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЛУЧЕННЫХ МОДЕЛЕЙ

В качестве нагрузки использован профиль, полученный в реальных условиях движения автомобиля в городском трафике (рис. 9).

 

Рис. 9. Профиль нагружения аккумуляторной ячейки.

Fig. 9. Accumulator cell loading profile.

 

Построим графики напряжения на клеммах аккумулятора. Первый график (красный) получен в результате тестирования реальной ячейки, второй (синий) построен на основе модели, учитывающей гистерезис, и, наконец, третий (оранжевый) является результатом моделирования эквивалентной динамической схемы в Amesim, без учета эффекта гистерезиса. На рис. 10 изображены графики части десятичасового теста, а на рис. 11 – сорока минут из середины теста, для лучшего понимания.

 

Рис. 10. Сравнение эквивалентной модели и реальной литий-ионной ячейки.

Fig. 10. Comparison of an equal model and a real lithium-ion cell.

 

Рис. 11. Сравнение эквивалентной модели и реальной литий-ионной ячейки (детальный вид).

Fig. 11. Comparison of an equal model and a real lithium-ion cell (in detail).

 

По этим данным была посчитана среднеквадратичная ошибка между реальным напряжением и напряжением, полученным при симуляции для обеих моделей. В результате модель, учитывающая эффект гистерезиса, показывает лучшую точность: 5.3 мВ по сравнению с 19.2 мВ для модели в Amesim.

ВЫВОДЫ

В настоящее время математическая эквивалентная модель литий-ионных ячеек создается на основании тонких химических особенностей конкретного аккумулятора и требует от месяца до полугода исследований, тестов и вычислений. Описанный в данной работе способ создания эквивалентной модели в отличие от ныне существующих позволяет получать хорошее приближение к реальному литий-ионному аккумулятору в кротчайшие сроки, так как он не основывается на химии литий-ионных ячеек и подходит для любого типа аккумуляторов. При этом точность итоговой математической модели, посчитанной данным способом, оказывается выше, чем точность модели, использующей сложные химические уравнения. Это позволяет точнее рассчитывать характеристики аккумуляторных батарей и оптимизировать время автономной работы электромобиля на трассе.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. К.Р. Барсегян – поиск и анализ публикаций по теме статьи, разработка имитационной модели аккумуляторной батареи в Matlab и ее анализ; М.А. Перепелица – разработка имитационной модели аккумуляторной батареи в Amesim, написание и редактирование текста рукописи, создание изображений; Д.О. Онищенко – экспертная оценка, утверждение финальной версии. Все авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. K.R. Barsegian contributed to analysis of research topic publications, creation of Matlab model for accumulator battery and its analysis; M.A. Perepelitsa created the Amesim simulating model for accumulator battery, wrote and edited a manuscript, formed pictures; D.O. Onischenko gave an expert evaluation and approved the final version of the manuscript. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work. The authors prove complaince of their authorship with ICMJE criteria.

Competing interests. The authors declare no any transparent and potential conflict of interests in relation to this article publication.

Funding source. Authors state that this reasearch was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Karen R. Barsegyan

Bauman Moscow State Technical University

Email: karen.barsegyan-2001@bk.ru
ORCID iD: 0000-0001-5358-3412
SPIN-code: 5689-2261

Engineer, LANIT, PLM Solutions Department

Russian Federation, Bldg 1, 14 Murmansky proezd, 129075, Moscow

Maxim A. Perepeliza

Bauman Moscow State Technical University

Email: m_perepelica@baumanracing.ru
ORCID iD: 0000-0002-2416-091X

Engineer, LANIT, PLM Solutions Department

Russian Federation, Bldg 1, 14 Murmansky proezd, 129075, Moscow

Dmitriy O. Onishchenko

Bauman Moscow State Technical University

Author for correspondence.
Email: doctor@baumanracing.ru
ORCID iD: 0000-0002-9960-1249
SPIN-code: 6488-5405

Dr. Sci. (Engin.), Professor of the Department of Combined Engines and Aternative Power Plants

Russian Federation, Bldg 1, 14 Murmansky proezd, 129075, Moscow

References

Supplementary files