The calculation of the peristaltic pump characteristics taking into account the roughnesses on the internal surface of the working member

Full Text

Введение В настоящее время наблюдается стремительный рост применения в различных областях миниатюрных гидравлических машин, обладающих такими качествами, как низкое энергопотребление и высокая надежность. Микронасосы широко применяют в медицине, химической промышленности, космической технике и микросистемах полного анализа для перекачки жидкостей и газов через микроканалы. Как правило, микроканалами называют каналы с размерами от 1 мкм до 1 мм [1]. Перистальтические насосы представляют собой гидравлические машины, в которых жидкость перекачивается за счет пережатия упругого рабочего органа тем или иным способом. Такие насосы, в отличие от других гидравлических машин, не имеют подвижных частей или клапанов в проточной части, герметичны, могут перекачивать эмульсии и суспензии. Их легко обслуживать, а при работе в качестве дозатора они могут обеспечивать подачу с точностью до 0,5 % [2, 3]. Вышеперечисленные преимущества делают перистальтические насосы перспективными для применения в областях, где требуются малые подачи. Существует ряд работ, посвященных изучению микронасосов перистальтического типа. В работе [4] авторы проводят экспериментальное исследование и численное моделирование при помощи пакета Ansys конструкции перистальтического насоса, в котором сжатие упругого рабочего элемента достигается при помощи пьезоэлементов, сжимающихся и расширяющихся под воздействием переменного электрического тока. Авторы работы [5] предлагают конструкцию перистальтического насоса, в котором в качестве рабочих элементов используются мембраны, также пережимаемые пьезоэлементами. В работе [6] предложена конструкция перистальтического насоса с мембраной, пережимаемой стальными шариками, приводимыми в движение внешним магнитным полем. В работе [7] проводят эксперименты для миниатюрного перистальтического насоса с трубкой, пережимаемой на одном и том же участке плунжером в поперечном направлении. Тем не менее, остается неосвещенным влияние шероховатости поверхности упругого рабочего органа на подачу перистальтического микронасоса. Производительность микронасосов составляет 0,3 - 2000 мкл/мин [8], поэтому режим течения жидкости в микронасосах, как правило, ламинарный. С одной стороны, согласно теории гидромеханики, шероховатость влияет на значение потерь напора только при турбулентном режиме течения [9]. Но, с другой стороны, многие последние исследования показывают, что для случая течения жидкости в микроканалах коэффициент трения может существенно зависеть от шероховатости поверхности также и при ламинарном режиме течения. Например, в работе [10] число Пуазейля, полученное экспериментально для течения в шероховатом канале, отличается на 11 % от числа Пуазейля для канала с гладкими стенками, полученного численным моделированием. Авторы работы [11] на основе результатов экспериментов, проведенных с использованием стальных труб диаметром 119 - 300 мкм, сделали вывод о необходимости учета влияния шероховатости, если относительная шероховатость больше 1 %. Численное исследование ламинарного течения в трубах диаметром вплоть до 700 мкм [12] показало, что коэффициент трения зависит от высоты и формы неровностей. Автор обзорной статьи [13] на основе анализа литературы также приходит к выводу, что шероховатость влияет на значение коэффициента трения при ламинарном течении через микроканалы. В монографии [14] представлены математические модели ламинарного течения жидкости в щелевых каналах с учетом влияния микротопографии поверхности стенок канала на характер течения. Вероятно, в каналах малых размеров шероховатость поверхности будет представлять собой местные гидравлические сопротивления, которые могут значительно влиять на течение перекачиваемой жидкости. Целью настоящей работы является моделирование течения жидкости через проточную часть перистальтического насоса с учетом неровностей поверхности упругого рабочего органа. Методика расчета В работе [15] была рассмотрена методика расчета характеристики перистальтического насоса с использованием уравнения Бернулли, и было показано, что она дает погрешность в интервалы времени одновременного движения выжимных элементов. Рис. 1. Порядок срабатывания выжимных элементов в насосе, когда нет их одновременного движения В настоящей работе рассмотрим алгоритм работы насоса, когда нет одновременного движения выжимных элементов. Такой алгоритм работы перистальтического насоса с линейно расположенной трубкой показан на рис. 1. Сначала первый выжимной элемент сжимает трубку (рис. 1б), затем пока первый выжимной элемент держит трубку в сжатом состоянии, ее сжимает второй выжимной элемент (рис. 1в). Далее, когда трубка сжата первыми двумя выжимными элементами, ее сжимает третий выжимной элемент (рис. 1г). После этого выжимные элементы возвращаются в исходное положение по очереди в таком же порядке (рис. 1д-ж). Для моделирования течения в насосе можно воспользоваться формулами, полученными в работе [15], за исключением промежутков времени, в которые трубка сжимается третьим выжимным элементом (рис. 2) и когда первый выжимной элемент возвращается в исходное положение (рис. 3). Рис. 2. Схема сжатия трубки третьим выжимным элементом, когда первый выжимной элемент все еще сжимает трубку Рис. 3. Возвращение первого выжимного элемента для случая, когда третий элемент уже сжал трубку С учетом различий, показанных на рис. 2 и рис. 3, запишем выражения, из которых можно получить среднюю скорость течения жидкости через выходное сечение насоса. Для сжатия трубки первым выжимным элементом: (1) Для сжатия трубки вторым выжимным элементом: (2) Для сжатия трубки третьим выжимным элементом: (3) Для возвращения первого выжимного элемента в исходное положение: (4) Для возвращения второго выжимного элемента в исходное положение: (5) Для возвращения третьего выжимного элемента в исходное положение: (6) здесь dSh - изменение площади поперечного сечения в области сжатия за интервал времени dt, м2; a - длина выжимного элемента, м; vвых - мгновенные значения средней скорости в выходном сечении, м/с; g - ускорение свободного падения, м/с2; ρ - плотность жидкости, кг/м3; αвх, αвых, α1, α2 - коэффициенты Кориолиса в соответствующих частях трубки; l1, l3, l4, l5 - длины соответствующих участков трубки, м; d - внутренний диаметр трубки на участках l1 и l4, м; dвых - внутренний диаметр участка l5, м; Phm и Pсж - смоченные периметры в области сжатия, когда пластина находится в верхнем и нижнем положениях соответственно, м; k3 и kсж - коэффициенты, учитывающие влияние формы некруглого сечения на потери; µ - коэффициент динамической вязкости, Па∙с; Δp - перепад давления между сечением в конце участка l5 и входом в трубку, Па; Sсж и Shm - площади поперечного сечениях в соответствующих частях трубки, м2 [15]. При этом участок l5 не является частью насоса, а используется для имитации нагрузки. Теперь добавим в схему участки трубки, на внутренней поверхности которой есть неровности. Полученная схема для сжатия трубки первым выжимным элементом показана на рис. 4. Рис. 4. Схема перистальтического насоса, упругая трубка которого имеет участки с неровностями на входе и на выходе Согласно схеме насоса, показанной на рис. 4, в выражениях потерь на трение появятся дополнительные слагаемые, соответствующие участкам трубки с неровностями: ; , (7) где ∆hн1 - потери на участке длиной lн1, м; ∆hн2 - потери на участке длиной lн2, м. Введем эквивалентные длины l1нэ и l2нэ такие, что потери ∆hн1 численно равны потерям при течении жидкости по трубке без неровностей длиной l1нэ, а потери ∆hн2 - по трубке длиной l2нэ. Представим эти потери в следующей форме: ; . Таким образом, выражения (7) можно записать в виде: ; . (8) Тогда исходное выражение (1) примет вид: (9) Чтобы можно было решить полученное уравнение, нужно, соответственно, определить значения эквивалентных длин l1нэ и l2нэ. Для их определения был использован программный комплекс Star-CCM+. В нем были построены сеточные модели трубки с неровностями в форме треугольников, как показано на рис. 5. Так как для исследования были взяты неровности, симметричные относительно оси трубки, поэтому для сокращения числа расчетных ячеек и, таким образом, времени расчета, была построена только четверть трубки. Заметим, что при построении модели трубки меньше ее четверти в модели получается острый угол, в котором неизбежно создаются расчетные ячейки меньших размеров, что в итоге не дает дальнейшего выигрыша во времени расчета. Длина участка с неровностями составляла 3 см. В качестве граничных условий на входе задавалась скорость течения, а на выходе - давление. Так как скорость задавалась постоянной по всему входному сечению, то, чтобы распределение скоростей приняло характерный для ламинарного течения вид параболоида вращения, необходим дополнительный начальный участок трубы. Начальный участок ламинарного течения определяется по выражению lнач = 0,029 Re∙d [16]. Поэтому в случае расчета, когда в качестве рабочей жидкости использовалась вода, расстояние между входным сечением и участком с неровностями было взято 20 см, а когда для расчета было взято масло (µ = 0,088 Па·с, ρ = 855 кг/м3) - 4 см. Полученный в результате расчетов перепад давления между концом и началом участка с неровностями затем использовался для получения его эквивалентной длины: . (10) Рис. 5. Сеточные модели для определения значений эквивалентных длин l1нэ и l2нэ В результате численных расчетов с неровностями в виде симметричных треугольников были получены графики изменения эквивалентной длины от скорости и от числа Рейнольдса (рис. 6). Для неровностей в виде прямоугольных треугольников расчеты были проведены для течения в разных направлениях. При течении в прямом направлении эти неровности представляют собой чередующиеся конфузоры и внезапные расширения, а в обратном направлении - диффузоры и внезапные сужения. Рис. 6. Графики зависимостей эквивалентной длины участка трубки с неровностями в форме симметричных треугольников от скорости течения и от числа Рейнольдса: 1 - d = 3 мм, ∆н/d = 8,33 %, вода; 2 - d = 3 мм, ∆н/d = 6,67 %, вода; 3 - d = 3 мм, ∆н/d = 5 %, вода; 4 - d = 1 мм, ∆н/d = 5 %, вода; 5 - d = 3 мм, ∆н/d = 8,33 %, масло; 6 - d = 3 мм, ∆н/d = 6,67 %, масло; 7 - d = 2 мм, ∆н/d = 10 %, вода; 8 - d = 1 мм, ∆н/d = 10 %, вода Рис. 7. Графики зависимостей эквивалентной длины участка трубки с неровностями в форме несимметричных треугольников от числа Рейнольдса при течении в прямом (слева) и в обратном (справа) направлениях: 1 - d = 3 мм, ∆н/d = 8,33 %, вода; 2 - d = 3 мм, ∆н/d = 6,67 %, вода; 3 - d = 3 мм, ∆н/d = 5 %, вода; 4 - d = 3 мм, ∆н/d = 1,67 %, вода; 5 - d = 3 мм, ∆н/d = 8,33 %, масло; 6 - d = 1 мм, ∆н/d = 10 %, вода; 7 - d = 2 мм, ∆н/d = 10 %, вода Результаты расчетов с прямоугольными треугольниками показаны на рис. 7. Как и предполагалось, согласно теории гидродинамического подобия, при одних и тех же геометрических параметрах графики зависимости эквивалентной длины от числа Рейнольдса, полученные при расчетах с водой и с маслом, сходятся в одну линию. В то же время при одной и той же относительной высоте неровностей ∆н/d, но разных номинальных диаметрах графики не совпадают, что, по-видимому, связано с тем, что длина участков с неровностями и их шаг были везде взяты одинаковыми и потому не соблюдается геометрическое подобие. Эквивалентная длина участков с неровностями в виде прямоугольных треугольников получилась разной в зависимости от направления течения. В частности, для трубки с номинальным внутренним диаметром 3 мм большие значения эквивалентной длины соответствуют обратному течению жидкости, в то время как для меньших диаметров, наоборот, для прямого течения. Проанализировав графики, можно прийти к выводу, что в общем случае эквивалентная длина является функцией от числа Рейнольдса, длины участка с неровностями, относительной высоты неровностей и других геометрических параметров. Для подстановки эквивалентной длины в выражение (9) геометрические параметры можно считать постоянными, и тогда эквивалентная длина участка с неровностями будет зависеть только от числа Рейнольдса. Пусть полученные графики можно аппроксимировать многочленами вида: ; , (11) где θij - коэффициенты регрессии, м. Подставив (11) в (9), можно получить новые уравнения, которые будут использоваться для определения скорости. Вместо этого гораздо удобнее выразить новые слагаемые отдельно, а потом прибавить их к левой части уравнения (1). Используя выражения (11) получим следующие новые слагаемые: + + . (12) Для рассмотренных неровностей зависимости получились линейными, поэтому θ13 = θ23 = 0 и слагаемые (12) значительно упростятся: + - . (13) Анализ уравнений (2)-(6) показывает, что для учета участков с неровностями к ним надо добавить точно такие же слагаемые: в уравнения (2) и (3) слагаемые добавляются с тем же знаком, а в уравнениях (4)-(6) знак всех слагаемых (13) меняется на противоположный. Кроме того, так как необходимо учитывать направление течения в случае неровностей в виде прямоугольных треугольников, то коэффициенты θ11 , θ12 , θ21 , θ22 для уравнений (4)-(6) будут другими. Результаты и их обсуждение На рис. 8 показано сравнение результатов расчетов по разработанной методике и результатов численного эксперимента для трубки без участков с неровностями с геометрическими параметрами a = 14 мм, l1 = 15 мм, l4 = 15 мм, d = 3 мм, dвых = 2 мм, расстояние между выжимными элементами - 4 мм. В качестве рабочей жидкости взято масло. На рис. 9 показано сравнение для трубки с участками, на которых есть неровности в форме симметричных треугольников с относительной высотой неровностей 0,25 мм и шагом 0,5 мм. Регрессионным анализом графиков было получено θ11 = θ21 = 5,60∙10-2 м, θ12 = θ22 = 1,19∙10-4 м. Рис. 8. Изменение средней скорости в выходном сечении насоса для трубки без участков с неровностями: 1 - результаты численных экспериментов, 2 - результаты расчетов по разработанной методике Рис. 9. Изменение средней скорости в выходном сечении насоса для трубки с участков, на которых есть неровности в форме симметричных треугольников: 1 - результаты численных экспериментов, 2 - результаты расчетов по разработанной методике Сравнение графиков на рис. 8 и рис. 9 показывает, что расчет по разработанной методике дает хорошее совпадение с численными экспериментами для алгоритма работы насоса без одновременного движения выжимных элементов. Для случая с симметричными треугольниками скорость при сжатии трубки выжимными элементами получается больше, но также увеличивается и обратный ток во время возвращения выжимных элементов в исходное положение и результирующая подача также получается меньше (рис. 10). Рис. 10. Напорная характеристика насоса: 1 - численные эксперименты, трубка без неровностей, 2 - расчет по разработанной модели, трубка без неровностей, 3 - численные эксперименты, неровности в виде симметричных треугольников, 4 - расчет по разработанной модели, неровности в виде симметричных треугольников, 5 - численные эксперименты, неровности в виде прямоугольных треугольников, 6 - расчет по разработанной модели, неровности в виде прямоугольных треугольников На рис. 10 также показана напорная характеристика для случая, когда есть участки с неровностями в виде прямоугольных треугольников, для которых было получено θ21 = 5,36∙10-2 м, θ22 = 1,37∙10-5 м, θ11 = 5,29∙10-2 м, θ12 = 7,79∙10-5 м при сжатии трубки. Расчет по разработанной методике показывает, что с повышением давления насоса его подача получается больше, чем для случая неровностей в форме симметричных треугольников, что достигается за счет разного гидравлического сопротивления в этих участках в зависимости от направления течения. При меньшем давлении, напротив, подача получается меньше. Численные эксперименты, однако, не показывают этой разницы, что может быть обусловлено недостаточным количеством расчетных ячеек вблизи стенок с неровностями. Сравнение построенных характеристик показало, что для неровностей в форме прямоугольных треугольников расчетная характеристика получилась под другим углом, чем для трубки без участков с неровностями и для неровностей в форме симметричных треугольников, которые практически параллельны. Заметим, что для получения одной точки напорной характеристики длительность одного численного эксперимента, в котором проводится совместный расчет течения жидкости и деформации трубки насоса, в зависимости от вида неровностей, составлял 25-30 часов. Для сравнения, численный расчет зависимости эквивалентной длины от числа Рейнольдса на том же компьютере составил около 1 часа, после чего с использованием разработанной методики расчета была построена сразу вся напорная характеристика. Разработанная методика, таким образом, позволяет получить характеристику с гораздо меньшими затратами времени и вычислительных ресурсов. Выводы Сравнение результатов расчетов показало, что разработанная методика расчета напорной характеритики перистальтического насоса с учетом неровностей поверхности рабочего органа дает хорошее совпадение с численными экспериментами, если нет одновременного движения выжимных элементов. При этом, хотя для этой методики необходимы зависимости эквивалентных длин участков с неровностями, которые также получаются численно, она требует гораздо меньше затрат времени по сравнению с полным численным моделированием. Сравнение построенных характеристик также показало, что для участков с несимметричными неровностями, которые имеют разную эквивалентную длину в зависимости от направления течения, характеристика получается под другим углом по сравнению с характеристиками, полученными для трубки с симметричными неровностями или без неровностей.

About the authors

A. I Grishin

Moscow Polytechnic University

Email: foxmccloud@rambler.ru
foxmccloud@rambler.ru

References

Supplementary files