Relative motion of coupled spacecrafts in polar coordinates
- 作者: Ivanov V.A1, Ruchinskiy V.S1, Ruchinskaya E.V1
-
隶属关系:
- MATI - Russian State Technological University
- 期: 卷 9, 编号 4-4 (2015)
- 页面: 29-34
- 栏目: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67005
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67005
- ID: 67005
如何引用文章
全文:
详细
This work is devoted to development of mathematical models of motion of coupled space ob- jects. The authors conducted a study of the relative motion trajectories of coupled spacecraft in po-lar coordinates.
全文:
УДК 629.783(075.8) Относительное движение связанных космических аппаратов в полярных координатах проф. Иванов В.А., проф. Ручинский В.С, к.т.н. Ручинская Е.В. МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского 2svr@mail.ru Аннотация. Данная работа посвящена разработке математических моделей движения связанных космических объектов. Проведено исследование траекторий относительного движения связанных космических аппаратов в полярных коорди- натах. Ключевые слова: связанные космических аппараты, тросовые системы, центр масс, визирная и орбитальная системы координат, орбитальный по- лет, ближнее наведение, управление сближением. Введение Проведенные эксперименты подтвердили возможность использования связанных кос- мических аппаратов для решения научных, народнохозяйственных и специальных задач. Рассмотрению конкретных направлений практического использования тросовых систем по- священо достаточно много работ [1, 4 - 16]. Постановка задачи Из методов управления сближением на участке ближнего наведения космических аппа- ратов (КА) наибольшего внимания заслуживает метод наведения при постоянной угловой скорости линии визирования. Метод постоянной угловой скорости линии визирования оказывается достаточно уни- версальным. За счет определенного выбора угловой скорости линии визирования можно осуществить реализацию сближения КА с жестким и мягким контактом, а также сближение с пролетом мимо определенного космического аппарата на заданном расстоянии с последую- щим удалением. Учитывая указанные обстоятельства, в дальнейшем при решении задачи сближения КА с использованием тросовой системы на участке ближнего наведения будем рассматривать применение метода постоянной угловой скорости линии визирования. Данная работа является продолжением исследования, изложенного в статье [15]. Анализ траекторий относительного движения в полярных координатах Относительное движение объектов в неподвижной визирной системе координат Ц н н н может характеризоваться изменением полярных координат D и (рисунок 1 в статье [15]). Воспользовавшись выражением d dt перепишем уравнение относительного движения при постоянной угловой скорости линии визирования (3) [15]: 2 2 d D D2 d C . d t d t Это дифференциальное уравнение легко привести к следующему виду: dD d D2 A , где A C . 2 (1) Выражение для константы A может быть записано через начальные значения параметров относительного движения: D 2 0 A D2 0 2 . (2) 0 Таким образом, относительное движение объектов при const в полярных координатах определяется нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка второй степени. Рассмотрение этого уравнения, а также соотношений (3) показывает, что траектория относительного движения полностью определяется начальными значениями D0 , 0 и не зависит от относительной скорости. При одних и тех же значения D0 , 0 0 и разных Vотн движение будет происходить по одной и той же траектории, но с разными скоростями. Проинтегрировав выражение (1), получим уравнение траектории относительного дви- жения в полярных координатах. В случаях сближения ( dD 0 ) : d 1 D D2 A Ae0 2 D 0 0 D 0 , ln 0 D0 A . (3) 2 e0 D D2 A D D2 A 0 0 В случае удаления ( dD 0 ): d 2 2 0 D 1 D D A e A , ln D D A . (4) 0 0 2 0 0 2 2 D D A e D D A 0 0 0 0 При A 0 имеют место траектории сближения и удаления первой группы, а при A 0 - траектории второй группы. В случае необходимости по величине производной dD d легко определяется значение скорости сближения или удаления . dD D (5) d Поэтому из (1) также непосредственно следует, что относительное движение при const характеризуется непрерывным уменьшением скорости сближения или непрерывным увеличением скорости удаления объектов. Сближение при ется мягкой встречей. A 0 в пределе заканчива- Перейдем к рассмотрению относительного движения при постоянной угловой скорости ~ линии визирования в координатах D D относительную дальность ~ . и . Преобразуем уравнение (1), введя безразмерную dD d D2 D2 0 2. (6) ~ Запишем уравнение траектории в полярных координатах D и , используя в качестве параметра величину D . 0 В случае сближения ( dD 0 ): d 1 1 D D 2 1 0 D 2 0 2e0 , ln D 1 2 1 0 . (7) 2 e0 D 1 2 1 0 0 D D2 D2 2 0 В случае удаления ( dD 0 ): d 1 D2 2 D D2 D2 2 D 1 D2 1e 0 0 D , ln 0 . (8) 0 2 2 0 1 2 1 e 0 0 1 D 1 0 Рисунок 1. Траектории относительного движения при сближении, оканчивающимся встречей ( D 0 2 ) или пролетом мимо цели (точка Ц ) с последующим удалением ( D 2 ) 0 На рисунке 1 изображены траектории относительного движения при сближении, окан- чивающимся встречей ( D 0 2 ) или пролетом мимо цели (точка Ц ) с последующим уда- ~ лением ( D 0 2 ). Траектории построены для безразмерных относительных дальностей D . Пунктирная линия представляет собой геометрическое место точек минимального расстоя- ния до цели для пролетных траекторий. D Используя зависимость (5), после несложных преобразований можно получить выра- жение для безразмерной скорости изменения относительной дальности ~ : D dD . d ~ (9) Следовательно, для анализа изменений D можно воспользоваться зависимостью (6). Для анализа относительного движения при const существенное значение имеет определение угла облета цели при сближении до встречи В или до пролета на минимальном расстоянии П . Под углом облета будем понимать угол поворота линии визирования от момента начала движения при const до одного из двух указанных конечных положений. ~ Выражения для углов облета В и П могут быть получены из (7) постановкой D 0 и ~ ~ D DП . 1 В ln D 2 1 0 , 1 П ln D 2 1 0 . (10) D 2 2 0 2 D2 0 Продифференцируем зависимости для В и П по параметру D : 0 d D d D . В d D 0 D 0 , 2 D 1 П d D 0 2 D 0 D 1 2 2 0 0 При сближении, оканчивающемся встречей D 0 2 2 0 0 2 , а при сближении с пролетом D 2 . Следовательно, 0 d В d D 0 0 , dП d D 0 0 . Выводы Анализ приведенных зависимостей и рассмотрение графиков на рисунке 2, показывает, что при увеличении параметра D от 1 до 2 и при уменьшении его от до 2 угол об- 0 лета цели возрастает от 0 до . Однако значение угла облета может быть более 180 только при значениях D в интервале от 1,40 до 1,42. Поэтому для реализации полного облета цели 0 на 360 необходимо осуществлять наведение при значениях D весьма близких к 2 . 0 Рисунок 2. При увеличении параметра D 0 Рисунок 3. Зависимость угла П ~ от DП от 1 до 2 и при уменьшении его от + до 2 угол облета цели возрастает от 0 до + Запишем выражения для требуемых значений параметра D , необходимых для обес- 0 печения заданных конечных величин углов В 2 e4В 1 и П : 2 e4П 1 D , 0 e2В 1 D . 0 e2П 1 (11) Используя зависимости (1) и (12) из статьи [15], можно получить соотношение, связы- ~ вающее угол облета П и безразмерную дальность пролета DП . 1 П ln П 1 D2 . DП (12) DП Видно, что при уменьшении безразмерного пролета ~ ~ угол облета возрастает и в ~ пределе П при сунке 3. DП 0 . Графически зависимость угла П от DП представлена на ри- Остановимся более подробно на рассмотрении траектории относительного движения при D 0 2 . Уравнение этой траектории в полярных координатах оказывается весьма простым. Траектория сближения ( dD 0 ): d D e0 , Траектория удаления ( dD 0 ): d D D0 e 0 . (13) D e0 , D D0 e 0 . (14) Анализ выражений (13) и (14) показывает, что при D 0 2 траектория относительного движения в случае сближения представляет собой закручивающуюся логарифмическую спираль, а в случае удаления от цели - развертывающуюся спираль. Следовательно, для D 0 при относительная дальность неограниченно убывает, а для D 0 неограниченно возрастает. Из (6) следует, что в случае относительного движения при D 0 d ~ D 2 D ~ . d Относительное движение при D 0 2 характеризуется тем, что в процессе сближения и удаления линия визирования совершает бесконечное число оборотов вокруг центра масс цели. Расстояние между витками траектории (логарифмической спирали) при сближении убывает, а при удалении возрастают по закону геометрической прогрессии. Известно также, что для логарифмической спирали D a угол , составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания зависит лишь от па- раметра a и для каждой спирали является величиной постоянной. Для траектории относительного движения tg 1 ln e 1 при D 0 2 . Следовательно, угол 45 . Это полностью совпадает с ранее полученными результатами, согласно которым относительное движение в рассматриваемом случае определяется соотношением D a . В весьма простой форме могут быть записаны выражения для определения текущего значения радиуса кривизны траектории и длины дуги между двумя точками траектории S : 2 D , S 2 D1 D2 . (15) Тогда длина дуги траектории от некоторой текущей точки (определяемой относитель- ной дальностью D ) до центра масс цели характеризуется выражением: SЦ 2 D . (16) Следовательно, длина дуги траектории SЦ диуса кривизны траектории. оказывается равной текущему значению ра-×
作者简介
V. Ivanov
MATI - Russian State Technological University
Email: 2svr@mail.ru
Prof.
V. Ruchinskiy
MATI - Russian State Technological University
Email: 2svr@mail.ru
Prof.
E. Ruchinskaya
MATI - Russian State Technological University
Email: 2svr@mail.ru
Ph.D.
参考
- Полет космических аппаратов. Примеры и задачи // Ю.Ф. Авдеев, А.И. Беляков, А.В. Брыков и др. - М.: Машиностроение, 1990. - 272 с.
- Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959. 916 с.
- Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1967. - 488 с.
- Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. - М.: Наука, 1990. - 336 с.
- Иванов В.А., Ситарский Ю.С. Динамика полета системы гибко связанных космических объектов. - М.: Машиностроение, 1986. - 248 с.
- Иванов В.А., Купреев С.А., Ручинский В.С. Динамика полета и математическое моделирование орбитального функционирования системы связанных космических объектов. - М.: Изд-во «МАТИ» Российского государственного технологического университета им. К.Э. Циолковского, 2008. - 200 с.
- Иванов В.А., Купреев С.А., Ручинский В.С. Выведение привязного объекта в расчетную точку встречи с космическим аппаратом, движущимся по эллиптической орбите // Научные труды (Вестник МАТИ). Вып.20(92). - М.: ИЦ «МАТИ», 2013. - С. 110-119.
- Иванов В.А., Купреев С.А., Ручинский В.С. Выведение привязного объекта в расчетную точку встречи с космическим аппаратом, движущимся по круговой орбите // Научные труды (Вестник МАТИ). Вып.21(93). - М.: ИЦ «МАТИ», 2013. - С. 86-97.
- Лебедев А.А., Соколов В.Б. Встреча на орбите. - М.: Машиностроение, 1969. - 366 с.
- Родников А.В. Модели относительного движения орбитальной леерной связи // Тезисы докладов шестого международного аэрокосмического конгресса JCA’09. М., 2009. - С. 268-269.
- Иванов В.А., Купреев С.А., Ручинский В.С. Орбитальное функционирование связанных космических объектов. - М.: Изд-во «Инфра-М», 2014. - 320 с.
- Ручинская Е.В. Основные зависимости, определяющие относительное движение привязного объекта, наводимого на космический аппарат // Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Секция № 17 «Механика космического полета». - М.: Изд- во «Инфра-М», 2015. - С. 287-289.
- Ручинская Е.В. Анализ траекторий относительного движения в полярных координатах// Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Секция № 17 «Механика космического полета». - М.: изд-во «Инфра-М», 2015. - С. 289-292.
- Иванов В.А., Купреев С.А., Ручинский В.С. Математическое моделирование наведения привязного объекта космической тросовой системы // Научные труды (Вестник МАТИ). Вып. 25(97). - М.: ИЦ «МАТИ», 2015. - С. 37 - 49.
- Иванов В.А., Ручинский В.С., Ручинская Е.В. Математическое моделирование ближнего наведения космического аппарата // Известия МГТУ МАМИ, 2015. Вып. №……. …… - С.
- Чабров Г.И. Вращающаяся связка двух КА как средство перевода КА на новые орбиты // Тезисы докладов научно-технической конференции Московского технического университета связи и информатики. М., 1999. - С. 93.