Relative motion of coupled spacecrafts in polar coordinates

Full Text

УДК 629.783(075.8) Относительное движение связанных космических аппаратов в полярных координатах проф. Иванов В.А., проф. Ручинский В.С, к.т.н. Ручинская Е.В. МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского 2svr@mail.ru Аннотация. Данная работа посвящена разработке математических моделей движения связанных космических объектов. Проведено исследование траекторий относительного движения связанных космических аппаратов в полярных коорди- натах. Ключевые слова: связанные космических аппараты, тросовые системы, центр масс, визирная и орбитальная системы координат, орбитальный по- лет, ближнее наведение, управление сближением. Введение Проведенные эксперименты подтвердили возможность использования связанных кос- мических аппаратов для решения научных, народнохозяйственных и специальных задач. Рассмотрению конкретных направлений практического использования тросовых систем по- священо достаточно много работ [1, 4 - 16]. Постановка задачи Из методов управления сближением на участке ближнего наведения космических аппа- ратов (КА) наибольшего внимания заслуживает метод наведения при постоянной угловой скорости линии визирования. Метод постоянной угловой скорости линии визирования оказывается достаточно уни- версальным. За счет определенного выбора угловой скорости линии визирования можно осуществить реализацию сближения КА с жестким и мягким контактом, а также сближение с пролетом мимо определенного космического аппарата на заданном расстоянии с последую- щим удалением. Учитывая указанные обстоятельства, в дальнейшем при решении задачи сближения КА с использованием тросовой системы на участке ближнего наведения будем рассматривать применение метода постоянной угловой скорости линии визирования. Данная работа является продолжением исследования, изложенного в статье [15]. Анализ траекторий относительного движения в полярных координатах Относительное движение объектов в неподвижной визирной системе координат Ц н н н может характеризоваться изменением полярных координат D и  (рисунок 1 в статье [15]). Воспользовавшись выражением  d  dt перепишем уравнение относительного движения при постоянной угловой скорости линии визирования (3) [15]: 2 2  d D   D2  d    C .  d t   d t      Это дифференциальное уравнение легко привести к следующему виду: dD   d  D2  A , где A  C . 2 (1) Выражение для константы A может быть записано через начальные значения параметров относительного движения:  D 2  0  A  D2  0   2 . (2)  0   Таким образом, относительное движение объектов при   const в полярных координатах определяется нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка второй степени. Рассмотрение этого уравнения, а также соотношений (3) показывает, что траектория относительного движения полностью определяется начальными значениями D0 , 0 и не зависит от относительной скорости. При одних и тех же значения D0 , 0 0 и разных Vотн движение будет происходить по одной и той же траектории, но с разными скоростями. Проинтегрировав выражение (1), получим уравнение траектории относительного дви- жения в полярных координатах. В случаях сближения ( dD  0 ) : d  1  D  D2  A Ae0   2 D   0 0  D  0  ,     ln 0 D0  A . (3) 2  e0  D  D2  A  D  D2  A  0 0  В случае удаления ( dD  0 ): d    2  2   0     D  1 D  D  A e   A ,     ln D  D  A . (4)  0 0 2 0   0 2 2  D  D  A e  D  D  A 0 0 0 0 При A  0 имеют место траектории сближения и удаления первой группы, а при A  0 - траектории второй группы. В случае необходимости по величине производной dD d  легко определяется значение скорости сближения или удаления . dD D  (5) d  Поэтому из (1) также непосредственно следует, что относительное движение при   const характеризуется непрерывным уменьшением скорости сближения или непрерывным увеличением скорости удаления объектов. Сближение при ется мягкой встречей. A  0 в пределе заканчива- Перейдем к рассмотрению относительного движения при постоянной угловой скорости ~ линии визирования в координатах D D относительную дальность ~ . и  . Преобразуем уравнение (1), введя безразмерную dD   d   D2  D2 0  2. (6) ~ Запишем уравнение траектории в полярных координатах D и  , используя в качестве  параметра величину D . 0 В случае сближения ( dD  0 ): d  1  1 D   D  2 1 0 D 2  0  2e0    ,     ln D  1 2 1 0 . (7) 2  e0   D   1 2 1  0 0  D  D2  D2  2 0 В случае удаления ( dD  0 ): d   1 D2  2   D  D2  D2  2 D   1 D2 1e 0    0  D   ,     ln 0 . (8)     0 2 2 0 1  2 1 e 0  0   1 D 1 0 Рисунок 1. Траектории относительного движения при сближении, оканчивающимся  встречей ( D  0 2 ) или пролетом мимо цели (точка Ц ) с последующим удалением  ( D  2 ) 0 На рисунке 1 изображены траектории относительного движения при сближении, окан-  чивающимся встречей ( D  0 2 ) или пролетом мимо цели (точка Ц ) с последующим уда- ~  лением ( D  0 2 ). Траектории построены для безразмерных относительных дальностей D . Пунктирная линия представляет собой геометрическое место точек минимального расстоя- ния до цели для пролетных траекторий. D Используя зависимость (5), после несложных преобразований можно получить выра- жение для безразмерной скорости изменения относительной дальности ~ : D  dD . d  ~ (9) Следовательно, для анализа изменений D можно воспользоваться зависимостью (6). Для анализа относительного движения при   const существенное значение имеет определение угла облета цели при сближении до встречи В или до пролета на минимальном расстоянии П . Под углом облета будем понимать угол поворота линии визирования от момента начала движения при   const до одного из двух указанных конечных положений. ~ Выражения для углов облета В и П могут быть получены из (7) постановкой D  0 и ~ ~ D  DП . 1 В  ln D  2 1 0 , 1 П  ln D  2 1 0 . (10) D  2  2 0  2  D2 0 Продифференцируем зависимости для В и П  по параметру D : 0 d   D d   D . В d D 0 D 0 ,  2 D 1 П d D 0 2  D 0  D 1  2 2 0 0  При сближении, оканчивающемся встречей D  0  2 2 0 0 2 , а при сближении с пролетом  D  2 . Следовательно, 0  d В d D 0  0 ,  dП d D 0  0 . Выводы Анализ приведенных зависимостей и рассмотрение графиков на рисунке 2, показывает, что при увеличении параметра  D от 1 до 2 и при уменьшении его от  до 2 угол об- 0 лета цели возрастает от 0 до  . Однако значение угла облета может быть более 180 только при значениях  D в интервале от 1,40 до 1,42. Поэтому для реализации полного облета цели 0 на 360 необходимо осуществлять наведение при значениях  D весьма близких к 2 . 0  Рисунок 2. При увеличении параметра D 0 Рисунок 3. Зависимость угла П ~ от DП от 1 до 2 и при уменьшении его от +  до 2 угол облета цели возрастает от 0 до +  Запишем выражения для требуемых значений параметра  D , необходимых для обес- 0 печения заданных конечных величин углов В 2 e4В 1 и П : 2 e4П 1  D  , 0 e2В 1  D  . 0 e2П 1 (11) Используя зависимости (1) и (12) из статьи [15], можно получить соотношение, связы- ~ вающее угол облета П и безразмерную дальность пролета DП . 1 П  ln П 1 D2 . DП (12) DП Видно, что при уменьшении безразмерного пролета ~ ~ угол облета возрастает и в ~ пределе П   при сунке 3. DП  0 . Графически зависимость угла П от DП представлена на ри- Остановимся более подробно на рассмотрении траектории относительного движения  при D  0 2 . Уравнение этой траектории в полярных координатах оказывается весьма простым. Траектория сближения ( dD  0 ): d  D  e0  , Траектория удаления ( dD  0 ): d  D  D0 e 0  . (13) D  e0  , D  D0 e 0  . (14)  Анализ выражений (13) и (14) показывает, что при D  0 2 траектория относительного движения в случае сближения представляет собой закручивающуюся логарифмическую спираль, а в случае удаления от цели - развертывающуюся спираль. Следовательно, для D  0 при    относительная дальность неограниченно убывает, а для D  0 неограниченно  возрастает. Из (6) следует, что в случае относительного движения при D  0 d ~ D 2 D   ~ . d  Относительное движение при D  0 2 характеризуется тем, что в процессе сближения и удаления линия визирования совершает бесконечное число оборотов вокруг центра масс цели. Расстояние между витками траектории (логарифмической спирали) при сближении убывает, а при удалении возрастают по закону геометрической прогрессии. Известно также, что для логарифмической спирали D  a угол  , составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания зависит лишь от па- раметра a и для каждой спирали является величиной постоянной. Для траектории относительного движения tg   1 ln e   1 при D  0 2 . Следовательно, угол   45 . Это полностью совпадает с ранее полученными результатами, согласно которым относительное движение в рассматриваемом случае определяется соотношением D  a . В весьма простой форме могут быть записаны выражения для определения текущего значения радиуса кривизны траектории  и длины дуги между двумя точками траектории S :   2 D , S  2 D1  D2 . (15) Тогда длина дуги траектории от некоторой текущей точки (определяемой относитель- ной дальностью D ) до центра масс цели характеризуется выражением: SЦ  2 D . (16) Следовательно, длина дуги траектории SЦ диуса кривизны траектории. оказывается равной текущему значению ра-

About the authors

V. A Ivanov

MATI - Russian State Technological University

Email: 2svr@mail.ru
Prof.

V. S Ruchinskiy

MATI - Russian State Technological University

Email: 2svr@mail.ru
Prof.

E. V Ruchinskaya

MATI - Russian State Technological University

Email: 2svr@mail.ru
Ph.D.

References

Supplementary files