Transverse compression of a two-layered elastic plane with a circular hole on the border between layers

详细

The results are presented on the stress distribution in a transversally compressed two-layered elastic plane with a circular hole on the border between layers, received by using a variational fi- nite-difference procedure for solving plane elastic problems for the holed rectangular domains. The effects of the layers' elastic constants on the level of stresses around the hole are examined.

全文:

Поперечное сжатие двухслойной упругой плоскости с круговым отверстием на межслойной границе к.ф.-м.н. доц. Мазин В.А., к.т.н. доц. Михайлова В.Л., д.т.н. проф. Сухомлинов Л.Г. Университет машиностроения 8(495)223-05-23,доб. 1318 Аннотация. Излагаются результаты по распределению напряжений в попереч- но сжатой двухслойной упругой плоскости с круговым отверстием на межслой- ной границе, полученные с применением вариационно-разностной процедуры численного решения задач плоской теории упругости для прямоугольных обла- стей с отверстиями. Дается оценка влияния упругих постоянных слоев на уровень напряжений вокруг отверстия. Ключевые слова: поперечное сжатие двухслойной упругой плоскости, круго- вое отверстие на межслойной границе. В задачах исследования напряженно-деформированного состояния различным образом нагруженных тел слоистой структуры особый интерес представляют вопросы концентрации напряжений вблизи всевозможных местных расслоений, вырезов, отверстий, жестких вклю- чений. В частности, в работах [1 - 5] такие вопросы рассматривались применительно к двух- слойным упругим средам. При этом в [1, 2, 3] упомянутые локальные особенности предпола- гались находящимися на межслойной границе, а в [4, 5] внимание уделено особенности в ви- де кругового отверстия, находящегося вблизи межслойной границы. В настоящей статье в качестве объекта исследования принимается двухслойная упругая плоскость, ослабленная круговым отверстием с центром на межслойной границе и сжимаемая в поперечном направ- лении. Исследование выполняется с использованием вариационно-разностной процедуры численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с отвер- стиями и включениями [6]. При численном моделировании вместо бесконечно протяженного объекта, каким является плоскость, рассматривается конечная прямоугольная область с раз- мерами, многократно превышающими радиус отверстия. Итак, рассматриваем прямоугольную область S , составленную из изотропных слоев S(1) и S(2) (рисунок 1). Считаем, что имеющееся в области S круговое отверстие S(3) заполнено материалом включения с пренебрежимо малым значением модуля Юнга (другими словами, при численном моделировании случай кругового отверстия сводим (как и в [6]) к случаю кругового включения пренебрежимо малой жесткости). Рисунок 1. Схема двухслойной прямоугольной области с круговым включением Введем обозначения E (k ) ,  (k ) (k  1,2,3) для модулей Юнга и коэффициентов Пуассона материалов участков S(1) , S(2) , S(3) области S . Для удобства последующего изложения перепишем физические соотношения плоской задачи теории упругости [7] с указанием номера k (k  1,2,3) участка, к которому эти соотношения относятся. В результате будем иметь: (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) xx   1 xx   2 yy , (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) yy   2 xx   1 yy , (1) xy xy (k )  2G(k )(k ) , (k  1, 2,3). Коэффициенты G(k ) , 1  (k ) ,  (k ) 2 линейных зависимостей (1) выражаются через упругие постоянные 1) G(k )  0,5 E(k ) E(k ) ,  (k )  1 (k )  согласно следующей схеме: ; в случае плоского напряженного состояния  1  E 1     ,  2   1 ; (k ) (k )   (k ) 2   (k ) (k) (k) в случае плоского деформированного состояния  (k )  2G (k )  (k ) ,  (k )   (k ) , где:  (k )   (k )E(k ) 1 2 [(1 (k ) )(1 2 (k ) )] . Считаем далее, что рассматриваемая область S нагружена таким образом, что в каждом из ее слоев S(1) и S(2) на достаточно большом удалении от отверстия S(3) реализуется состояние, близкое к однородной деформации. Оценку напряжений и деформаций, отвечающих таким однородным состояниям слоев S(1) и S(2) , выполним, исходя из расчетной модели в виде сплошного (без отверстия) двухслойного пакета, находящегося под действием рав- номерно распределенного вдоль горизонтальных участков границы давления p в условиях, когда продольные деформации слоев стеснены настолько, что можно принять: xx xx (1)  (2)  0. (2) В описанных условиях для поперечных напряжений, а также сдвиговых напряжений и деформаций в слоях должно быть:    (1) (2) yy yy   p , (3) xy xy xy xy (1)  (2)  0, (1)  (2)  0. (4) Введем для значений продольных напряжений в первом и втором слое рассматриваемо- го двухслойного пакета обозначения q(1) и q(2) , так что: (1) (2) xx  q(1) , xx  q(2) . (5) Считая заданной величину p , с использованием равенств (1), (3), (5), получаем: (1) (1) (2) (2) q(1)   p 2 1 , q(2)   p 2 1 , (6) (1) (1) (2) (2) yy   p 1 , yy   p 1 . (7) Настройку программы расчета на интересующий нас случай поперечного сжатия двух- слойной плоскости с круговым отверстием осуществляем по схеме, аналогичной изложенной в статье [6] применительно к случаю бесконечной однородной области, ослабленной круго- вым отверстием. Как и в [6], при численном моделировании вместо (бесконечной) плоскости рассматриваем конечную прямоугольную область с большими по сравнению с радиусом отверстия R размерами, а именно полагаем a  b  c  15R . Исходя из симметрии принятой расчетной схемы относительно оси Oy , моделирование осуществляем для половины указан- ной прямоугольной области. При этом на участке границы моделируемой половины, лежащем на оси Oy , формулируем условия симметрии ux  0, qy  0; на участке, параллельном оси Ox , - условия uy  0, qx  0; на участке, лежащем на оси Ox , - условия qx  0, qy  p; на участке, параллельном оси Oy , - условия qy  0 , где параметры q(1) и q(2) q(1) , при y  c, qx   q(2) , при y  c, определяются с использованием равенств (6). При дискретизации рассматриваемой прямоугольной области S с круговым включением S(3) пренебрежимо малой жесткости используем (как и в [6]) сетку прямоугольных элементов с n  200 . В правильности настройки программы на рассматриваемый случай сжатия двухслой- ной области с круговым отверстием убеждаемся следующим образом. Полагаем сначала (на программном уровне), что включение S(3) отсутствует, и убеждаемся, что при этом численное моделирование (с описанными граничными условиями и схемой дискретизации) приводит к однородной картине напряжений и деформаций в слоях S(1) и S(2) в полном соответствии с тем, что дают равенства (2) - (7). Полагаем далее, что материалы слоев S(1) и S(2) одинаковы, а жесткость включения пренебрежимо мала (E (3) E (1)  0,0001) и q(1)  q(2)  0 . Тем самым приходим к модели, соответствующей случаю ослабленной круговым отверстием однородной упругой плоскости, равномерно сжимаемой вдоль оси Oy . Проводимый этап тестирования показал, что получаемые при этом расчетные результаты по напряжениям на кромке отверстия отклоняются от имеющегося для такого случая аналитического решения [7] не более, чем на 3% . Обратим теперь внимание на то обстоятельство, что в рассматриваемой расчетной схе- ме (рисунок 1) межслойная граница пересекает свободный от нагрузок контур отверстия под прямым углом. Оценки, выполненные в работе [8] средствами асимптотического анализа, показывают, что в таком случае вследствие различия в значениях упругих постоянных слоев может иметь место сильная концентрация напряжений в малой окрестности краевой точки межслойной границы (бесконечные напряжения в этой точке). При этом указано, что подоб- ные случаи бесконечных напряжений исключаются, если значения упругих постоянных сло- ев удовлетворяют условиям: min(1,2 )    max(1,2 ) , (7) (1 (1) ) (1) E(1) (1 (2) ) где: 1  (2) , 2  (2) ,  (2) (1) . (1  )  E (1  ) Учитывая сказанное, численное моделирование с применением настроенной описан- ным образом программы будем проводить, согласовывая выбираемые значения упругих по- стоянных с требованиями (7). При этом полагаем, что исследуемая двухслойная среда нахо- дится в состоянии плоской деформации. Результаты выполненных в рамках сформулированной задачи параметрических исследований в виде зависимостей окружных напряжений  представлены на рисунках 2 - 5. на кромке отверстия от угла  Цифрами 1, 2, 3, 4, 5 на рис. 2 отмечены зависимости, относящиеся соответственно к случаям E(1) E(2)  0,23; 0,38; 0,76; 0,99; 1,21 ; цифрами 1, 2, 3, 4 на рис. 3 - зависимости для случаев цифрами 1, 2, 3, 4 на рис. 4 - зависимости для случаев E(1) E(1) E(2)  0,3; 0,55; 0,85; 1,06 ; E(2)  0,41; 0,66; 0,91; 1,16 ; цифрами 1, 2, 3 на рис. 5 - зависимости для случаев E(1) E(2)  0,63; 0,85; 1,12 . Рисунок 2. Картина распределения напряжений вокруг отверстия в зависимости от модулей Юнга слоев в случае (1)  0,1; (2)  0, 45 Рисунок 4. Картина распределения напряжений вокруг отверстия в зависимости от модулей Юнга слоев в случае  (1)  0,2;  (2)  0,45 Рисунок 3. Картина распределения напряжений вокруг отверстия в зависимости от модулей Юнга слоев случае  (1)  0,1;  (2)  0,3 Рисунок 5. Картина распределения напряжений вокруг отверстия в зависимости от модулей Юнга слоев в случае  (1)  0,3;  (2)  0,45 На этих же рисунках для сравнения представлены кривые (изображенные точками и пунктиром), отражающие результаты моделирования в предположении, что материалы слоев одинаковы (случай однородной плоскости). Каждая из этих кривых снабжена числовым ука- зателем, представляющим собой принятое при расчете значение коэффициента Пуассона. Приступая к анализу представленных на рисунках 2 - 5 результатов, обратим внимание на то обстоятельство, что как левые (при  60 ), так и правые (при   120 ) ветви сплошных кривых на этих рисунках практически сливаются друг с другом. Другими словами, напряжения  на кромке отверстия при  60 и   120 практически не зависят от значений модулей Юнга слоев. В то же время, переходя последовательно от одного из рассматри- ваемых рисунков к другому, можно наблюдать существенное влияние значений коэффици- ентов Пуассона слоев на уровень этих напряжений. При анализе данных рисунков следует также обратить внимание на левую ветвь кривой (пунктир), полученной на основе упомяну- той выше модели однородной плоскости с принятием значения коэффициента Пуассона пер- вого слоя, и правую ветвь аналогичной кривой (точки), соответствующей значению коэффи- циента Пуассона второго слоя. Как видно, в целом эти ветви достаточно хорошо отражают характер распределения напряжений вдоль контура отверстия в рассматриваемой двухслой- ной плоскости. При этом с уменьшением разности между значениями коэффициентов Пуас- сона слоев точность такого приближенного описания распределения напряжений увеличивается. Отмеченные эффекты объясняются следующими факторами. Во-первых, в рассматриваемой постановке задачи напряжения в каждом из слоев на достаточном удалении от отвер- стия зависят только от значения коэффициента Пуассона соответствующего слоя. Во-вторых, принятая постановка задачи предполагает, что вдоль межслойной границы (за исключением малого ее участка у кромки отверстия) напряженное состояние должно соответствовать условиям симметрии. Поэтому в зонах, достаточно удаленных от этого участка, напряженное состояние в каждом из слоев приближенно оказывается таким, как если бы данный слой яв- лялся полуплоскостью некоторой (аналогичным образом сжимаемой) однородной плоскости. Дополнительно отметим, что максимальные по модулю напряжения  в рассматриваемой постановке задачи имеют место вблизи межслойной границы на участке контура отвер- стия, принадлежащем слою с меньшим значением коэффициента Пуассона. На их величину определенное влияние оказывают и значения модулей Юнга слоев. В частности, из рисунка 2 видно что, при пятикратном уменьшении значения модуля Юнга первого слоя по сравнению со вторым слоем имеет место лишь примерно двадцати процентное уменьшение указанного максимума напряжений. В других из рассмотренных случаев эффект подобного уменьшения значительно слабее. Это указывает на возможность использования модели однородной плос- кости (случай одинаковых значений модулей Юнга слоев) при оценке обсуждаемых напря- жений. В качестве общего вывода по изложенной статье отметим, что выполненное с примене- нием вариационно-разностной процедуры численное моделирование позволило дать оценку влияния двухслойной структуры поперечно сжимаемой плоскости на характер распределе- ния напряжений вокруг кругового отверстия, центр которого расположен на межслойной границе. При этом показано, что оценка уровня напряжений на контуре такого отверстия может быть выполнена с использованием схемы ослабленной круговым отверстием одно- родной плоскости.