Application of the analytical functions theory for exact calculations of gear teeth stress

Full Text

Введение В настоящее время для расчёта элементов конструкций все чаще находят применение численные методы теории упругости, такие как метод конечных или граничных элементов. Эти методы обладают неоспоримым преимуществом, позволяют определять не только вели- чину, но и форму нагруженной детали. Однако результаты расчёта содержат только итого- вую сумму всех компонентов перемещений. Это является недостатком, поскольку пока не- возможно выполнить полный расчёт всех деталей машины одновременно, с учётом контакт- ного взаимодействия деталей в стыках, динамических процессов, погрешностей изготовле- ния. Поэтому еще долгое время численные методы будут дополняться традиционными мето- дами расчёта, основанными на раздельном учёте деформаций кручения, сдвига, сжатия, из- гиба и т.д. Большое значение в таких методах расчёта имеют методы расчёта контактных напряжений и контактной жесткости. Однако в расчётную практику еще не приняты совре- менные достижения в этой области. Имеется в виду то, что численные методы теории упру- гости можно преобразовать так, что суммарный результат будет состоять из аналитической и численной частей, а это повышает точность расчётов и открывает путь к познанию протека- ющих процессов в деформируемой конструкции. Аналитические расчёты выполняются в тех процедурах, которые не требуют дискретного представления расчётной области: границы, поверхности или всего объёма детали; численные - требуют. Недостаточное изучение со- временных методов расчёта приводит к необходимости применения существенно упрощен- ных формул, не обеспечивающих потребности силового расчёта конструкций. Например, в работе [1] приводится десять существенно расходящихся по конечным результатам различ- ных формул, применяемых для расчёта контактной жесткости деталей машин. При этом для инженера остаётся неясным является ли достаточно строгим разделение напряжений и де- формаций на контактные и изгибные, и не является ли раздельный учёт контактных и изгиб- ных перемещений умозрительным. В основе излагаемого ниже метода лежит анализ функций, на основе которых выполня- ется расчёт напряжений, деформаций и прогибов деталей машин. Для конкретизации метод рассмотрим на примере расчёта напряжений в зубьях зубча- тых передач. Для этого на плоскости Oxy поместим область S, которая соответствует иско- мому телу. На схеме, показанной на рисунке 1, граница и область вне тела обозначена сим- волами Г и W. Остальные параметры будем описывать по ходу изложения. Исходный алгоритм расчёта напряжений основан на применении функций Г.В. Колосова [2]: x y 4 (z) , (1) где: z x iy - точка внутри контура; i напряжений. 1 - символ мнимой части; (z) - функция Рисунок 1. Схема сил и геометрические параметры области Остальные обозначения и определения соответствуют книге [3]. Для сокращения объе- ма статьи все выражения будем приводить для первой функции Г.В. Колосова, как более простой, а результаты компьютерного моделирования, показанные ниже - для второй функ- ции, поскольку их легче сопоставить с результатами поляризационно-оптических экспери- ментов. Метод определения граничных значений функции напряжений (t) известен и описан в работе [4], поэтому остановимся на определении функции (z) функции (t) . по заданным значениям Формально функцию (z) можно найти, подставив функцию (t) в формулу Коши: (z) 1 (t )dt . (2) 2 i (t z) Формула (2) справедлива только в том случае, когда функция (z) аналитическая. В реальных условиях это не так. Причиной являются внешние силы, определяемые функцией a(t), приложенные к границе. Представим функцию напряжений на границе в виде: (t) (t) a(t) . Функция (t) в точках приложения силы имеет разрывы, что нарушает её аналитич- ность. Такие же разрывы имеет и функция a(t), определяющая воздействие от внешней силы [3]. Однако, как показала практика, разностная функция (t) (t) a(t) разрывов не имеет, а функция ( z) является аналитической. Представим функцию a(t) в виде [3]: a(t) 1 P(t) 1 d t P( )d , (3) 2 2i dt Г t где: P(t) - комплексная функция, выражающая проекции контактного давления от внешних сил на координатные оси. Разностная функция (t) - гладкая функция и остается гладкой даже тогда, когда функция P(t) сосредоточена в точке. Поэтому поле напряжения можно вычислять на основе следующей формулы: 4 (z) 1 4 Х (t) a(t) dt . (4) x y 2 i t z Важная особенность функции (4) заключается в том, что интеграл можно разделить на две части, а часть, содержащую нерегулярную функцию a(t), вычислить аналитически. Опуская описание соответствующих преобразований, приведем формулы расчёта напряжений в окончательном виде: 1 4X (t)d (ln(t z)) 2 Re F exp(i (tF )) , (5) y x 2i xy x y 2 i (tF z) 1 X (t)d t z 2 Re X (t) dtd (ln(t z)) F exp( i (tF )) 1 F exp(i (tF )) (tF z) , (6) i t z i dt (tF z) F exp( i (tF )) (tF z) где: F - угол наклона внешней нормали в точке приложения к контуру сосредоточенной силы; tF - координата точки приложения сосредоточенной силы F F (tF ) P(t)ds P(t) exp( i F )dt . Формулы (5) и (6) записаны для случая одной сосредоточенной силы. Если сил не- сколько или нагрузка является распределенной, можно применить суперпозицию решений. Полученные формулы были положены в программу расчёта полей напряжений. Один из результатов показан на рисунке 2. Рисунок 2. Напряженное состояние зубьев с несимметричным исходным контуром Метод комплексных аналитических функций был применен для развития инженерных методов расчёта изгибных напряжений на зубьях зубчатых передач. В ГОСТ 21354-87 графики коэффициентов формы зубьев были получены методом конформных отображений. Этот аналитически строгий метод требует, однако, сложного по- иска конформно-отображающих функций. МКАФ свободен от этого недостатка. На рисунках 3-5 показаны два результата расчёта коэффициента формы зубьев. Резуль- таты на рисунке 3 получены методом конформных отображений [3]; результаты на рисунке 4 - методом комплексных аналитических функций для зубчатых колес, изготовленным мето- дом обката. Рисунок 3. Результат расчёта коэффициентов формы зубьев, полученный методом конформных отображений Рисунок 4. График коэффициентов формы зубьев, изготовленных методом обката, полученный методом комплексных аналитических функций Расчётные значения (таблица 1) коэффициентов формы зубьев, полученные методом комплексных аналитических функций, больше значений по ГОСТ 21354-87, полученных ме- тодом конформных отображений, на 5-10%, а по сравнению с данными ISO 6336-3 и DIN 3990, полученными методом ломаных сечений, они меньше на 3-10%. Таблица 1 Сопоставление результатов расчёта коэффициентов формы зубьев, полученных методом комплексных аналитических функций, с результатами расчёта по стандартам ГОСТ 21354-87, ISO 6336 и DIN3990 Представленные на рисунке 3 и рисунке 4 результаты соответствуют формообразова- нию зубьев, называемому метод обката. В настоящее время все чаще начинает применяться метод копирования, с помощью которого существенно упрощается производство колес с мо- дифицированным профилем зубьев. Часто изготовители станков не сообщают пользователям метод формирования переходных кривых. По этой причине было выполнено исследование формы этих кривых. Результат показал, что переходные кривые наиболее часто описываются окружностью, которая имеет меньший радиус по сравнению с трохоидой, формируемой ме- тодом обката. Для расчёта колес, зубья которых образованы методом копирования, были построены графики коэффициентов формы зубьев, один из которых, соответствующий исходному кон- туру по ГОСТ 13755-81, представлен на рисунке 5. Используя формулы Колосова Г.В. и метод разделения решения на численную и анали- тическую часть, была получена формула для расчёта упругих перемещений: t t i t 2G(u(t) iv(t)) (κ 1) X(t)dt (κ 1) a(t)dt G σns (t)ds, (7) t t 2 t a a a где: u(t) и v(t) - составляющие перемещений по координатным осям; G E (2(1 )) - модуль сдвига, для стали G=80770 [Н/мм2]; Е - модуль упругости, для стали при температуре 20°С E - коэффициент Пуассона, для стали =0,3; 2,1 105 [Н/мм2]; - коэффициент вида напряженного состояния: для плоского деформированного со- стояния (широкие тела) 3 4 , для плоского напряженного состояния (узкие те- ла) (3 ) / (1 ) ; ta - точка на контуре, принимаемая за неподвижную; ns(t) - контактное напряжение, приложенное к границе контура. Рисунок 5. График коэффициентов формы зубьев, изготовленных методом копирования Результат расчёта прогиба зуба показан на рисунке 6. Рисунок 6. Результаты расчёта перемещений контура зуба z1=20: 1 - контур зуба; 2 - контактное перемещение от функции a(t); 3 - изгибное перемещение от функции X(t); 4 - суммарное перемещение контура (контактное плюс изгибное); 5 - направление на точку, принимаемую за неподвижную Выводы Как следует из полученных формул (5) и (6), алгоритм расчёта напряжений методом ком- плексных аналитических функций разделяется на две части. Одна часть вычисляется ана- литически точно по формуле (6), а вторая вычисляется приближенно по формуле (5). Разделение алгоритма расчёта на аналитическую и численную часть повышает точность расчёта. При этом в аналитических выражениях содержатся разрывные функции, а в чис- ленных выражения только гладкие функции - это есть дополнительный фактор повыше- ния точности расчёта. Из рисунка 2 видно, что максимальные контактные напряжения сосредоточены внутри тела. Получить такой результат методом конечных элементов весьма сложно. Сравнение с решениями, полученными Мусхелишвили Н.И. [3], аналитическую часть расчётов можно классифицировать как расчёт контактных напряжений. Коэффициенты формы зубьев, приведенные в ГОСТ 21354-87, можно рекомендовать для расчёта колес, обработанных методом обката. Данные в ISO6336 и DIN 3990 можно ре- комендовать для расчета колес, обработанных методом копирования. Как следует из формулы (7), прогиб деталей и, соответственно, жесткость - это относи- тельная величина, определяемая положением точки, принимаемой за неподвижную. Так, если рассчитывается распределение нагрузки между зубьями зубчатого колеса, то поло- жение этой точки будет определяться основным шагом, а если выполняется расчёт коле- баний колес, то положение точки, принимаемой за неподвижную, будет определяться ра- диусом кривизны эвольвенты в точке приложения силы. Разделение суммарных перемещений на контактные и изгибные имеет строгое математи- ческое обоснование.

About the authors

V. L Dorofeev

Central Institute of Aviation Motors

Email: vld@ciam.ru
Dr. Eng., Prof.; +7 (495) 361-19-51

References

Supplementary files