Model for contact friction in flow process of a thin plastic layer

详细

The variant of the theory of flow of a thin layer of plastic material is proposed. The new model of friction on contact surfaces is used. The model is based on hypothesis of a close physical connection between anisotropy of plastic material texture of contact surface.

全文:

Процессы течения тонкого пластического слоя, сжимаемого параллельными плоскостями с анизотропным контактным трением, рассматривались в работах [1, 2]. В них высказано предположение, что напряжение контактного трения определяется матрицей анизотропии; в развитой теории эта матрица принята диагональной. Показано, что при малой анизотропии эволюция контура области, занятой слоем, описывается уравнением того же типа, что и в изотропном случае [3, 4], в работе [4] исследована задача о неустойчивости растекания полосы. В предлагаемой работе развивается феноменологический подход: мы полагаем, что величина контактного напряжения трения в процессах растекания тонкого пластического слоя есть функция угла наклона касательной к линии тока и параметров процесса: температуры, механических свойств материала слоя и др. Материал слоя считается пластически изотропным. 1. Уравнения равновесия Слой пластического материала занимает в плоскости в начальный момент времени область , ограниченную контуром : . Слой сжимается сближающимися плоскостями, так что в моменты имеем область с контуром . Считаем область (так же как и ) симметричной относительно оси , поэтому линия разветвления течения - конечный или бесконечный отрезок этой оси. Обозначим - предел текучести материала слоя на сдвиг; вообще говоря, может быть функцией температуры, степени деформации и других параметров процесса течения. Мы будем считать , чтобы не затенять основное свойство процесса течения - анизотропию трения. Поэтому принимаем гипотезу: , , (1.1) где: - угол между вектором скорости частиц слоя и осью , - показатель анизотропии. Функцию примем с условиями: она симметрична относительно осей координат; монотонно убывает от единицы до при изменении от до . Трение ортотропно, оси ортотропии совпадают с осями координат. Обозначим - характерный размер области , - начальное значение толщины слоя и введем функцию давления (где , ), состояние в слое при этом и условие на границе будут подчиняться системе уравнений: ; ; , (1.2) здесь введены безразмерные координаты, отнесенные к . Условие совместности системы (1.2) имеет вид: , (1.3) и обозначает, что функции и линейно зависимы. Поэтому имеем общее решение уравнения (1.3): , (1.4) в котором - произвольная функция. Запишем уравнение линии тока в виде ; тогда . После этой замены уравнение (1.4) примет вид: , (1.5) для функции анизотропии оставлено прежнее обозначение. Уравнение (1.5) - это уравнение Лагранжа: . (1.6) 2. Общее решение уравнения (1.6) Во всех известных руководствах по обыкновенным дифференциальным уравнениям общее решение уравнения Лагранжа записывается в параметрическом виде; вводится параметр , уравнение (1.6) дифференцируется по , в результате имеем: (2.1) Отсюда получаем: (2.2) это линейное уравнение имеет решение: , , (2.3) из (1.6) имеем: . (2.4) Таким образом, получено общее решение уравнения Лагранжа (1.6). Приведем данную форму общего решения уравнения (1.6), которая в некоторых случаях может оказаться более простой с вычислительной точки зрения. Легко видеть, что уравнение (2.1) имеет интегрирующий множитель и общее решение: . (2.5) Общее решение записывается в параметрическом виде: , . (2.6) Легко доказывается, что (2.5) тождественно с (2.3). 3. Направления дальнейших исследований 1) Экспериментальное или теоретическое определение функции анизотропии и зависимости предела текучести материала от параметров процесса, прежде всего от температуры. 2) Выбор функции ; кроме соображений математической простоты и физической достоверности получаемых результатов, ничего другого, к сожалению, мы посоветовать не сможем. Приведем (из соображений простоты результата) пример выбора функции . Положим , отсюда дифференцированием находим , и из (2.6) определяем: . Из этого уравнения определяется (точно или аппроксимационно) в функции от , после чего из второго уравнения (2.6) находится линия тока . После этого по известной методике [4] определяется уравнение растекания. Пример. Положим и из уравнения (1.5) получим: . Примем , подставим в предыдущее уравнение и проинтегрируем его вместе с граничными условиями , , . В результате получим: , где означает производную от по . Соответственно этому находим уравнение растекания: , оно дополняется условиями Коши: , . Здесь - степень деформации: .