全文:

 

Введение

Мобильные роботы (МР), которые эксплуатируются в труднодоступном или опасном для человека месте должны обладать высокой профильной проходимостью, но при этом отличаются малыми размерами движителя.  По этой причине, для обеспечения возможности движения по опорной поверхности со сложным профилем, конструкция МР обычно имеет дополнительные степени подвижности и соответствующие приводы, позволяющие обеспечивать режим шагания, силовое складывание звеньев, изменение базы, дорожного просвета и т.д.

Необходимость управления многочисленными приводами, обеспечивающими изменение геометрических параметров движителя при преодолении неровностей, усложняет работу оператора и замедляет выполнение задачи. Таким образом, частичная или полная автоматизация указанных операций позволит достичь высокой эффективности и безопасности эксплуатации МР.

Для разработки и отладки подобных законов автоматического управления движением МР необходима имитационная компьютерная модель движения машины, позволяющая исследовать преодоление препятствий сложного профиля. При этом модель должна обладать быстродействием близким к «реальному времени» для удобства исследования взаимодействия системы «оператор – мобильный робот – внешняя среда».

Современные программные комплексы моделирования динамики систем твёрдых тел (МДС) обладают высокой производительностью, удобством интерфейса и позволяют эффективно исследовать как многомассовые системы тел, связанных шарнирными и силовыми связями, так и различные приводы и системы управления ими. Однако, для полноценного моделирования движения МР на местности во многих программах МДС исследователям требуется реализовать дополнительные функции – поиск пересечений колес МР с со сложным рельефом опорного основания, а также определение сил и моментов возникающих при этом взаимодействии.

Наиболее распространенным подходом к определению контакта между твёрдыми телами является использование алгоритмов анализа пересечения выпуклых многогранников. В конце 80-х годов был разработан алгоритм GJK [1], предназначенный для эффективного определения дистанции между сложными объектами в трехмерном пространстве. В настоящее время различные вариации этого алгоритма используются в программных комплексах моделирования динамики (в том числе динамики мобильных роботов [2]). Помимо реализованных в коммерческих программных продуктах и открытых библиотеках, существуют модификации алгоритма GJK, разработанные для решения специальных задач в области робототехники [3, 4].

Необходимо отметить, что суть работы алгоритма GJK заключается в определении факта пересечения объектов или расстояния между ними. Для нахождения точного расположения точек и нормальных векторов контакта (вдоль которых действуют нормальные силы взаимодействия) требуются дополнительные алгоритмы, достаточно сложные в реализации и требовательные к вычислительной мощности. С целью повышения быстродействия и стабильности расчета физических взаимодействий между телами часто применяют специальные алгоритмы для частных случаев выпуклых объектов определенных форм – параллелепипедов, сфер, капсул и т.д. [5].

В настоящей статье представлена математическая модель динамики МР, созданная в рамках программного комплекса МДС (Matlab Simscape MultiBody [6]), которая была дополнена разработанным алгоритмом поиска пересечений колес с неровностями опорного основания (на основе алгоритма GJK), а также моделью взаимодействия колеса с грунтом. Указанная модель может быть использована для разработки и отладки законов системы управления движением МР.

Алгоритм поиска пересечений колеса с неровностями опорного основания

Основная идея предлагаемого подхода к определению контакта колеса со сложным профилем опорного основания заключается в том, что колесо представляется в виде усеченной сферы (Рис. 1), а опорное основание в виде набора выпуклых многогранников. С помощью алгоритма GJK определяется расстояние между точкой (центр колеса) и многогранниками опорной поверхности. В случае, если это расстояние меньше, чем свободный радиус колеса, то вычисляются нормальные силы взаимодействия, которые всегда будут направлены к центру колеса. Затем, реализовав математическую модель взаимодействия шины с опорным основанием (представленную далее), обеспечивается возможность определения касательной силы их взаимодействия и, соответственно, моделирования движение МР в целом.

 

Рис. 1. Расчетная схема для определения точки контакта колеса с опорным основанием

Таким образом, в предлагаемой модели задача поиска пересечения геометрии колеса с опорным основанием сводится к определению направления  и расстояния от центральной точки колеса , до ближайшего элемента опорной поверхности (Рис. 1). Если это расстояние окажется меньше заданного радиуса колеса, то можно говорить о наличии точки контакта , которая будет расположена на направлении . Нормальные силы, возникающие при взаимодействии, будут действовать также вдоль направления . При этом, для каждого выпуклого элемента опорной поверхности может быть только одна точка контакта и вектор действия нормальных сил.

В такой постановке контакт колеса с опорной поверхностью может быть полностью разрешен с помощью модифицированного алгоритма GJK, то есть без использования дополнительных алгоритмов и вычислений.

Принцип работы базового алгоритма GJK, в контексте определения дистанции между выпуклыми многогранниками, основывается на понятии фигуры пространства Минковского [1,  4]. Эта фигура образована путем вычитания из каждой координаты вершин первого многогранника, каждой координаты вершин второго многогранника. Если указанная фигура содержит начало координат, то делается однозначный вывод о пересечении многогранников, в обратном случае возможно найти дистанцию между ними.

В процессе работы алгоритма полностью вычислять фигуру пространства Минковского не требуется. Вместо этого используется специальная функция (далее sp-функция), которая для заданного направления получает наиболее удаленную от начала координат точку фигуры пространства Минковского.

В алгоритме GJK задача поиска пересечения сводится к попытке получить наиболее простую фигуру (симплекс, в трехмерном пространстве это тетраэдр), которая содержит начало координат. Для этого, используя sp-функцию, по очереди получают и накапливают новые точки, которые образуют последовательно отрезок, треугольник и тетраэдр. Направление поиска новой точки выбирают как перпендикуляр от текущего набора точек (линии или плоскости) к началу координат. На каждом этапе нахождения новых точек осуществляются проверки, которые позволяют как продолжить накопление точек, так и исключить из рассмотрения ранее выбранную точку, если удалось определить более удаленную от начала координат.

В случае отсутствия пересечения тел процесс поиска симплекса останавливается тогда, когда новая найденная точка уже будет содержаться в текущем наборе точек (то есть не удалось найти более удаленную точку). В этом случае направление и кратчайшее расстояние между телами будет определять вектор, соединяющий последний набор точек пространства Минковского и начало координат. Блок-схема, иллюстрирующая приведенный алгоритм, показана на рис 2.

 

Рис. 2. Блок-схема алгоритма поиска пересечений или дистанции между центром колеса и выпуклым многогранником опорного основания

Полное описание алгоритма является достаточно громоздким, более подробно с вопросами его реализации можно ознакомится в источниках [1, 4, 7]. В данной же работе делается акцент на модификации алгоритма GLK, позволяющей упростить и ускорить разрешение контакта колеса с неровностями опорной поверхности за счет поиска пересечения не тела колеса с выпуклыми многогранниками, описывающими неровности пути, а точки (центр колеса) с последующим расчетом силовых факторов, возникающих при указанном взаимодействии.

На Рис. 3, представлена графическая интерпретация работы реализованного модифицированного алгоритма GJK с построением промежуточных стадий поиска расстояния между точкой и выпуклым многогранником (Рис. 4).

 

Рис. 3. Пример определения расстояния между точкой и многогранником.
1 – многогранник; 2 – точка;

 

Рис. 4. Пример определения расстояния между точкой и многогранником (пространство Минковского).

а – шаг 1(точка); б – шаг 2(отрезок); в – шаг 3(отрезок); г – шаг 4 (треугольник)

 

В процессе поиска пересечения набор точек последовательно расширяется от точки (Рис. 4, а) до отрезка (Рис. 4, б), затем происходит исключение ошибочно определённой точки и добавление новой (Рис. 4, в).  На Рис. 4, г новая добавленная точка вместе с предыдущими образует треугольник. Новое направление поиска выбирается как вектор, перпендикулярный плоскости треугольника и направленный к началу координат. Однако, новых точек в этом направлении найти не удалось, поэтому вектор последнего направления поиска определяет расстояние и направление между исследуемыми телами (Рис. 5).

 

Рис. 5. Пример определения дистанции между точкой и многогранником.

1 – многогранник; 2 – точка; 3 – вектор, определяющий расстояние между телами

Определение сил контактного взаимодействия колеса с опорной поверхностью

После завершения работы алгоритма поиска пересечений для каждого колеса могут быть найдены одна или несколько точек контакта с неровностями пути (а также нормальных векторов контакта). Эти данные необходимы для представленной далее модели взаимодействия колеса с опорным основанием. Основные допущения, принятые в модели:

- опорное основание является твердым или малодеформируемым. Бульдозерные и экскавационные эффекты при качении колеса отсутствуют;

- поверхность колеса представляется сферой, радиус которой соответствует свободному радиусу колеса. Сфера усечена с двух сторон, а оставшаяся часть соответствует ширине беговой дорожки. Контакт с усеченными частями сферы не рассматривается, так как такой случай соответствует нерасчетным режимам движения или опрокидыванию робота относительно продольной оси;

- контакт колеса с каждым выпуклым многогранником, описывающим опорную поверхность, является точечным;

- нормальная реакция, возникающая при взаимодействии колеса с опорной поверхностью, описывается при помощи упругодемпфирующей силовой связи, направлена от точки контакта к центру колеса и имеет неудерживающий характер (если расстояние от расчетной точки до центра колеса больше его свободного радиуса контактное взаимодействие отсутствует и нормальная реакция, соответственно, равна 0);

- в процессе взаимодействия колеса с опорным основанием возникает касательная реакция, лежащая в плоскости перпендикулярной нормальной реакции и направленная противоположно вектору скорости скольжения в точке контакта.

Полученные из алгоритма поиска пересечений дистанция от центра колеса до ближайшего элемента опорного основания  и соответствующий вектор , позволяют определить координаты точки контакта  относительно координаты точки центра колеса  (Рис. 6):

(1)

где  – свободный радиус колеса.

Далее, с использованием программного комплекса МДС определяется скорость точки  в глобальной системе координат . Эта скорость складывается из переносной скорости движения центра колеса  и относительной скорости, которая определяется вращением колеса вокруг своей оси  и вращением последней вместе с корпусом машины (Рис. 5):

(2)

где  – вектор угловой скорости вращения колеса в глобальной системе координат.

Скорость  можно разложить на две составляющие. Первая составляющая – , направлена вдоль вектора  и определяет скорость деформации шины. Эту скорость можно найти как проекцию  на вектор :

(3)

Вторая составляющая является скоростью скольжения точки контакта относительно опорного основания . Соответственно вектор указанной скорости можно определить как:

(4)

 

 

 

Рис. 6. Расчетная схема для определения параметров взаимодействия колеса и опорного основания

Далее расчет силовых факторов при взаимодействии колеса с опорным основанием начинается с определения нормальной реакции , которая описывается упругой и демпфирующей составляющей в шине. Упругая составляющая определяется из величины деформации , а демпфирующая исходя из нормальной составляющей скорости контактной точки .

	(5)
	(6)

где  – коэффициент жесткости шины;

 – коэффициент демпфирования шины.

Под действием нормальной реакции  в контактной точке  возникает касательная реакция , величина которой определяется коэффициентом взаимодействия . В соответствии с выбранной моделью взаимодействия колеса с опорным основанием можно записать [8]:

(7)

где  – коэффициент взаимодействия колеса с опорным основанием

Коэффициент  зависит как от сцепных свойств опорного основания, так и от коэффициента скольжения . Для связных опорных оснований, характерных для эксплуатации МР (асфальт, бетон, металлические покрытия), используется следующая зависимость для определения  [9]:

(8)

где

 – значение коэффициента взаимодействия движителя с опорным основанием при стремлении коэффициента скольжения  к бесконечности;

 – константа, характеризующая наклон касательной к функции  в начале координат;

 – константа, характеризующая увеличение сцепных свойств на связных грунтах при малом скольжении.

При этом коэффициент скольжения  для данного случая определяется следующим образом[10]:

(9)

На данном этапе становится возможным определить касательную составляющую силы взаимодействия колеса с опорным основанием  направление, которой определяется вектором скорости скольжения . Указанная реакция затем может быть представлена в виде компонент  и .

(10)

Момент взаимодействия, вызванный продольной составляющей касательной реакции в контакте колеса с дорогой, а также потерями при его перекатывании, относительно оси вращения вычисляется следующим образом [11].

(11)

где  – коэффициент сопротивления качению;

 – радиус качения колеса в свободном режиме (на этапе проектировочных расчетов может быть оценен как  [12]).

Так, момент  определяет ту часть нагрузки от взаимодействия колеса с опорным основанием, которая воспринимается трансмиссией (и тормозными механизмами). Оставшуюся часть момента, вызванного касательной реакцией в контакте колеса с опорным основанием по отношению к его центру , а также вектор суммарной силы  взаимодействия воспринимается цапфой, крепящей колесо к МР.

(12)

Силовые факторы  и , описывающие взаимодействие колеса с опорной поверхностью в данной модели, передаются для дальнейших расчетов в систему МДС, где моделируется динамика МР (интерфейс модели динамики представлен на Рис. 7). Момент  при этом используется при моделировании динамики трансмиссии робота (электропривод и редукторная часть).

Данный расчет проводится для каждой точки контакта, полученной алгоритмом поиска пересечений колеса с выпуклыми многогранниками пути.

 

 

Рис. 7. Интерфейс модели динамики мобильного робота

Оценка работоспособности математической модели движения мобильного робота

Представленная математическая модель предназначена для разработки и оценки эффективности алгоритмов управления движением МР в случае преодоления различных сложных препятствий. Данная задача является темой отдельного исследования, в связи с этим здесь представлена только оценка работоспособности представленной модели на примере преодоления МР препятствия в виде уступа.

В качестве объекта исследования был выбран робототехнический комплекс, который представляет собой 6-ти колесный трехсекционный МР, имеющий привод складывания секций относительно поперечной оси и приводы линейного перемещения передней и задней секции относительно средней. Основные параметры МР представлены в таблице 1 и на Рис. 8.

 

 

0,48…0,61 м

0,48…0,61 м

1,24… 1,6 м

0,19 м

-90…90°

0,135 м

 Рис. 8. Основные размеры и степени свободы мобильного робота

 

Таблица 1.  Параметры, используемые в модели мобильного робота
Параметр	Значение
Полная масса МР, кг	126
База (при сложенных секциях), м	0,86
Радиус колес (свободный), , м	0,19
Максимальный угол вертикального складывания секций, град	90 (-90)
Максимальное выдвижение передней секции, , м	0,18
Максимальное выдвижение задней секции,  м	0,18
Максимальная скорость вращения ведущего колеса, , 1/с	5

В процессе моделирования имитировалось преодоление МР уступа высотой 0,65 м. Все поверхности опорного основания имеют коэффициент сопротивления качению  0,018 и коэффициент взаимодействия , одинаковый в продольном и поперечном направлениях (асфальтобетонная опорная поверхность [13]).

На Рис. 9 представлены результаты моделирования в виде характерных положений МР при преодолении препятствия. При этом управление движением МР осуществлялось с использованием специального алгоритма [14].

 

Рис. 9.  Характерные положения мобильного робота при преодолении уступа

 

На Рис. 10 представлены траектории колес МР для рассматриваемого заезда. Необходимо отметить, что высота уступа значительно превосходит размеры движителя МР и он не может быть преодолён иначе как с использованием алгоритма управления складыванием и раздвижением секций, что продемонстрировано на Рис 7.

Рис. 10. Траектория колес левого борта мобильного робота при преодолении уступа

 

На Рис. 11 показана запись изменения углов наклона секций МР по отношению к горизонту в продольном направлении. Необходимо отметить достаточно большие значения указанных углов (до 80 градусов), реализуемые при преодолении препятствий. В связи с этим очевидно, что в режиме ручного управления оператором такие режимы движения связаны с риском опрокидывания МР, что делает задачу разработки алгоритмов автоматического управления движением особенно актуальной.

 

Рис. 11. Углы наклона секций в продольном направлении при преодолении уступа

 

Таким образом, можно заключить, что полученные результаты демонстрируют работоспособность модели и её пригодность для разработки алгоритмов управления МР.  Функционирование имитационной компьютерной модели осуществлялось в режиме, близком к «реальному времени» на компьютере с параметрами: Intel Core i7-8700 3,2 ГГц, 32 ГБ RAM и со средним шагом интегрирования 0,0004 с.

Заключение

В статье обозначена необходимость разработки законов автоматического управления дополнительными приводами движителя МР и специальных имитационных моделей, пригодных для этой задачи.

Представленный в данной статье подход к исследованию движения МР сочетает возможности современных программных комплексов моделирования динамики систем твердых тел (в части удобства моделирования пространственного движения, шарнирных и силовых связей, приводов, алгоритмов управления) и пространственную модель взаимодействия колеса с опорным основанием, обладающим сложной геометрической формой. Такой подход позволяет использовать указанную модель для разработки закона управления движением МР и оценки его эффективности при преодолении крупных препятствий.

Использованный в работе алгоритм поиска пересечений колеса МР с опорной поверхностью разработан на основе вычислительно эффективного алгоритма GJK и подхода к представлению колеса в виде усеченной сферы, что позволяет вычислять параметры контакта в режиме «реального времени», даже с достаточно малым шагом интегрирования в рамках программных комплексов МДС. Результаты расчета алгоритма поиска пересечений позволяют определить силы и моменты, описывающие взаимодействие движителя и опорной поверхности с использованием представленной пространственной модели колеса.

 Представленные результаты призваны продемонстрировать работоспособность разработанной новой математической модели и её пригодность для разработки законов управления движением МР по опорному основанию со сложным профилем. Авторами предполагается использовать представленную в статье модель для разработки и оценки эффективности комплексного закона управления движением МР в различных условиях. Предварительные результаты в этом направлении уже были представлены в работе [14].

作者简介

Oleg Goidin

The Federal State Unitary Enterprise Dukhov Automatics Research Institute (VNIIA)

Email: goidin@vniia.ru

Руководитель центра робототехники и аварийного реагирования

俄罗斯联邦, г. Москва, Сущевская ул., д. 22

Boris Kositsyn

Bauman Moscow State Technical University

Email: kositsyn_b@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0002-2131-2738
SPIN 代码: 2005-7528

Dr. Sci. (Engineering), Associate Professor, Professor of the Wheeled Vehicles Department

俄罗斯联邦, Moscow

Anton Stadukhin

Bauman Moscow State Technical University

编辑信件的主要联系方式.
Email: ant.m@bmstu.ru
ORCID iD: 0000-0003-1414-3435
SPIN 代码: 7669-7133

Dr. Sci. (Engineering), Associate Professor of the Multipurpose Tracked Vehicles and Mobile Robots Department

俄罗斯联邦, Moscow

参考

补充文件