Application of an axisymmetric rigid-plastic finite element membrane model for evaluation of friction coefficients in sheet metal forming processes
- 作者: Petrov V.K.1, Mikhaylova V.L.1, Sukhomlinov L.G1
-
隶属关系:
- Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
- 期: 卷 6, 编号 2-2 (2012)
- 页面: 150-158
- 栏目: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/68485
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-68485
- ID: 68485
如何引用文章
全文:
详细
The results of computational and experimental investigations are presented on the application of an axisymmetric rigid-plastic finite element membrane model for evaluation of friction coefficients in sheet metal forming processes. The data on hemispherical punch stretching of a sheet metal under investigation are used. The method's possibilities are demonstrated by examining cases with different friction conditions.
全文:
Эффективность применения математических моделей для исследования процессов листовой штамповки существенно зависит от достоверности принимаемых за основу исходных данных, в число которых входят параметры, характеризующие пластические свойства соответствующего листового металла, а также коэффициенты трения. Наибольшие трудности при этом связаны с достоверной оценкой коэффициентов трения. Среди используемых способов определения коэффициентов трения в зоне контакта металлического листа с инструментом можно отметить подходы, связанные с расчетно-экспериментальным исследованием обтяжки металлической полосы по цилиндрическому инструменту [1], обтяжки цилиндрической оболочки по бочкообразному инструменту [2], формовки листовой заготовки сферическим пуансоном [3]. Можно также указать на специальные устройства для измерения коэффициентов трения в операциях листовой штамповки (см., например, статью [4]). В работах [5, 6] определение коэффициентов трения производится расчетно-экспериментальным путем с применением конечноэлементных моделей, которые затем могут быть использованы и для исследования операций формообразования с найденными коэффициентами трения. В настоящей статье расчетно-экспериментальное определение коэффициентов трения основывается, как и в [6], на использовании безмоментной жесткопластической конечноэлементной модели [7, 8]. При этом возможности принятой методики демонстрируются на примерах с существенно различающимися условиями трения между формуемым металлическим листом и инструментом. Основные положения используемой при исследованиях вычислительной модели состоят в следующем. Исходим из предположения, что формуемая из листового металла осесимметричная оболочка относится к классу тонких безмоментных оболочек. Упругими деформациями на фоне больших пластических деформаций пренебрегаем, считая материал оболочки жесткопластическим. Используем предложенный Р. Хиллом вариант теории течения для трансверсально изотропного материала с изотропным упрочнением. Считаем, что взаимодействие оболочки с инструментом осуществляется в соответствии с кулоновским законом трения. Меридиан срединной поверхности рассматриваемой оболочки в ее исходном недеформированном состоянии разбиваем на такое количество участков малых размеров, чтобы в течение всего процесса деформирования допустимо было бы пренебрегать их кривизной, считая эти участки прямолинейными. Процесс формоизменения подобной безмоментной оболочечной модели, состоящей из указанных элементарных оболочек с прямолинейными образующими, рассматриваем как пошаговый, при котором переход из известного состояния в момент времени в новое состояние, относящееся к моменту времени , осуществляется с малыми приращениями деформаций. На указанном малом временном интервале (шаге нагружения) формулировку задачи для принятой дискретной модели оболочки выполняем в терминах узловых перемещений (перемещений концов отрезков разбиения упомянутого меридиана оболочки) с использованием цилиндрической системы координат ( , , ). Обозначая через , и , координаты точек срединной поверхности дискретной модели рассматриваемой оболочки в начале и конце текущего шага нагружения, а через , осевые и радиальные перемещения указанных точек на данном шаге, мы можем записать: . (1) Координаты и перемещения, относящиеся к узлам дискретной модели, будем обозначать как , , , , , С учетом этого, принимая во внимание связи (1), для значений и длины прямолинейной образующей -ого элемента в начале и конце шага нагружения можно записать: (2) Здесь и далее индекс у величин, относящихся к -ому элементу, для простоты опускается. Приращение деформации (малое относительное удлинение) элемента модели на шаге нагружения в меридиональном направлении ( ) определяем с учетом (2) по схеме: . (3) Отмечаем, что выражение (3) является квадратично нелинейным по отношению к узловым перемещениям на шаге нагружения. Оно справедливо для любых значений этих перемещений при условии, что . Малое относительное удлинение на шаге нагружения окружного материального волокна в середине элемента (приращение деформации в окружном направлении в середине элемента) определяем с учетом (1) по схеме: , (4) где: , , . (5) Приращение деформации по толщине элемента на шаге нагружения определяем исходя из условия несжимаемости, а именно: . (6) Основываясь на принятом варианте теории течения, соотношения между устанавливающимися в элементах модели на шаге нагружения напряжениями и соответствующими приращениями деформаций записываем в виде: (7) где: и – меридиональное и окружное напряжения, – эквивалентное напряжение, – приращение накопленной эквивалентной деформации, и – величины накопленной эквивалентной деформации в начале и конце шага нагружения, и – экспериментально определяемые параметр нормальной анизотропии и функция упрочнения листового металла. Считаем, что все нагрузки, действующие на рассматриваемую дискретную модель формуемой оболочки, сведены к обобщенным узловым силам и в радиальном и окружном направлениях. Исходим из принципа возможных перемещений, утверждающего, что в состоянии равновесия работа приложенных к деформируемому телу сил на вариациях возможных перемещений равна работе напряжений на соответствующих вариациях деформаций. В результате для рассматриваемой модели оболочки на шаге нагружения получаем вариационное уравнение вида: . (8) Суммирование в левой части уравнения (8) осуществляется по всем элементам модели. С использованием связей (3)–(7) вариационное уравнение (8) формулируется исключительно в терминах узловых перемещений. Приравнивая коэффициенты при одноименных вариациях узловых перемещений в левой и правой части такого уравнения, получаем для -ого узла дискретной модели оболочки на шаге нагружения уравнения равновесия вида: , , , (9) где: , – нелинейные алгебраические операторы, отражающие геометрическую и физическую нелинейность рассматриваемой задачи на шаге нагружения. В случае закрепленного -ого узла относящаяся к этому узлу пара силовых уравнений (9) заменяется кинематическими условиями вида: (10) Если -ый узел находится в свободном состоянии (не контактирует с инструментом), в соответствующих ему уравнениях (9) следует положить: (11) Для узла, находящегося в контакте с инструментом, контур которого на шаге нагружения описывается уравнением должно выполняться кинематическое условие вида: (12) и силовое условие (соответствующее кулоновскому закону трения) вида: , (13) где: – коэффициент трения, – относительное перемещение узла вдоль поверхности инструмента на шаге нагружения, и – тангенциальная и нормальная по отношению к контуру инструмента компоненты вектора узловой силы. Обозначая как и компоненты векторов касательной и нормали к контуру инструмента в текущем положении -ого узла, силы , , входящие в уравнение (13), можно выразить через силовые факторы в виде: , . (14) Использование записи (14) предполагает, что входящие в нее факторы посредством связей (9) явно выражены через искомые узловые перемещения на шаге нагружения. Что касается перемещения , входящего в формулировку уравнения (13), то для него имеет место зависимость вида: , (15) где: – заданное перемещение инструмента в направлении оси на шаге нагружения. Замечаем, что физические соотношения (7) и силовые соотношения (13) имеют особенности при и . В целях устранения этих особенностей предусмотрена регуляризация указанных соотношений путем введения в пренебрежимо малых окрестностях значений и соответствующих фиктивных линейных относительно и участков. Подобный прием [7, 8] позволяет напряжениям , и силам при необходимости снижаться вплоть до нулевых значений, обеспечивая выполнение условий равновесия на шаге нагружения. Решение физически и геометрически нелинейной контактной задачи для описанной дискретной модели оболочки на шаге нагружения сводится посредством итерационной процедуры к решению последовательности линейных задач. При этом линеаризация исходной нелинейной системы уравнений на шаге нагружения в рамках такой процедуры осуществляется с использованием методов Ньютона и переменных параметров. Итерационные уточнения продолжаются до достижения заданной относительной точности ( ) по перемещениям. Решение соответствующей системы линейных алгебраических уравнений выполняется по методу Гаусса. Перейдем теперь к заявленному исследованию с применением описанной модели. В качестве базового эксперимента при оценке коэффициента трения между формуемым металлическим листом и инструментом использовалась формовка круглой заготовки (из данного материала) сферическим пуансоном (рисунок 1). Рисунок 1 – Схема формовки сферическим пуансоном Конкретные исследования выполнялись применительно к образцам из листовой стали 08КП толщиной . Из испытаний на одноосное растяжение была установлена кривая упрочнения данного материала в виде (где: =541 МПа, =0,22) и определено значение коэффициента нормальной анизотропии в виде . Эксперименты по формовке производились с использованием пуансона диаметром и матрицы, диаметр отверстия которой составлял величину , а радиус скругления рабочей кромки – величину . Фланец круглой заготовки из исследуемого материала удерживался от перемещений в процессе формовки прижимным кольцом с рифтом диаметром . Перед началом испытаний вдоль прочерченных на заготовке взаимно перпендикулярных осей, проходящих через ее центр, наносились риски, равномерно разбивающие указанные радиальные оси на отрезки длиной . На основе замеров длин этих отрезков в уже отформованной оболочке определялась соответствующая эксперименту картина распределения логарифмических деформаций ( ) меридиональных волокон оболочки вдоль радиальной оси исходной заготовки. При проводимых испытаниях на формовку изменение условий трения в зоне контакта оболочки с пуансоном достигалось путем нанесения на поверхность пуансона различных материалов, таких как полиэтиленовая пленка, минеральное масло и порошок канифоли. Отметим, что соответствующие этим условиям экспериментальные данные на обсуждаемых ниже графиках изображаются символами ●, ■, ▲. Обращаем далее внимание на то обстоятельство, что в испытаниях на формовку разрыв оболочек из высокопластичных материалов, используемых в листовой штамповке, связан с таким явлением, как локализация деформации. Важную роль при этом играет трение в зоне контакта оболочки с пуансоном. Трение сдерживает развитие деформаций формуемой оболочки в указанной зоне. В процессе продвижения пуансона зона контакта (где деформации затруднены) расширяется. В связи с происходящим при этом уменьшением зоны, свободной от такого контакта, преимущественный рост деформаций осуществляется именно в этой зоне оболочки. Вследствие неоднородности указанных деформаций, при достижении пуансоном некоторого перемещения дальнейший рост деформации локализуется в наиболее ослабленном элементе оболочки. Одновременно с этим в остальных элементах оболочки рост деформаций прекращается. Несущая способность формуемой оболочки, находящейся под воздействием со стороны пуансона, при этом достигает своего предела. С использованием описанной вычислительной модели указанное значение может быть оценено по моменту достижения силой на пуансоне своего предельного значения. Вычисляемые при найденном перемещении пуансона деформации оболочки в зоне ее контакта с пуансоном соответствуют моменту ее разрыва. Сравнивая такие расчетные результаты по деформациям на момент разрыва, получаемые при различных значениях коэффициента трения с тем, что имеет место в эксперименте, можно оценить значение коэффициента трения в реальном процессе формоизменения с использованием данного листового материала. Изложенная методика определения коэффициента трения демонстрируется далее применительно к указанным выше трем случаям покрытия поверхности пуансона. При проведении расчетов было принято , и . Сплошные кривые на рисунке 2, помеченные цифрами 1, 2, 3, представляют собой полученные расчетным путем зависимости нагрузки на пуансоне от перемещения пуансона в процессе формовки данного листового металла при значениях коэффициента трения (соответственно). Видно, что на начальном этапе формоизменения ( ) величина коэффициента трения практически не влияет на силовую характеристику процесса формовки. Это подтверждают и представленные здесь же экспериментальные результаты, относящиеся к существенно разным условиям трения на поверхности пуансона. Однако момент разрыва (значение перемещения , при котором сила достигает своего предельного значения) существенным образом зависит от значения коэффициента трения . Рисунок 2 – Графики зависимости силы, приложенной к пуансону, от его перемещения при различных значениях коэффициента трения Кроме указанных трех кривых, расчетным путем были получены также аналогичные силовые характеристики для целого ряда других значений коэффициента трения , и для каждого из таких значений определены деформации оболочки в момент достижения предельного состояния. Рисунок 3 – График зависимости предельного значения меридиональной деформации в полюсе формуемой оболочки от коэффициента трения На рисунке 3 представлена полученная расчетным путем зависимость меридиональной логарифмической деформации ( ) в полюсе формуемой оболочки в предельном состоянии от коэффициента трения на поверхности пуансона (сплошная кривая). Здесь же представлены экспериментальные результаты (полученные с доведением формуемой оболочки до разрыва), относящиеся к трем упоминавшимся случаям покрытия поверхности пуансона. Сопоставление указанных расчетных и экспериментальных результатов позволяет заключить, что значения коэффициента трения при покрытии поверхности пуансона полиэтиленовой пленкой, минеральным маслом и порошком канифоли могут быть оценены величинами 0,14; 0,3 и 0,5 (соответственно). Представленное на рисунках 4, 5, 6 сопоставление расчетных и (обозначенных точками) экспериментальных результатов по полной картине распределения деформаций (на момент разрыва оболочки) в зоне контакта оболочки с пуансоном применительно к упомянутым трем случаям покрытия его поверхности подтверждает такую оценку. Здесь – логарифмические деформации оболочки в окружном направлении. Цифрами 1, 2, 3 помечены расчетные результаты, полученные при значениях перемещения пуансона вида (27,8; 28,4; 28,8) в случае (рисунок 4); вида (20,0; 20,4; 20,8) в случае (рисунок 5) и вида (16,0; 16,4; 16,6) в случае (рисунок 6). Рисунок 4 – Распределение деформаций вдоль радиуса заготовки к моменту разрыва формуемой оболочки в случае нанесения полиэтиленовой пленки на поверхность пуансона Из указанных рисунков видно, что результаты, помеченные цифрой 1, соответствуют моменту достижения формуемой оболочкой предельного состояния, поскольку дальнейшее незначительное продвижение пуансона (варианты 2 и 3) приводит к локализации деформации. Об этом можно судить по наблюдаемому катастрофическому росту пиков кривых распределения деформаций с одновременным прекращением роста деформаций в зоне контакта формуемой оболочки с пуансоном. Рисунок 5 – Распределение деформаций вдоль радиуса заготовки к моменту разрыва формуемой оболочки в случае нанесения минерального масла на поверхность пуансона Рисунок 6 – Распределение деформаций вдоль радиуса заготовки к моменту разрыва формуемой оболочки в случае нанесения порошка канифоли на поверхность пуансона В качестве общего вывода по изложенной статье отметим, что представленные результаты расчетно-экспериментальных исследований позволили продемонстрировать возможности применения осесимметричной жесткопластической безмоментной конечноэлементной модели для определения коэффициентов трения в процессах формоизменения листовых металлов. Описанная методика включает испытания с доведением исследуемого листового металла до разрыва в процессе формовки сферическим пуансоном и сопоставление замеренных деформаций в зоне полюса отформованной оболочки с тем, что дает вычислительная модель формуемой оболочки в момент достижения предельного состояния.×
作者简介
V. Petrov
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)Ph.D.
V. Mikhaylova
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)Ph.D.
L. Sukhomlinov
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)Dr.Eng., Prof.
参考
- Pearce R. Some effects of friction in punch-stretching// Dev. Draw. Metals. Proc. Int. Conf. / London. 11-13 May. 1983. / London. 1983. P. 249-254.
- Одинг С.С., Максименков В.И. Определение коэффициента трения при формировании осесимметричной оболочки. // Известия вузов. Машиностроение. 1984. № 8. с. 23-27.
- Ведмедь Ю.П., Юдович С.З., Фишман И.М. Определение коэффициента трения между пуансоном и заготовкой при листовой штамповке. // Кузнечно-штамповочное производство. 1972. № 4. с. 25-26.
- Fratini L., Lo Casto S., Lo Valvo E. A technical note on an experimental device to measure friction coefficient in sheet metal forming. // Journal of Materials Processing Technology. 2006. V. 172. № 1. P. 16-21.
- Wang N.-M., Budiansky R. Analysis of sheet metal stamping by a finite-element method. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1978. V. 45. № 1. P. 73-82.
- Матвеев А.Д., Сухомлинов Л.Г., Жиляев С.Д., Соловей Е.М. Расчетно-экспериментальная методика определения коэффициента трения для предельного формоизменения при листовой формовке. // Вопросы исследования прочности деталей машин. Сборник научных трудов кафедры «Прикладная механика» МИП. М. 1994. с. 104-107.
- Сухомлинов Л.Г., Энгельсберг В.К. Конечноэлементная система автоматизированного расчета напряженно-деформированного состояния тонких оболочек в процессах осесимметричного формоизменения под действием жестких штампов. // Известия вузов. Машиностроение. 1989. № 3. с. 66-71.
- Sukhomlinov L.G., Engelsberg V.K., Davydov V.N. A finite element membrane model for the analysis of axisymmetric sheet metal forming processes. // Int. J. Mech. Sci. 1992. V. 34. № 3. P. 179-193.