COMPUTATIONAL ASPECTS OF SOLVING THE PROBLEM OF INTERACTION OF POPULATION GROUPS IN URBAN EDUCATION

Full Text

Введение Одной из важных составляющих урбанистических про- цессов является проблема сосуществования различных групп населения в городской среде. Население подразделяется на различные страты в соот- ветствии с их экономическими и социальными характери- стиками. Например, население можно классифицировать по генетическим и фенотипическим признакам, принадлеж- ности к той или иной этнической группе и, в первую очередь, по уровню дохода. Во многих странах, как развитых, так и развивающихся, сосуществование групп населения, при- надлежащих к различным социальным слоям, порождает серьезные проблемы и поэтому изучалось с различных точек зрения, главным образом, с точки зрения социологии. Сосу- ществование разнородных групп населения часто приводит к социальному напряжению. Власти большинства развитых стран постоянно предпринимают попытки борьбы с возник- новением таких ситуаций, но при анализе средств массовой информации становится понятно, что предпринимаемые политические и экономические меры часто не приводят к положительным результатам. Именно по этой причине рас- сматриваемая проблема столь актуальна. Благодаря каче- ственному анализу различных ситуаций появляется возмож- ность предсказания и пресечения возможных конфликтов и проблем. Значимость этой проблемы очевидна, но разумных предложений по ее решению не выдвинуто. В связи с этим, построение качественной, но достаточно общей матема- тической модели динамики различных групп населения, представляет особый интерес. Достаточно очевидно, что подобная модель должна строиться в рамках концепции пространственной экономики и учитывать эволюцию ареала проживания различных демографических групп. В настоящей работе рассматривается несколько вариан- тов модели для простейшей ситуации взаимодействий двух групп населения. Используются различные виды граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода. Далее подробно описывается разностная схема и вычислительный алгоритм решения соответству- ющей алгебраической системы уравнений. Приведены ре- зультаты вычислительных экспериментов при различных па- раметрах, входящих в математическую модель. Математическая модель совместной эволюции двух групп населения в городской среде Рассмотрим две группы населения, обозначаемые как группа 1 и группа 2. Предполагается, что между обеими группами существует взаимодействие в том смысле, что их отношения влияют на характер распределения населения 48 Киселёв Д.О. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГРУПП НАСЕЛЕНИЯ В УРБАНИСТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ по ареалу проживания. Отношения могут быть дружелюбны- ми; недружелюбными и «нейтральными». Эволюция обеих групп в рамках пространственной экономики описывается системой уравнений U  U a  b U  c V   d UV   divk U,V gradU; наиболее близки к описанию реальной картины заселения го- рода. В соответствии с возможностями для расселения поток населения направлен либо внутрь, либо за пределы города. Начальные условия при t = 0 имеют вид: t  0 0 t  0 U x, y, t image  U x, y , V x, y, t image  image  t  1 1 1 1 1 1 (1)  V0 x, y , x, y 0  x  10  y  1. (3) image V  V a  b V  c U d VU   divk U,V gradV ,  t 2 2 2 2 2 2 ЧислеHHbu MеmOo pеwеHиR 3aoa"Iи где неизвестные функции U = U (x, y, t) и V = V (x, y, t) по смыс- лу определяют соответственно численность 1-й группы насе- Введем сетки по пространственным координатам x и y: ления в точке (x, y) в момент времени t, а V = V (x, y, t) - со- ответственно численность 2-й группы населения в точке (x, y) в момент времени t. xi  X0  ihx , i  0, 1, … , Nx ; где X2  X1 y j  Y0  jhy , j  0, 1, … , Ny , Y2 Y1 Система (1) решается в области D, представляющей па- раллелепипед в пространстве переменных (x, y, t): image hx  Nx image ; hy  , Ny x, y, t D  Dxy 0  t  Tmax    X0  x  X1 Y0  y  Y1 0  t  Tmax . Без ограничения общности, в дальнейшем можно счи- тать, что X1 = 0, X2 = 1, Y1 = 0, Y2 = 1. В системе (1) дифференциальный оператор второго по- рядка (диффузионный член), присутствующий в правой ча- сти, имеет дивергентный вид: divks gradF  ksF   т.е. считаем, что x  [X1, X2], y  [Y1, Y2], Nx , Ny - выбранное количество узлов. Обозначим как узел Pi, j = (xj , yi ), i = 0, 1, …, Nx , j = 0, 1, …, Ny . Узел Pij назовем внутренним, если одновременно 0 < i < Nx и 0 < j < Ny . Узел Pij назовем граничным, если выполнено, что выражение f i, j   i i  Nx  j  j  Ny   0. Во внутренних узлах Pij необходимо написать разностную аппроксимацию дифференциальных уравнений системы (1), а в граничных узлах Pij должны быть аппроксимированы со- ответственно граничные условия вида (2). Для построения разностной схемы запишем систему     F    F  уравнений (1) в операторном виде:   F   F , F    k   k , image s  1, 2, image y     x image image image   image x  image s x  y  s y  U    1 U, V  1 1 U; что сильно упрощает процедуру его разностной аппрокси- мации. В системе (1) предполагается, что коэффициенты зависят t  image V    t 2 V , U 2 2 V , (1*) от искомых функций, что автоматически означает нелиней- ность системы дифференциальных уравнений (1). Зависимость этих коэффициентов от неизвестных функ- ций определяет нелинейность рассматриваемой задачи и все трудности ее решения, которые с этим связаны. Как правило, эти коэффициенты в задачах нелинейной диффу- зии зависят от функции степенным образом: где приняты обозначения:  1 U, V   U a1  b1U  c1V   d1 UV ; 1 U  divk1 U, V grad U;  2 V , U  V a2  b2V  c2U d2 V U; 2 V   divk2 U, V gradV . image Дифференциальный оператор второго порядка (0)   k1 U, V   k1 U 1 V 1 ; (0)   k2 U, V   k2 U 2 V 2 , Λs [F ] = div (ks grad F ), s  1, 2 1 где k (0) 1 1 2 , σ , δ , k (0) , σ2, δ2 - некоторые константы. в декартовых координатах (x, y) имеет следующий стандарт- Для системы уравнений (1) необходимо задать началь- ные и краевые условия. Граничные условия в случае первого рода имеют вид (должны выполняться в любой момент времени t > 0): ный вид: s F   divks grad F     image  x  ks F  image   x    image  y  ks F  image  y . U  fU x, y, t ; V  fV x, y, t , x, y . (2) Разностная аппроксимация этого дифференциального оператора Λ [F ] во внутренних узлах сетки {P } осуществля- s ij В случае условий второго рода ется по пятиточечному «крестообразному» шаблону, вклю- чающему узлы Pi - 1, j , Pi, j - 1, Pi, j, Pi + 1, j , Pi, j + 1, j : image image U  0; V  0 image  F     h F  n n  1 t   2 t  s ij ∼ s Fi  1, j  Fi , j   ij   Fi , j  Fi  1, j  означает, что население не пополняется извне и не уезжает за пределы города. Граничные условия третьего рода image s, i i  1, j  image  F image  s, i i, j  hx hx  hx F F  F image image U  h U   t ; image image V  h V   t  s, j i, j  1  image  i , j  1 hy i , j   s, j i, j   i , j i , j  1  image image hy . n 1  1 y n 2  2 h ISSN 2313-223X Т. 6, № 2, 2019 Computational nanotechnology 49 ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕXНИКА И УПРАВЛЕНИЕ 05.13.00 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ 05.13.18 Подобная аппроксимация рассматривается в книге [4], где рекомендовано сеточные функции σs, i (i + 1, j ), σs, i (i, j ), σs, j (i, j + 1), σs, j (i, j ), вычислять по следующим усредненным формулам: image Таким образом, вначале во всех внутренних узлах Pij рас- считываются промежуточные функции на полуцелом вре- менном слое tk  1 2  t k  0,5 по формулам: Uij image image  U k  0,5 U k , V k     h U k ; k  1 2           , s i i  1, j   k s i  1, j   k s i, j  ; ij 1  ij ij  1 1  ij  (4) 2 k  1 2             V ij image Vij image 0,52 Vij , Uij   22 Vij . s i i, j   ks i, j   ks i  1, j  ;  k   k k  h k image , 2 Далее уже по известной схеме («корректор») осущест- вляется пересчет решения со слоя (k) → (k + 1) также во всех image  i, j  1  ks i, j  1 ks i, j  ; внутренних узлах Pij: s, j 2 Uk  1  Uk  k  1 2 image k  1 2 k  1 2 ks i, j   ks i, j  1 ij ij image   Uij image , V ij image image    (h) Uij  ; image s, j i, j   . 2  V k  1 V k  image 1  k  1 2  k  1 2 1 1   k  1 2 ij ij V  image image image image , U   (h)   Далее обсудим аппроксимацию наших уравнений (1) по временной переменной t, где 0 < t < Tmax. Максимальное image image  2  ij ij   22 V ij  , время вычислений Tmax задается. Шаг по времени τ = Tmax /Nτ, т.е. решение должно быть рассчитано на Nτ временных слоях. т.е. на этом этапе расчет («корректор») осуществляется по формулам: ij ij  1  k  1 2 image image k  1 2 ij   1 1  image image k  1 2 ij ; Альтернатива этому - задание временного шага τ и, со- ответственно, максимального числа временных слоев Nτ, image image Uk  1  Uk     Uij , V   (h) U  (5) image Vij Vij image image 2  V ij , Uij image     image V ij . на которых будет рассчитываться решение поставленной k  1 k  k  1 2 image k  1 2 (h)  k  1 2  задачи. Так как для численного решения использовалась явная     2 2   (по времени) разностная схема типа «предиктор-корректор» [4], то шаг по времени τ надо выбирать достаточно «мел- ким». Можно рассчитывать, что подобная численная схема будет иметь порядок аппроксимации и, следовательно, точ- ность порядка 2 2 2 Как было отмечено ранее, при использовании подобной схемы можно рассчитывать, что порядок аппроксимации в целом и, как следствие, ее точность будут порядка image x y O 2  h2  h2 . Приведенные вычислительные формулы (4) и (5) «ра- image O  hx  hy . ботают» только во внутренних узлах Pij разностной сетки, а СxеMa mиna «npеoиKmOp-KOppеKmOp» oлR "IислеHHOZO pеwеHиR oвyMеpHOu сисmеMb Пусть индекс k = 0 соответствует «нулевому» временному слою (t0 = 0), на котором заданы начальные условия нашей задачи вида: в граничных узлах Pij необходимо аппроксимировать гранич- ные условия вида (2). ПOсmpOеHие "IислеHHOZO pеwеHиR oлR MOoели сO сmOxaсmи"IесKиM "IлеHOM С учетом случайного элемента наша система принима- ет вид: U Uij k  0  U0 xi , yi ; Vij k  0  V0 xi , yi , image t    U a1  b1U  c1V   d1UV   i  0, … , Nx , j  0, … , Ny . (3*) 1 divk1 U,V gradU 1dW1 t ;  V  V a  b V  c U d VU  (6) Обозначим как image  t  2 2 2 2 image Uij image k  1 2 image  U tk  1 2 , xi , yi ; image Vij image (k  1 2) image  V tk  1 2 , xi , yi , 2 divk2 U,V gradV   2dW2 t . Обратим особое внимание на присутствующие в нашем  0, … , Nx , j  0, … , Ny . уравнении члены dW (t), dW (t), (коэффициенты σ , σ - кон- 1 2 1 2 image image k  1 2 Промежуточные разностные функции Uij image image k  1 2 , V ij станты) и разберем, какое влияние они окажут на решение. Как известно методы решения ОДУ неприменимы в случае image на промежуточном временном слое tk  1 2  t k  0,5 будут вычисляться во внутренних узлах Pij по следующей схеме («предиктор»): СДУ. Рассмотрим систему из двух стохастических дифференциальных уравнений в векторной форме [5]: dX = a (X )dt + b (X )dW , (7) t t t t image image k  1 2 k  где t ≥ 0 - время, Xt = X (t) - двумерный случайный про- Uij  Uij   k  k   h  k   цесс в непрерывном времени, X (0) = X  R 2 - начальное image 0,5 1 Uij , Vij   11 Uij  ; 0 условие, a  R2[0; ∞), b - матричная функция размерности 2 1 2 m T image image k  1 2 k  2m, b : R [0; ∞). W = {Wt = (Wt , Wt , … , Wt ) , t ≥ 0} - m-мер- V ij V  ij   k  k   h k  ный стандартный винеровский процесс с компонентами 0,5 2 Vij , Uij    22 Vij . W 1, W 2, … , W m. t t t 50 Computational nanotechnology Vol. 6, № 2, 2019 ISSN 2313-223X Kucenee ,l{.O. Bll/ nbHlE ACnEKTl PEWEHUR 3A,l{ l/ B3AUMO,l{ fPYnn HACEnEHUR B YP5AHUCTUl/ CKOM O5PA3OBAHUU Винеровским случайным процессом здесь является ма- тематическая модель белого шума в непрерывном времени, отвечающая условиям: 1) P (W0 = 0) = 1; Wt - процесс с независимыми приращениями; 2 numepamypa Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели // Изд-во Моск. центра непрерывного мат. обр. (МЦНМО, Москва). 2004. 32 с. Beckmann M., Puu Т. Spatial economics: density, potential, and flow. Wt - Ws ~ N (0, σ (t - s)), для любых 0 ≤ s < t < ∞. Amsterdam; New York: North-Holland; New York, N.Y., U.S.A.: Sole Система стохастических дифференциальных уравнений может быть переписана в интегральной форме: distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier Science Pub. Co., 1985. 276 p. Zhang W.-B. Synergetic economics: Time and change in nonlin- ear economics (Springer series in Synergetics) // Berlin, Germany: t t Springer-Verlag. 1991. 246 р. Xt  X0  a  Xs , sds  b Xs , sdWs ; 0 0 t l  1 b Xs , sdWs  lim  bXk , k Wk  1 Wk , (8) (9) Самарский А.А. Теория разностных схем // CRC Press, 2001. 786 с. Purvis B., Mao Y., Robinson D. Entropy and its Application to Urban Systems // Entropy. 2019. 21. 56. DOI: 10.3390/e21010056. 0 h  0 k  0 h = tk + 1 - tk , τk = (1 - q)tk + qtk + 1, q  [0, 1]. Если q = 0, то формула (9) определяет интеграл Ито, соот- ветственно стохастический интеграл Стратоновича получает- ся при q = 0,5[5]. 3. Особенности программной реализации Разработка программной реализации модели велась на языке программирования C++. Первой задачей встал во- прос получения винеровского процесса. С учетом объема данных и резкого увеличения вычислительной сложности нашей задачи в перспективе была выбрана библиотека MKL от Intel, которая может обеспечить высокую эффективность и производительность работы генераторов ПСЧ, а также обе- спечивает хороший функционал для дальнейшего распарал- леливания программы. Для получения нормального распределения, необходи- мого для реализации винеровского процесса, был выбран метод обратной функции. При инициализации базовый ге- нератор инициализировался большим числом, чтобы обе- спечить попадание чисел в необходимый нам интервал. Для выбранной модели коэффициенты при генераторах были выбраны равными 1 - в зависимости от влияния, закладыва- емого в шум, можно изменять данное значение. Заключение Построено вычислительное решение для разных вари- антов модели сосуществования групп населения в городе. Кроме того, отдельно проанализирована программная реа- лизация полученных численных решений. Модель позволяет на качественном уровне исследовать тенденции заселения различными группами городской среды.

About the authors

Dmitrii Olegovich Kiselev

MSU

Email: dmi3iii@yandex.ru
postgraduate student of Department of the Automation for Scientific Research CMC Russian Federation

References

Supplementary files